Задачи.

1. Мастер обслуживает шесть однотипных станков. Вероятность того, что станок потребует внимания мастера в течение дня, равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение дня мастеру придется вмешаться в работу станков: а) меньше одного раза; б) больше двух раз; в) от двух до пяти раз.

2. В освещении помещения фирмы используются 20 лампочек. Для каждой лампочки вероятность того, что она останется исправной в течение года, равна 3/5. Какова вероятность того, что в течение года придётся заменить не меньше половины всех лампочек?

3. Вероятность того, что студент забросит мяч в корзину, равна 0,4. Студент произвел 24 броска. Найти наивероятнейшее число попаданий и соответствующую вероятность.

4. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для данного охотника равна 0,9 и не зависит от номера выстрела. Найти наиболее вероятное число попаданий в мишень при 7 выстрелах и соответствующую этому числу вероятность.

5. Стрелок стреляет по цели до первого попадания. Найти вероятность того, что у стрелка останется хотя бы один неизрасходованный патрон, если он получил 7 патронов и вероятность попадания в цель при одиночном выстреле равна 1/7.

6. Вероятность встретить на улице знакомого равна 0,1. Сколько среди первых 100 случайных прохожих можно надеяться встретить знакомых?

7. Игральная кость брошена 5 раз. Чему равна вероятность выпадения единицы хотя бы один раз?

8. Какова вероятность того, что при 18 бросаниях монеты герб выпадет ровно 10 раз?

9. Всхожесть семян астры данного сорта оценивается вероятностью 0,85. Какова вероятность того, что из семи посеянных семян взойдут не менее четырёх?

10. Монета брошена 10 раз. Какова вероятность того, что герб выпадет от 4 до 6 раз?

11. В мастерской работают 8 моторов. Для каждого мотора вероятность перегрева к обеденному перерыву равна 0,8. Найти вероятность того, что к обеденному перерыву перегреются 4 мотора.

12. Саженцы сосны приживаются с вероятностью 0,9. Найти вероятность того, что из 400 посаженных саженцев число прижившихся будет заключено между 348 и 368.

13. Вероятность выздоровления больных при применении нового лекарства составляет 85%. В больницу на лечение положили 125 больных. Какова вероятность того, что 117 из них вылечатся?

14. Игральную кость бросаем 15 000 раз. Какова вероятность того, что шестёрка появится не менее 2 000 и не более 2 500 раз?

15. Мебельная фабрика производит продукцию, среди которой 90 % высшего качества. Какова вероятность того, что среди 200 изделий этой фабрики высшего сорта будет: а) не меньше 160; б) не больше 170?

16. Было посажено 800 деревьев. Чему равна вероятность того, что прижившихся деревьев больше 350, если вероятность приживания для одного дерева равна 0,85?

17. Вероятность выигрыша по облигациям займа за всё время его действия равна 0,25. Какова вероятность человеку, купившему 6 облигаций, выиграть по четырём из них?

18. Игральную кость бросают 180 раз. Сколько раз, вероятнее всего, выпадет шесть очков? Найти вероятность этого события.

19. Вероятность появления на занятиях студента равна 0,2. В семестре всего 385 занятий. Какова вероятность того, что студент будет присутствовать не менее чем на 76 занятиях?

20. Монету бросают 387 раз. Какова вероятность того, что герб при этом выпадет не менее 195 раз, но не более 207 раз?

21. Вероятность опоздать на электричку для студента ежедневно равна 0,15. Студент ездит на учёбу 236 дней в году. Найти наивероятнейшее число опозданий в течение года. Какова вероятность этого числа?

22. Вероятность того, что телевизор в течение гарантийного срока потребует ремонта, равна 0,03. Найти вероятность того, что из 10 телевизоров хотя бы один потребует ремонта в течение гарантийного срока.

23. Вероятность изготовления детали высшего качества на данном станке равна 0,43. Найти наивероятнейшее число деталей высшего качества среди 250 деталей. Чему равна вероятность этого события?

24. Вероятность того, что телевизор в течение гарантийного срока потребует ремонта, равна 0,003. Найти вероятность того, что из 1000 телевизоров хотя бы один потребует ремонта в течение гарантийного срока.

25. Вероятность сбоя в программе в течении одного запуска равна 0,002. Какова вероятность того, что при 3000 запусков сбой произойдет не более 10 раз?

26. Вероятность потери банковской пластиковой карты равна 0,001. Какова вероятность того, что среди 5000 тысяч карт находящихся в пользовании будет потеряно более 20?

27. Вероятность повреждения одной детали при перевозке равна 0,003. Какова вероятность того, что при перевозке 1000 деталей будет повреждено 5 деталей?

28. Для освещения города используются 5000 лампочек. Для каждой лампочки вероятность того, что она перегорит в течение года, равна 0,002. Какова вероятность того, что в течение года придётся заменить не меньше 100 всех лампочек?

29. Риск невыплаты одного кредита составляет 0,005. Какова вероятность, что среди 2000 взятых кредитов будет не выплачено более 10?

30. Вероятность выигрыша в лотерее равна 0,001. Какова вероятность того, что среди 1000 наугад купленных билетов не менее 30?

Задачи

Номер варианта	Номер задачи
1	1	4	9	8	12	17	29	30
2	2	6	7	11	15	19	26	28
3	4	5	16	20	21	23	28	30
4	3	10	12	13	14	18	25	24
5	5	6	9	10	11	13	27	25
6	6	8	12	14	15	17	24	28
7	1	3	7	14	15	16	29	25
8	2	4	8	10	12	14	28	30
9	5	7	9	11	13	15	29	24
10	6	8	10	14	16	18	27	28
11	2	5	11	13	17	20	26	27
12	3	10	12	17	18	19	27	29
13	4	9	13	16	19	20	25	26
14	6	11	14	15	17	18	24	28
15	7	12	15	16	18	20	29	30

Лабораторная работа № 4

Дискретная случайная величина.

Дискретной случайной величиной (X) называется случайная величина, которая в результате испытания принимает отдельные значения (x₁, x₂, ...) с определёнными вероятностями (p₁, p₂, ...). Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным и бесконечным.

Соотношение, устанавливающее связь между отдельными возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями, называется законом распределения дискретной случайной величины:

X	x1	x2	...	xn
P	p1	p2	...	pn

Закон (ряд) распределения можно изобразить графически, в виде точек с координатами (x_i, p_i), соединённых отрезками. Получим многоугольник распределения вероятностей (полигон распределения).

Дискретная случайная величина может быть задана функцией распределения.

Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(х), выражающая вероятность того, что Х примет значение, меньшее чем х:

F(x)=p (X<x)

Пример. Закон распределения случайной величины :

X	0	1	2	3
P	0,198	0,457	0,293	0,052

Проверка:

Функция распределения вероятностей случайной величины Х:

График функции распределения:

Числовые характеристики дискретной случайной величины.

Математическое ожидание случайной величины Х.

Дисперсия случайной величины Х.

Среднее квадратическое отклонение.

Обобщёнными числовыми характеристиками для случайных величин в теории вероятностей, а также математической статистике являются начальные и центральные моменты.

Начальным моментом k-го порядка случайной величины X называют математическое ожидание от величины в k-ой степени:

,

Начальный момент первого порядка:

Начальный момент второго порядка:

Начальный момент третьего порядка:

Центральным моментом k-го порядка случайной величины X называют математическое ожидание от величины :

,

Центральный момент первого порядка:

Центральный момент второго порядка:

Центральный момент третьего порядка:

Задание.

1. Построить многоугольник распределения.

2. Составить функцию распределения и построить её график.

3. Найти начальные и центральные моменты первого, второго и третьего порядка.

4. Найти числовые характеристики случайной величины (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение).

Вариант № 1

X	23	28	34	45	47	52	56	67	69	73
P	0,01	0,03	0,04	0,13	0,15	0,28	0,16	0,08	0,06	0,06

Вариант № 2

X	35	40	46	57	59	64	68	79	81	85
P	0,05	0,07	0,14	0,31	0,18	0,11	0,05	0,04	0,03	0,02

Вариант № 3

X	65	115	175	285	305	355	395	505	525	565
P	0,02	0,03	0,04	0,11	0,13	0,15	0,16	0,24	0,09	0,03

Вариант № 4

X	64	79	97	130	136	151	163	196	202	214
P	0,01	0,04	0,08	0,13	0,34	0,18	0,12	0,07	0,02	0,01

Вариант № 5

X	61	71	83	105	109	119	127	149	153	161
P	0,01	0,02	0,04	0,25	0,19	0,18	0,16	0,08	0,04	0,03

Вариант № 6

X	14	18	25	36	42	54	63	69	75	82
P	0,02	0,03	0,04	0,12	0,15	0,26	0,15	0,09	0,08	0,06

Вариант № 7

X	26	30	37	48	54	66	75	81	87	94
P	0,05	0,07	0,12	0,26	0,18	0,14	0,07	0,05	0,04	0,02

Вариант № 8

X	5	25	60	115	145	205	250	280	310	345
P	0,02	0,03	0,05	0,12	0,14	0,15	0,17	0,19	0,09	0,04

Вариант № 9

X	37	49	70	103	121	157	184	202	220	241
P	0,01	0,03	0,06	0,13	0,24	0,22	0,15	0,09	0,04	0,03

Вариант № 10

X	43	51	65	87	99	123	141	153	165	179
P	0,03	0,04	0,08	0,23	0,17	0,14	0,12	0,09	0,06	0,04

Вариант № 11

X	55	58	64	71	77	83	89	92	97	103
P	0,01	0,03	0,04	0,13	0,15	0,28	0,16	0,08	0,06	0,06

Вариант № 12

X	67	70	76	83	89	95	101	104	109	115
P	0,05	0,07	0,14	0,31	0,18	0,11	0,05	0,04	0,03	0,02

Вариант № 13

X	0	9	27	48	66	84	102	111	126	144
P	0,02	0,03	0,04	0,11	0,13	0,15	0,16	0,24	0,09	0,03

Вариант № 14

X	160	169	187	208	226	244	262	271	286	304
P	0,01	0,04	0,08	0,13	0,34	0,18	0,12	0,07	0,02	0,01

Вариант № 15

X	125	131	143	157	169	181	193	199	209	221
P	0,01	0,02	0,04	0,25	0,19	0,18	0,16	0,08	0,04	0,03

Лабораторная работа № 5

«Первичная обработка эмпирических данных»

Имеющийся набор эмпирических данных является выборкой из генеральной совокупности.

Набор данных расположенный в порядке возрастания, называется вариационным рядом. Если набор данных достаточно большой, то удобнее всего представить его в виде интервального вариационного ряда.

Для построения интервального вариационного ряда необходимо выполнить следующие действия:

1. Имеющиеся данные располагают в порядке возрастания.

2. В выборке определяют самое большое и самое маленькое значение изучаемого признака.

3. Определяют размах варьирования .

4. Определяют ширину частичных интервалов , где k — число частичных интервалов (целое число). Число интервалов приблизительно можно определить с помощью формулы Стержеса: (n — объем выборки).

5. Нижняя граница первого интервала выбирается так, чтобы минимальная варианта выборки x_min попадала примерно в середину этого интервала: . Промежуточные интервалы получают прибавляя к концу предыдущего интервала длину частичного интервала h: . Построение шкалы интервалов на основе вычисления границ интервалов продолжается до тех пор, пока величина удовлетворяет соотношению: .

6. Подсчитывается количество значений признака, попадающих в каждый частичный интервал (частоты n_i).

7. Результаты формируются в виде таблицы, которая и является интервальным вариационным рядом:

			...		...
n1	n2	n3	...	ni	...	nk

(Проверка: сумма частот должна совпадать с объёмом выборки).

Задание.

Построить интервальный вариационный ряд.

Вариант № 1.

Пораженность отливок точечными поверхностными дефектами (ТПД).

№ п/п	ТПД, %	№ п/п	Пораженность ТПД, %
1	10,56	41	20,71
2	10,98	42	20,89
3	12,45	43	21,24
4	12,47	44	21,67
5	13,37	45	21,72
6	13,38	46	21,96
7	13,81	47	21,96
8	13,91	48	22,31
9	14,3	49	22,5
10	14,79	50	22,68
11	14,84	51	22,79
12	15,24	52	23,03
13	15,29	53	23,06
14	16,31	54	23,26
15	16,39	55	23,54
16	16,41	56	23,6
17	16,52	57	23,92
18	17,19	58	24,19
19	17,21	59	24,25
20	17,27	60	24,71
21	17,3	61	24,71
22	17,39	62	24,73
23	17,6	63	25,1
24	17,62	64	25,4
25	17,75	65	25,56
26	17,92	66	25,61
27	18,58	67	25,64
28	18,62	68	26,81
29	18,69	69	26,86
30	18,72	70	27,07
31	19,4	71	27,58
32	19,4	72	27,58
33	19,57	73	27,69
34	19,89	74	28,6
35	20,06	75	29,08
36	20,17	76	30,26
37	20,2	77	30,74
38	20,41	78	30,86
39	20,48	79	30,86
40	20,62	80	33,76

Вариант № 2.

Цены на однокомнатные квартиры в Москве (2001 год).

№ п/п	Цена, тыс. усл. ед.	№ п/п	Цена, тыс. усл. ед.
1	28	36	37
2	28	37	37
3	28	38	38
4	28	39	39
5	29	40	40
6	30	41	40
7	30	42	40
8	30	43	40
9	30	44	40
10	30	45	40
11	30	46	41
12	31	47	41
13	31	48	42
14	31	49	42
15	32	50	43
16	32	51	43
17	33	52	43
18	33	53	43
19	33	54	43
20	33	55	43
21	33	56	43
22	33	57	45
23	33	58	48
24	33	59	51
25	34	60	51
26	35	61	52
27	35	62	53
28	35	63	53
29	35	64	54
30	35	65	57
31	36	66	58
32	37	67	59
33	37	68	60
34	37	69	70
35	37	70	75

Вариант № 3.

Цены на автомобиль Opel Astra на вторичном рынке (2008 год).

№ п/п	Цена, руб.	№ п/п	Цена, руб.
1	212000	41	283620
2	215000	42	285000
3	230000	43	285000
4	230000	44	290000
5	235000	45	293400
6	239610	46	298290
7	240000	47	300000
8	242055	48	300735
9	244500	49	300735
10	245000	50	305000
11	245000	51	305625
12	250000	52	310000
13	250000	53	310000
14	250000	54	315000
15	250000	55	316500
16	251835	56	317825
17	253000	57	320000
18	254280	58	320000
19	256725	59	322740
20	256725	60	323370
21	256725	61	330075
22	260000	62	332520
23	260000	63	335000
24	265000	64	340000
25	266505	65	342275
26	268950	66	350000
27	268950	67	350000
28	270000	68	354000
29	270000	69	354525
30	275000	70	356000
31	275000	71	359300
32	275000	72	359415
33	275000	73	360000
34	275000	74	366750
35	278730	75	366750
36	280000	76	369000
37	280000	77	380000
38	281175	78	380000
39	282000	79	402416
40	283620	80	452325

Вариант № 4.