Численные методы_1 / Пособия / Самарский_Задачи и упражнения по численным методам

значений интерполируемой функции в узлах х* ± ih, г = 0,1,..., то:

(2т — 1)!

+- Ц - ( 0 + то - 1)• • • в••• (в - т)Д2 т /(х*_т ), (2т)!

где в = (х - Xk)/h.

Задача 1.11. Постройте кубический сплайн с дополнительными услови­ ями

(периодический кубический сплайн);

Задача 1.12. Приведите расчетные формулы для построения периодиче­ ского параболического сплайна Sj(x).

Задача 1.13. Пусть /(х) G С{4)[а,Ь] и

d2f d2f

Покажите, что в этих условиях для погрешности интерполирования естественным кубическим сплайном верна оценка

Задача 1.14. Постройте сглаживающий кубический сплайн из условия минимизации функционала

с параметром сглаживания а > 0. Сформулируйте соответствующую пятидиагональную систему уравнений для определения коэффициентов сплайна и докажите ее однозначную разрешимость.

Задача 1.15. Система функций {у.(я)}"=0 называется системой Чебыше- ва на отрезке [а, Ь], если

<Рп(х„)

при любом расположении узлов а = х0 < х\ < ... < х„ = Ь. Пусть а0 < а\ < ... < а„ — произвольные действительные числа. Покажи­ те, что функции {ха>}"=0, {ехра,х}"_0 образуют чебышевскую систему на произвольном интервале [а,Ь].

Задача 1.16. Рассмотрите задачу наилучшего приближения для прибли­ жения функции, заданной на множестве точек х0 < х\ < ... < xN с п < N (см. (1.1 )) (метод наименьших квадратов).

{•=»

определим пофешность квадратурной формулы.

Минимизация пофешности (увеличение точности) квадратурной формулы на выбранном классе функций может достигается прежде всего за счет выбора коэффициентов квадратурной формулы, а также за счет выбора узлов интефирования.

2.2.Алгоритмы приближенного вычисления интегралов

Рассматриваются простейшие квадратурные формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона для приближенного вычисления определенных интефалов. Строятся квадратурные формулы интерполяционного типа с заданными узлами квадратурной формулы, обсуждаются вопросы опти­ мизации квадратурные формулы за счет выбора узлов.

а для всего отрезка при использовании равномерной сетки получим

«•=•

К формуле трапеций мы приходим при замене подынтегральной функции /(х) кусочно-линейной функцией, которая проходит через точ­ ки (х<_|, /(XJ_I)), (х*,/(х,)). При интерполировании подынтегральной функции на частичном отрезке [XJ_I,XJ] с использование трех точек (х<_), /(х,-,)), (х,_|/2,/(х,_|/2)) и (х{,/(х{)) получим квадратурную формулу Симпеона частичного отрезка:

На всем отрезке соответствующая квадратурная формула составного типа имеет вид

// ( х)^.1:/ ( а : '"') + 4 / ( Г'/ 2 ) + / ( а : , ) ^

2.2.2. Квадратурные формулы интерполяционного типа

Приведенные выше квадратурные формулы построены на основе раз­

для подынтегральной функции на этих отрезках. Можно ориентировать­ ся на применение квадратурных формул интерполяционного типа, когда подынтегральная функция заменяется интерполяционным многочленом сразу на всем отрезке интегрирования [а,Ь].

Подынтегральная функция /(х) в (2.1) заменяется интерполяцион­ ным многочленом Лагранжа

где

to dx

Для коэффициентов квадратурной формулы (2.2) получим представление

ь

2.2.3. Квадратурные формулы Гаусса

Для повышения точности квадратурной формулы можно оптимизировать выбор не только коэффициентов квадратурной формулы с,, i — О,1,..., п, но и узлов интерполяции ж,-, г = О,1,... ,га. Квадратурные формулы ин­ терполяционного типа (2.2), (2.6) являются точными для алгебраических полиномов степени п. За счет выбора узлов интерполирования строят­ ся квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности (квадратурные формулы Гаусса), которые точны для любого алгебраичес­ кого многочлена степени 2п + 1.

Потребуем, чтобы квадратурная формула (2.1) была точна для любого алгебраического многочлена степени т. Это означает, что формула точна

{i=o

Для определения 2п + 2 неизвестных с,, Х{, г = О,1,..., п имеем нели­ нейную систему (2.7) то + 1 уравнений.

Для знакопостоянной весовой функции д(х) система уравнений (2.7) при т — 2га + 1 имеет единственное решение. При этом квадратурная формула является интерполяционной, т. е. коэффициенты вычисляются согласно (2.6), а узлы должны быть такими, чтобы многочлен

п

ш(х) = J\(x - х{)

t=0

был ортогонален с весом д(х) любому многочлену q(x) степени мень­ ше п + 1:

I g(x)dj(x)q(x) dx = 0.

2.3. Упражнения

Ниже приведены упражнения, которые связаны с построением и иссле­ дованием точности некоторых квадратурных формул.

Упражнение 2.1. Получите следующую оценку погрешности составной ква­ дратурной формулы трапеций

Решение. В случае квадратурной формулы трапеций (2.2) подынтеграль­ ная функция на каждом частичном отрезке заменяется на интерполяци­ онный многочлен первой степени

Для погрешности аппроксимации имеем

£ = £(x)€ [xi_,,Xi].

Тем самым для погрешности квадратурной формулы на частичном ин­ тервале получим