Численные методы_1 / Пособия / Самарский_Задачи и упражнения по численным методам
.pdf10 |
Глава 1. Интерполирование и приближение функций |
1.2.Алгоритмы интерполяции
иприближения функций
Для одномерных функций задачи интерполяции решаются с использова нием алгебраических многочленов Лагранжа и Ньютона, параболических и кубических сплайнов, рассмотрена задача наилучшего приближения
вгильбертовом пространстве.
1.2.1.Полиномиальная интерполяция
При аппроксимации полиномами используются функции
<Pi(x)=x', i = 0,l,...,n
и интерполяционный многочлен (см. (1.1)) имеет вид
ip(x) = Ln(x) = y^Cix'.
i=0
Интерполяционный многочлен Лагранжа записывается в виде
^(х) = ]J{X - Xi),
где ш(х) — многочлен степени п + 1:
i=0
ш (х) = — (х). ах
Можно использовать другую запись интерполяционного многочлена в виде интерполяционного многочлена Ньютона, которая строится с по мощью разделенных разностей. Разделенной разностью первого порядка называется отношение
1.2. Алгоритмы интерполяции и приближения функций |
11 |
|
f{xx. |
v _ /(».-+•) - /(»<) |
|
Разделенная разность «-го порядка определяется по рекуррентной фор муле
., |
v _ f(Xi+\,Xi+2,...,Xi+k) |
- |
f(Xj,Xi+U...,Xi+k-l) |
|
Д Х , ' , Х 1 + | , . . . ,X{+k) — |
- |
|
. |
|
|
|
Xj+Jfc — xi |
|
|
С использованием таких обозначений получим |
|
|
||
[Ln(x)] = / (х0) + (х - х0) / (х0)х,) + |
|
|
|
|
|
+ (x-xo)(x-xi)/(xo,Xi,x2 ) + -.- + |
(1.5) |
||
+(х - х0) (х - х,) • • • (х - хп_,) f (х0, хь ...,х„).
1.2.2.Интерполяционные сплайны
Пусть функция f(x) задана в узлах а = х0 < Х\ < ... < хп = 6. Интерполяционный сплайн Sm(x) порядкатоопределяется из условий:
1.на каждом отрезке [x;,xj+1],i = 0,1,... ,п - 1 Sm(x) является поли номом степени то;
2.на всем отрезке [a, b] Sm(x) имеет непрерывные производные до по рядкато— 1;
3.в узлах интерполяции
5т(х.) =/(х,), г = 0,1,..., п.
Прито> 2 единственность 5т(х) обеспечиваетсято- 1 дополнитель ными условиями. Обычно эти условия формулируются на концах отрезка интерполяции [о, Ь].
Интерполяционный кубический сплайн 5з(х) на отрезке [х,,х,+|]
задается полиномом третьей степени: |
|
|
Sf = а, + Ь,(х - х.) + у(х - х,)2 + j(x - |
Xi)\ |
|
х{^х^х{+1, |
г = 0, l,...,n - 1, |
(1.6) |
12 |
Глава 1. Интерполирование и приближение функций |
|
причем |
|
|
а, = S**^,), |
dS(О |
-^(х,), |
Ъ, = |
||
d2S« d3S<'>
С' = ^ - ( Х , ) ' d' = 4x^(x^
По определению для Бз(х) выполнены условия:
S(it)(xt) = f(xt), |
i = |
0 , l , . . . , n - l , |
|
Si,)(x,+1) =/(х,+1 ), |
i = |
0 , l , . . . , n - l , |
|
dS?, |
. dS{,+l) |
i = |
0,l, ... ,n - 2, |
dx |
(x,+\) = —-j— (x.+i), |
||
Два дополнительных условия можно взять в виде (естественные кубиче ские сплайны)
d2s^ d2stl)
-£-(*>) = о, -±г-Ы = о.
1.2.3. Приближение функций в нормированном пространстве
Пусть Н — вещественное гильбертово пространство со скалярным про изведением (f,g) и нормой ||/|| = л/(/,/). В случае Н = Li(a,b) имеем
ь |
|
ъ |
(/,«?) = J f(x)g(x)dx, |
ll/ll = |
(J\f(x)\2dx?/2. |
а |
|
а |
В задаче о наилучшем приближении по системе функций
<Р,(Х)ЕН, |
i = o,i,...,n |
строится обобщенный многочлен (1.1) (элемент наилучшего приближе ния), который для заданной приближаемой функции f(x) G Я миними зирует норму отклонения (1.3).
1.3. Упражнения |
13 |
Коэффициенты элемента наилучшего приближения находятся из ре шения следующей системы линейных уравнений:
^2CJ(VUVJ) |
= (/>¥>.), » = 0,1,...,п. |
(1.7) |
;=0 |
|
|
1.3. Упражнения
Рассмотрены примеры решения некоторых проблем теории интерполяции и приближения функций.
Упражнение 1.1. Покажите однозначную разрешимость задачи интерполя ции алгебраическими многочленами.
Решение. Для определения коэффициентов с,,г = 0 , 1 , . . . , п получим систему линейных алгебраических уравнений
J^Cjxf = / ( * , ) , » = 0 , 1 , . . . , п. |
(1.8) |
Определитель этой системы есть определитель Вандермонда:
1 Ж0 • • • XQ
W(xQ,xu...,x„) = 1 хх ... х1
1 Хп . . . |
Хп |
Он отличен от нуля в рассматриваемом случае несовпадающих узлов интерполяции (яо < х\ < ... < х„) и тем самым система уравнений (1.8) имеет единственное решение.
Упражнение 1.2. Рассмотрите различные способы вычисления значений ин терполяционного многочлена L„(x).
Решение Для вычисления значения полинома
L„(x) = со + с}х + • • • + с„хп
в одной точке требуется п(п + 1)/2 умножений и п сложений.
14 |
|
|
|
|
Глава 1. Интерполирование и приближение функций |
||||
При использовании схемы Горнера полином переписывается в виде |
|||||||||
L„(x) |
- |
со + х[с{ |
+a;(c2 + a;(---(cn_i |
+c„x)•••)))• |
|
||||
В этом случае требуется только п умножений и п сложений. |
|
||||||||
Упражнение |
1.3. Получите расчетные формулы для коэффициентов есте |
||||||||
ственного кубического сплайна. |
|
|
|
||||||
Решение |
Введем обозначения |
|
|
|
|||||
h, =xt |
|
- |
х,-\, |
t = l,2,...,n. |
|
|
|||
Для кубического сплайна S3(x) |
с учетом представления (1.6) |
получим |
|||||||
следующую систему уравнений: |
|
|
|
||||||
at = f(x,), |
|
|
» = 0 , 1 , . . . , п - 1 , |
|
(1.9) |
||||
a,+btht+] |
|
|
с, |
d. |
= f(x,+i), |
i = 0,1, ... ,n - 1, |
(1.10) |
||
|
+ -h2,+i |
+ -hit+i |
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
о |
|
|
|
b, + c,ft,+, |
+ уЛ,2+| =6,+i, |
i = 0 , l , . . . , n - 2 , |
(1.11) |
||||||
c, + d,ft,+1 |
= с , + ь |
i = 0,l,...,n-2, |
|
(1.12) |
|||||
0 = 0, |
|
c„_1 +d„_1 ftn =0. |
|
|
(1.13) |
||||
Формально доопределим с„ = 0, тогда из (1.12) и второго условия |
|||||||||
(1.13) получим |
|
|
|
|
|
|
|||
d' = 4 Z |
^ > |
« = 0 , 1 , . . . , п - 1 , |
|
(1.14) |
|||||
а вместо (1.13) будем иметь |
|
|
|
||||||
со = 0, |
|
с„ = |
0. |
|
|
|
(1.15) |
||
Подстановка (1.9), (1.14) в (1.10) дает следующее представление для коэффициентов Ь,:
&i=/(*,+ ,)-/(^_W| + [ + 2 c < ) ; i = 1)2)...)n_,. (L16)
1.3. Упражнения |
|
15 |
С учетом (1.14), (1.16) соотношения (1.11) приводят к уравнению |
|
|
c,_ift, + 2с, (Л, + ftt+1) + c,+iht+i = |
|
|
= 6 / / ( « . + ! ) - / ( » . ) |
/ ( * . ) - / ( * , - i ) \ |
( 1 1 7 ) |
i = 1,2,... ,n — 1.
Тем самым приходим к линейной системе уравнений (1.15), (1.17) с трехдиагональной матрицей с диагональным преобладанием. Решение этой системы всегда существует и единственно.
Другие коэффициенты сплайна определяются в соответствии с (1.9), (1.14), (1.16).
Упражнение 1.4. Рассмотрим на отрезке [а,Ь] класс функций, имеющих суммируемые с квадратом вторые производные, W2[a, b]. Построим интер полирующую функцию
u(x)ewl[a,b\, |
«(*,) = /(*.), i = 0,l,...,n, |
(1.18) |
которая минимизирует функционал
JW = /(I?)*S- |
(1Л9) |
а
Покажите, что такой функцией является естественный кубический сплайн S}(x) (экстремальное свойство кубического интерполирующего сплайна).
Решение. Для доказательства рассмотрим величину
т/ |
«v |
)(&u |
d2sA2. |
|
|
|
|
а |
|
|
|
Имеет место тождество |
|
|
|
||
J (u - |
S3) = J (и) - J (53) - |
27, |
|
(1.20) |
|
где |
|
|
|
|
|
[(d2% |
d2S3\ d% |
_ ^ |
У/d2« |
_d2S3\ d2S3 |
|
t - J |
W |
dx2 ) dx2 ** ~ % |
J \dx2 |
dxi)dx2<lX- |
|
16 |
Глава 1. Интерполирование и приближение функций |
d3S3,
Принимая во внимание постоянство ——г-(ж) при х € [x,,z,+i], интегри dx1
рованием по частям получим
|
dx2 |
" dx2 ) |
dx2 |
X~ |
|
|
|
_ |
(du |
dSi\ d2S2 |
|
* • + ! |
|||
±?L(Xi+0)(u(x)-S3(x)) |
|||||||
|
\dx |
dx J dx2 |
|
||||
|
|
|
|
||||
Так как u(xi) |
= S3(xi),i |
= 0,1,... ,n, то |
|
||||
_ |
(du |
dSj\d2S) |
|
|
|||
|
\dx |
dx J |
dx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d2S, |
d2S3i |
|
Для естественного кубического сплайна -^-у(а) = |
-j-j-(b) = 0 и поэтому |
||||||
/ = 0 в представлении (1.20), т.е. |
dx2 |
dx2 |
|||||
|
|
||||||
J(u) |
= J(S)) + J{u - |
S3). |
|
|
|||
Очевидно, что J(u - Sj) ^ 0 и поэтому J(S3) < J(u), т.е. естественный кубический сплайн Sy(x) доставляет минимум функционалу J(u).
Упражнение 1.5. Установите свойство ортогональности погрешности f — <p элементу наилучшего приближения
( / - ^ ) ¥ > ) = 0 |
(1.21) |
и получите оценку погрешности.
Решение. Элемент наилучшего приближения определяется выражением
¥>(x) = ^2ciipi{x),
i=0
где коэффициенты удовлетворяют условиям (см. (1.7))
5Zc>^'Vi) = (f,<Pi)
j=0
1.3. |
Упражнения |
17 |
при |
г — О,1,..., п. Домножим уравнение на с* и сложим |
по всем |
i = 0,1,... , п, что дает |
|
|
|
IHI2 = (/.*»)• |
о-22) |
Отсюда непосредственно вытекает доказываемое свойство (1.21). Из тождества
11/-И12 |
= 11/И2-2(/,*») + 1И12 |
|
с учетом (1.22) следует оценка |
|
|
11/-И12 |
= 1И12-1М12 |
о-23) |
для погрешности наилучшего приближения.
Упражнение 1.6. Для ортонормированной системы функций {<Pi(x)}i=Q, т. е. для функций
to" ^ - 1 1 , |
< = , - , |
рассмотрите задачу среднеквадратичной аппроксимации.
Решение. В этом случае система уравнений (1.7) упрощается и для коэф фициентов наилучшего приближения получим
<* = (Ш, |
i = 0 , 1 , . . . , п. |
(1.24) |
В этом случае они называются коэффициентами Фурье разложения функ ции f(x) по ортонормированной системе {у>,(а;)}"=0. Для погрешности имеем представление
И12Ч1/11,2 2-Х>2.
«=0
которое следует из (1.23).
18 |
Глава 1. Интерполирование и приближение функций |
1.4. Задачи
Задача 1.1. На основе записи интерполяционного многочлена Лагранжа в форме (1.4) получите оценку погрешности интерполирования в виде
\Нх)-Ьп(х)\<^\ш(х)\
с постоянной |
|
М„+| = sup |
<Г+7 |
da:n+l (*) |
Задача 1.2. Покажите, что интерполяционный полином Лагранжа может быть построен по рекуррентным формулам:
L0(x) = f(x0),
Lk(x) = Lk-i(x) + (f(xk) - Lk-x(xk)) wk(x)
где
w,(i) = x-xQ, шк+1(х) = шк(х)(х - xk).
Задача 1.З. В представлении интерполяционного полинома Лагранжа (см. (1.4))
£„(*) = !>»(*)/(*<)
»=о
имеет место
TTx?lin(x) = zm, m = 0,l,...,n.
1=0
1.4. Задачи |
19 |
Задача 1.4. Погрешность (см. задачу 1) можно уменьшить за счет вы бора узлов интерполяции — необходимо выбрать такие х, G [а,Ь], i = 0,1,..., п, для которых минимизируется
max Д(х - X.)
*6[a,6| 1=0
Покажите, что оптимальными узлами являются корни приведенного многочлена Чебышева первого рода
Т«+|(*) = |
22n+i |
cos^(n+l)arocos ft_fl M, |
|
т. е. точки |
Ь - о |
/(2г+1)тг\ |
|
a + b |
|||
b- |
|
||
X, = — |
Ь |
|
Задача 1.5. Докажите следующие соотношения
1 |
*о |
- *Г ' /(го) |
1 |
х0 |
|
х0 |
|
1 |
X] |
- n - 1 |
Я*.) |
1 |
Х\ |
|
-г" |
|
|
Х\ |
|||||
/(x0 ,Xi,...,x„) = |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
х„ |
- 1 - 1 |
/ы |
1 |
х„ |
|
|
Задача 1.6. Пусть f(x0,x\,... |
,х„) = 0 для любых а = х0 |
< х\ |
< ... < |
||||
х„ = Ь. Тогда /(х) на отрезке [о, Ь] есть алгебраический полином степени не больше п.
Задача 1.7. Пусть /(ж) = g(x)h(x), тогда справедлива формула
|
|
п |
|
|
|
f(x0,xu..., хп) - |
22 9(хо,Х\,..., x{)h(xi, |
xi+i,...,x„). |
|
||
|
|
i=0 |
|
|
|
Задача |
1.8. В узлах |
интерполяции |
х0 < х\ |
< ... < х„ заданы зна- |
|
|
|
|
|
|
df |
чения |
интерполирующей функции |
и ее производной: /(х,), |
dx—(х;), |
||