Численные методы_1 / Пособия / Самарский_Задачи и упражнения по численным методам

Глава 12

Нестационарные задачи

математической физики

Рассматриваются разностные методы приближенного решения краевых задач для нестационарных уравнений с частными произ­ водными. Основное внимание уделяется построению и исследо­ ванию разностных схем для параболических уравнений второго порядка. Теоретической основой при исследовании сходимости разностных схем является общая теория устойчивости операторнораэностных схем. Приведены основные результаты об устойчиво­ сти двух- и трехслойных разностных схем по начальным данным и правой части. Отмечаются особенности исследования схем для гиперболических уравнений второго порядка. Строятся эко­ номичные разностные схемы для приближенного решения много­ мерных нестационарных задач математической физики.

12.1. Нестационарные краевые задачи

В качестве базового нестационарного уравнения математической фи­ зики выступает одномерное параболическое уравнение второго порядка. В прямоугольнике

С?г = Пх[0,Т], П = { х | 0 < а ; ^ О , 0 < t < Г рассматривается уравнение

по переменной t

Vt = (Уп ~ У"~*)/т — производная назад по переменной t

и начальными

условиями.

Для простоты изложения мы ограничились однородными граничны­ ми условиями и зависимостью коэффициентаfcтолько от пространствен­ ной переменной, причем к(х) > к > 0.

Вместо условий первого рода (12.2) могут задаваться другие гра­ ничные условия. Например, во многих прикладных задачах необходимо

ориентироваться на формулирование граничных условий третьего рода:

du

-*(<>) —(о,<) + * i (*)«(o, «) = /*•(*),

k(l) — (l,t) + o2(t)u(l,t) = fi2(t), 0 < t < Г.

Среди других нестационарных краевых задач необходимо выделить гиперболическое уравнение второго порядка. В одномерном по простран­ ству случае ищется решение уравнения

Для однозначного определения решения этого уравнения помимо гра­ ничных условий (12.2) задаются два начальных условия

ди

и(х,0)=щ(х), ~(0,t) = m(x), O^x^l. (12.6) ot

Особое внимание необходимо уделять методам численного решения многомерных нестационарных задач математической физики. Приме­ ром может служить двумерное параболическое уравнение. Будем искать в прямоугольнике

функцию «(х,0, удовлетворяющую уравнению

Аналогично формулируются и другие нестационарные многомерные кра­ евые задачи для уравнений с частными производными.

12.2.Разностные методы решения нестационарных задач

Прежде чем проводить исследование конкретных разностных схем для не­ стационарных уравнений математической физики введем базовые поня­ тия теории устойчивости операторно-разностных схем, рассматриваемых в конечномерных гильбертовых пространствах. На основе приведенных оценок устойчивости двух- и трехслойных разностных схем по началь­ ным данным и правой части проводится исследование разностных схем для уравнений параболического и гиперболического типов.

12.2.1.Устойчивость двухслойных операторно-разностных схем

Дадим некоторые основные понятия и определения общей теории устой­ чивости операторно-разностных схем. Пусть задано вещественное конеч­ номерное гильбертово пространство Я и сетка по времени

шТ = шт U {Г} = {<„ = пт, n = 0,l,...,JV0; TN0 = T}.

Обозначим через А,В: Я —> Я линейные операторы в Я и пусть они, для простоты, не зависят от т, tn. Рассмотрим задачу Коши для опера- торно-разностного уравнения

где уп = y(t„) € Я — искомая функция, а <рп,и0 G Я — заданы. Определим двухслойную разностную схему как множество задач

Коши (12.10), (12.11), зависящих от параметрах, а запись (12.10), (12.11) будем называть канонической формой двухслойных схем.

Двухслойная схема называется устойчивой, если существуют такие положительные постоянные тпх и mi, не зависящие от г и выбора щ, <р.

Получение оценок устойчивости чаше всего базируется на априор­ ных оценках разностного решения при переходе с одного временного слоя на другой. Для самосопряженного положительного оператора R че­ рез Яд обозначим гильбертово пространство, состоящее из элементов пространства Я и снабженное скалярным произведением и нормой

Пусть

А = А*, Б = В * > 0 ,

тогда условия

ТТ

необходимы и достаточны для ^-устойчивости в Яд схемы (12.13), (12.14),

т. е. для выполнения

||у»+|||в<вЫ1в-

это утверждение формулируется следующим образом.

Пусть разностная схема (12.10), (12.11) ^-устойчива в Я д по на­ чальным данным, т.е. имеет место оценка (12.19) при ip" = 0. Тогда разностная схема (12.10), (12.11) устойчива по правой части и для реше­ ния справедлива априорная оценка

Приведем оценку устойчивости по начальным данным и правой части при загрублении критерия устойчивости (12.20).

Пусть А — самосопряженный и положительный оператор, а В удовлетворяет условию

с некоторой постоянной е > 0, не зависящей от т. Тогда для разностной схемы (12.10), (12.11) справедлива априорная оценка

HlT'll^Nll + ^ETll/lli.,.

z e *=о

Оценки устойчивости по правой части используются при исследова­ нии точности разностных схем для нестационарных задач.

12.2.2. Устойчивость трехслойных разностных схем

При приближенном решении нестационарных задач математической фи­ зики наряду с двухслойными разностными схемами часто используют и трехслойные. Здесь мы формулируем некоторые основные условия устойчивости трехслойных операторно-разностных схем.

Используется следующая каноническая форма трехслойных разност­ ных схем:

Сформулируем условия устойчивости по начальным данным при посто­ янных, не зависящих от п, самосопряженных операторах А, В, R, т. е. вместо (12.26) будем рассматривать

для разностной схемы (12.27), (12.29) имеет место априорная оценка

<^||уп+Уп-1К + ||Уп-Уп-|||д-^||уп -у„-|й,

т. е. операторно-разностная схема (12.27), (12.29) устойчива по начальным данным.

Устойчивость рассматриваемых трехслойных операторно-разностных схем установлена в гильбертовых пространствах со сложной составной