Математическая индукция 1к ПИвЭ

ТИПОВОЕ ЗАДАНИЕ №1

Дисциплина:

Математический анализ

1 курс ПИЭ

Тема:

«Математическая индукция и бином Ньютона»

1. Математическая индукция.

1. Вычислить сумму

2. Вычислить сумму

3. Доказать, что .

4. Доказать,что .

5. Доказать, что

6. Доказать, что

7. Доказать, что

8. Доказать, что

9. Вычислить

10. Доказать тождество

11. Упростить выражение

12. Доказать, что сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел делится на 9.

13. Доказать, что при любом целом выражение делится на 133.

14. Доказать, что

15. Доказать, что

16. Доказать, что

17. Доказать, что делится на 19.

18. Доказать, что .

19. Доказать, что .

20. Доказать, что .

21. Доказать, что для всех n>1 .

22. Доказать, что для всех n>1 .

23. Доказать, что для всех n>1 .

24. При каких натуральных n верно неравенство: ?

25. При каких натуральных n верно неравенство: ?

26. При каких натуральных n верно неравенство: n⁴<4ⁿ?

27. Доказать, что n⁵-n делится на 5 для любого натурального числа n.

28. Доказать, что n⁷-n делится на 7 при любом натуральном n.

29. Вычислить (1+3²+5²+…+(2n-1)²+…+199²)- (2²+4²+6²…+(2n)²+…+200²).

30. Доказать, что при любом натуральном n выполняется равенство .

2. Бином Ньютона.

1. В разложении коэффициент третьего члена на 44 больше коэффициента второго члена. Найти свободный от x член разложения.

2. Сколько рациональных членов содержится в разложении:

3. Найти номер того члена разложения , который содержит a и b в одинаковых степенях.

4. Найти тот член разложения , который не зависит от x, если сумма биноминальных коэффициентов равна 128.

5. Отношение коэффициента пятого члена к коэффициенту третьего члена разложения равно 2,5. Найти третий член разложения.

6. Найти средний член разложения , если коэффициент третьего члена равен 28.

7. Доказать, что выражение делится на 9 при любом натуральном

8. Каков наибольший коэффициент разложения , если сумма всех коэффициентов равна 4096?

9. Сумма коэффициентов второго и третьего членов разложения равна 25,5. Найти член, не содержащий .

10. Сумма третьего от начала и третьего от конца биноминальных коэффициентов разложения равна 9900. Сколько рациональных членов содержится в этом разложении?

11. Третье слагаемое разложения не содержит x . При каких значениях x это слагаемое равно второму слагаемому разложения ?

12. При любом допустимом значении слагаемое разложения в 2 раза меньше слагаемого разложения . Найти эти слагаемые.

4. Найти k-тый член разложения , если известно, что .

4. Разность между некоторыми членами и разложения равна 30. Определить, при каких x это возможно, если член содержит x в степени, вдвое меньшей, чем член .

4. Найти наибольший биноминальный коэффициент разложения , если произведение четвёртого слагаемого от начала и четвёртого слагаемого от конца равно 14400.

4. Сумма нечётных биноминальных коэффициентов разложения равна 512. Найти слагаемое, не содержащее x.

4. Найти член разложения , не зависящий от x.

4. Найти средний член разложения , не производя разложения.

4. Найти наибольший коэффициент многочлена .

4. Найти коэффициент разложения (1+3x+2x³)¹⁰ при x⁴.

4. Найти сумму коэффициентов разложения (13x³-7x-5)¹⁰⁰.

4. Вычислить .

4. Найти седьмой член разложения ()¹³.

4. Найти член разложения , не зависящей от a.

4. Найти член разложения , содержащий x⁸.

4. Найти член разложения , содержащий x¹⁹⁸⁰.

4. Найти члены разложения , являющиеся целыми числами.

4. Сколько членов разложения являются целыми числами?

4. Найти наибольший коэффициент многочлена .

4. Найти сумму коэффициентов многочлена .

Задача

1.

а). Доказать, что ;

б). Найти ;

2.

а). Доказать, что ;

б). Найти ;

3.

а). Доказать, что ;

б). Найти

4.

а). Доказать, что ;

б). Найти ;

5.

а). Доказать, что ;

б). Найти ;

6.

а). Доказать, что ;

б). Найти ;

7.

а). Доказать, что ;

б). Найти ;

8.

а). Доказать, что ;

б). Найти ;

9.

а). Доказать, что ;

б). Найти ;

10.

а). Доказать, что ;

б). Найти ;

11.

а). Доказать, что ;

б). Найти ;

12.

а). Доказать, что ;

б). Найти ;

13.

а). Доказать, что ;

б). Найти ;

14.

а). Доказать, что ;

б). Найти ;

15.

а). Доказать, что ;

б). Найти ;

а). Доказать, что ;

б). Найти .

8