Задание для самостоятельной работы

1. ; 2. ; 3.;

4. 5. 6.

Подстановки приводящие к

К приводятся интегралы, содержащие в знаменателе, поэтомуf(x) заменяется через вспомогательное переменное.

Пример 1. .Произведем замену: 3x=t; 3dx=dt.

Пример 2. .Произведем замену: 1-2x=t; -2dx=dt;

Пример 3. . Произведем замену: lnx=t;

Пример 4. .Произведем замену:

= -ctgt+C=-ctg

Задание №15.

№	ЗАДАНИЕ	ВАРИАНТЫ ОТВЕТА
1.		tg2x+C; 2)
2.		1)tgtg
3.		1)

Подстановки приводящие к

К приводятся интегралы, содержащие в знаменателе корень их разности постоянной величины и квадрата х с некоторым коэффициентом или сумму постоянной величины и квадрата х с коэффициентом.

Пример 1. . Произведем замену:

Пример 2. Произведем замену: =

dt.

Пример 3. . Произведем замену:

==

=

Задание №16.

№	ЗАДАНИЕ	ВАРИАНТЫ ОТВЕТА
1.		1)arctg3x+C; 2)+C; 3)
2.		1)
3.		1)

Задание для самостоятельной работы

1. 

4.; 6..

Тема №3 Интегрирование по частям

Пусть U=U(x) и V=V(x) – дифференцируемые функции. По свойству дифференциала d(U·V)=VdU+UdV UdV=d(U·V)-VdU.

Интегрируем обе части равенства:

Используя свойства неопределенного интеграла, получаем формулу интегрирования по частям для неопределенного интеграла:

При её применении фиксируется разбиение подынтегрального выражения искомого интеграла на два сомножителя U и dV. При переходе к правой части формулы первый из сомножителей дифференцируется (при нахождении дифференциала dU=U´dx), второй интегрируется (V=

Возможности применения формулы интегрирования по частям связаны с тем, что дифференцирование может существенно упростить один из сомножителей (при условии, что интегрирование не слишком усложнит другой).

Пример 1.

Так как x´=1, а при интегрировании практически не изменяется (появляется лишь постоянный множитель, то данный интеграл можно найти интегрированием по частям.

Пусть U=x; dV=, тогдаdU=dx; k=-2; b=0 =-

Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:

Замечание: Анализ полученного решения показывает, что постоянная С, возникшая при нахождении V (по заданному dV), не входит в запись окончательного ответа. Аналогично, в общем случае постоянная С, возникшая при нахождении V, исключается в процессе решения. Поэтому в дальнейшем, применяя формулу интегрирования по частям и найдя V, будем полагать С=0, что несколько упрощает запись решения.

Пример 2. .

Пусть U=x; dV=

Тогда dU=dx; V=

Пример 3. dx.

Пусть U=2+3x; dV=

Тогда dU=d(2+3x)=(2+3x)´dx=3dx; V=.

Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:

=

Пример 4.

U dV

Пусть arctgx=U; dx=dV

Тогда dU=(arctgx)´dx=

Получаем согласно формулы интегрирования по частям:

=

=

Указание. Все интегралы, которые находят с использованием формулы интегрирования по частям, можно разбить на три группы.