Задания для самостоятельной работы

1. dx; 3.

5.6.

7. .

Тема №2 Интегрирование способом подстановки

Если заданный интеграл простейшим преобразованием трудно привести (или нельзя привести) к табличному интегралу, то для его отыскания применяют особые приемы. Один из них – интегрирование способом подстановки. Еще этот метод называют способом замены переменной.

Прежде чем перейти к рассмотрению способа подстановки, вспомним понятие дифференциала функции.

Определение. Если функция y(x) в точке имеет производную , то произведениеявляется дифференциалом функции у(х) в точкеи обозначаетсяdy(. Таким образомdy(dx.

dy=

Интегрирование способом подстановки заключается в том, что выражение заменяется новой переменной.

Например в интеграле необходимо произвести замену переменной. Обозначим . Найдем дифференциал обеих частей равенства:d(

Дифференциал данного в интеграле переменного значения необходимо выразить через дифференциал введенной нами переменной.

Имеем: (таким образом вторую часть подынтегрального выражения выразили черезdt).

Замену подставляем в интеграл, и под знаком интеграла получаем выражение, зависящее только от введенной новой переменной t. Если замена проведена правильно, то полученный интеграл должен быть табличным. Таким образом, получаем: - ответ выражен через вспомогательную переменнуюt.

Чтобы получить окончательный ответ, сделаем обратную замену :

=

Подстановка должна выбираться так: если одна часть подынтегрального выражения обозначается за t, то другая должна соответствовать dt с каким-нибудь коэффициентом. В нашем примере

t dt

Подстановки приводящие к

Пример 1: . Произведем замену переменной: 2+x=t, dx=dt.

Пример 2.. Произведем замену:

.

Пример 3. . Произведем замену:

Тогда интеграл примет вид:

Пример 4. Произведем замену:

Пример 5. . Произведем замену:

= -3

Пример 6. Произведем замену:sinx=t; cosxdx=dt

Пример 7. . Произведем замену: lnx=t;

+C.

Задание №11.

№	ЗАДАНИЕ	ВАРИАНТЫ ОТВЕТА
1.		1)
2.		1) 4)-
3.		1)
4.		1)
5.		1)
6.		1)
7.		1)
8.		1)

+C

Подстановки приводящие к

Для того чтобы интеграл приводился к виду , он должен состоять из дроби, числитель которой равен дифференциалу знаменателя с некоторым коэффициентом. Выражение, стоящее в знаменателе, должно быть впервой степени, в противном случае интеграл соответствует . Подстановка делается так, что весьной.

Пример 1. . Произведем замену:

.

=

Пример 2. . Произведем замену: 1+3cosx=t; -3sinxdx=dt; sinxdx=dt. Тогда интеграл будет иметь вид: =-=-ln+C=

ln+C.

Пример 3. . Произведем замену:

=

Задание №12.

№	ЗАДАНИЕ	ВАРИАНТЫ ОТВЕТА
1.
2.		1)
3.		1)-+c; 3) –+C.
4.		1)
5.		1)

Подстановки приводящие к

Для того чтобы интеграл приводился к виду , он должен содержать показательную функцию с показателем видаf(x). Этот показатель и заменяется новой переменной.

Пример 1. Произведем замену:

=

Пример 2. Произведем замену: sinx=t; cosxdx=dt.

Пример 3. Произведем замену:

.

Задание №13.

№	ЗАДАНИЕ	ВАРИАНТЫ ОТВЕТА
1.		3).
2.		1)

Подстановки приводящие к

К приводятся интегралы, содержащиеsinf(x) или cosf(x), где f(x) заменяется через новое переменное.

Пример 1. .Произведем замену:

Пример 2. По известной Вам формуле: .

.

Во втором интеграле произведем замену: 2x=t; 2dx=dt; dx=.

Пример 3. .

Произведем замену в первом интеграле: 3x=t; 3dx=dt; dx=

Произведем замену во втором интеграле: 2x=t; 2dx=dt; dx=

Следовательно:

Задание №14.

№	ЗАДАНИЕ	ВАРИАНТЫ ОТВЕТА
1.		1)-cos4x+C; 2)
2.		1)
3.		1).