2.3. Коэффициенты прямых и полных материальных затрат, связь между ними, методы расчета

Переходя к анализу модели межотраслевого баланса, необходи­мо прежде всего рассмотреть основные свойства матрицы коэффи­циентов прямых материальных затрат А. Коэффициенты прямых затрат по определению являются неотрицательными, следователь­но матрица А в целом может быть названа неотрицательной: А 0. Так как процесс воспроизводства нельзя было бы осуществлять, если бы для собственного воспроизводства в отрасли затрачива­лось большее количество продукта, чем создавалось, то очевидно, что диагональные элементы матрицы А меньше единицы: < 1.

Система уравнений межотраслевого баланса является отраже­нием реальных экономических процессов, в которых содержатель­ный смысл могут иметь лишь неотрицательные значения валовых выпусков, таким образом вектор валовой продукции состоит из неотрицательных компонент и называется неотрицательным: X0. Встает вопрос: при каких условиях экономическая система способна обеспечить положительный конечный выпуск но всем отраслям? Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо ввести по­нятие продуктивности матрицы коэффициентов прямых матери­альных затрат.

Будем называть неотрицательную матрицу А продуктивной, если существует такой неотрицательный вектор X0, что

(2.11)

Очевидно, что условие (2.11) означает существование положи­тельного вектора конечной продукции Y > 0 для модели межот­раслевого баланса (2.6).

Для того чтобы матрица коэффициентов прямых материальных затрат А была продуктивной, необходимо и достаточно, чтобы вы­полнялось одно из перечисленных ниже условий:

1) Матрица (Е - А) неотрицательно обратима, т. е. существует обратная матрица (E - А)0

2) Матричный ряд Е + А + А² + А+ ...= сходится, причем его сумма равна обратной матрице (E - А)

3) Наибольшее по модулю собственное значение матрицы А, т. е. решение характеристического уравнения

строго меньше единицы.

4) Все главные миноры матрицы (Е - А), т. е. определители матриц, образованных элементами первых строк и первых столб­цов этой матрицы, порядка от 1 до n, положительны.

Более простым, но только достаточным признаком продуктив­ности матрицы А является ограничение на величину ее нормы, т. е. величину наибольшей из сумм элементов матрицы А в каждом столбце. Если норма матрицы А строго меньше единицы, то эта матрица продуктивна; повторим, что данное условие является только достаточным, и матрица А может оказаться продуктивной и в случае, когда ее норма больше единицы.

Если обозначить наибольший по модулю корень характеристи­ческого уравнения, приведенного в условии 3 продуктивности мат­рицы А, через , то он может служить оценкой общего уровня

коэффициентов прямых материальных затрат, а следовательно ве­личина 1-. характеризует остатокпосле затрат, т. е. продуктив­ность. Чем больше 1 - ,тем больше возможности достижения других целей, кроме текущего производственного потребления. Другими словами, чем выше общий уровень коэффициентов мат­рицы А, тем больше наибольшее по модулю собственное значение . и ниже уровень продуктивности, и наоборот, чем ниже общий уровень коэффициентов матрицыА, тем меньше наибольшее по модулю собственное значение и выше продуктивность.

Перейдем к анализу матрицы коэффициентов полных матери­альных затрат, т. е. матрицы В = (Е - А). Согласно определению 2, данному в предыдущем разделе, коэффициент этой матрицы. показывает, сколько всего нужно произвести продукции i-й отрас­ли, чтобы получить единицу конечной продукции j-й отрасли.

Дадим другое определение коэффициента полных материаль­ных затрат, исходя из того, что кроме прямых затрат существуют косвенные затраты той или иной продукции при производстве продукции данной отрасли. Рассмотрим в качестве примера фор­мирование затрат электроэнергии на выпуск стального проката, при этом ограничимся технологической цепочкой "руда — чугун — сталь — прокат". Затраты электроэнергии при получении проката из стали будут называться прямыми затратами, те же затраты при получении стали из чугуна будут называться косвенными затрата­ми 1-го порядка, а затраты электроэнергии при получении чугуна из руды будут называться косвенными затратами электроэнергии на выпуск стального проката 2-го порядка и т. д. В связи со ска­занным выше имеет место определение 3: коэффициентом полных материальных затрат с. называется сумма прямых затрат и кос­венных затрат продукции i-й отрасли для производства единицы продукции j-й отрасли через все промежуточные продукты на всех предшествующих стадиях производства. Если коэффициент кос­венных материальных затрат k-го порядка обозначить через . тосправедливо равенство

(2.12)

а если ввести в рассмотрение матрицу коэффициентов полных материальных затрат С = (c_ij) и матрицы коэффициентов кости ных материальных затрат различных порядков A^(k) = () , то по- элементную формулу (2.12) можно записать в более общем мат­ричном виде:

(2.13)

Исходя из содержательного смысла коэффициентов косвенных материальных затрат, можно записать ряд матричных соотноше­ний:

с использованием которых матричная формула (2.13) может быть переписана в следующем виде:

(2.14)

Если матрица коэффициентов прямых материальных затрат А является продуктивной, то по условию 2 продуктивности сущест­вует матрица В = (Е - A), являющаясясуммой сходящегося мат­ричного ряда.

(2.15)

Сопоставление соотношений (2.14) и (2.15) устанавливает сле­дующую связь между двумя матрицами коэффициентов полных материальных затрат:

или в поэлементной записи:

Данная связь определяет экономический смысл различия меж­ду коэффициентами матриц В и С: в отличие от коэффициентов матрицы С, учитывающих только затраты на производство про­дукции, коэффициенты матрицы В включают в себя кроме затрат также саму единицу конечной продукции, которая выходит за сфе­ру производства.

Перейдем теперь к вычислительным аспектам решения задач на основе модели межотраслевого баланса. Основной объем расче­тов по этой модели связан с вычислением матрицы коэффициен­тов полных материальных затрат В. Если матрица коэффициентов прямых материальных затрат А задана и является продуктивной, то матрицу В можно находить либо по формулам обращения матриц, приводимым в курсе алгебры, либо приближенным способом, используя разложение в матричный ряд (2.15).

Рассмотрим первый способ нахождения матрицы В. При этом способе предварительно находят матрицу Е - А, а затем, применяя один из прямых методов обращения невырожденных матриц, вы­числяют матрицу (Е - A)Одним из наиболее употребительных методов обращения матриц является метод Жордана. Часто при­меняется также метод, основанный на применении формулы:

, (2.16)

где в числителе стоит матрица, присоединенная к матрице (Е - А), элементы которой представляют собой алгебраические дополне­ния для элементов транспонированной матрицы , а в зна­менателе стоит определитель матрицы (Е -А). Алгебраические дополнения, в свою очередь, для элемента с индексами i и j полу­чаются путем умножения множителя (-1)^i+j на минор, получае­мый после вычеркивания из матрицы i-й строки и j-го столбца.

При втором способе вычисления матрицы коэффициентов пол­ных материальных затрат используется формула (2.15). При этом обязательным условием корректности расчетов является условие продуктивности матрицы А, и при расчетах ограничиваются уче­том косвенных материальных затрат до некоторого порядка вклю­чительно, например до 2-го, 3-го порядков. В этом способе используется процедура умножения квадратных матриц с их последующим сложением, и коэффициенты полных материальных затрат получаются с известным приближением (с недостатком).

Рассмотрим пример. Для трехотраслевой экономической системы мы заданы матрица коэффициентов прямых материальных затрат и вектор конечной продукции:

Найти коэффициенты полных материальных затрат и вектор валовой продукции; заполнить схему межотраслевого материального баланса.

1. Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат по второму (приближенному) способу, учитывая косвенные материальные затраты до 2-го порядка включительно Матрица коэффициентов косвенных затрат 1-го порядка равна

Матрица коэффициентов косвенных затрат 2-ю порядка равна

Таким образом, матрица коэффициентов полных материальных затрат приближенно равна

2. Определим матрицу коэффициентов полных материальных за­трат с помощью формул обращения невырожденных матриц (пер­вый способ)

а) находим матрицу (Е - А):

б) вычисляем определитель этой матрицы:

в) транспонируем матрицу (Е - А):

г) находим алгебраические дополнения для элементов матрицы (Е - А)’

Таким образом, присоединенная к матрице (Е - А) матрица имеет вид

д) используя формулу (2.16), находим матрицу коэффициентов полных материальных затрат:

Как отмечалось ранее, элементы матрицы В, рассчитанные по Точным формулам обращения матриц, больше соответствующих цементов этой матрицы, рассчитанной по второму приближенному способу без учета косвенных материальных затрат порядка выше 2-го.

3. Найдем величины валовой продукции трех отраслей (вектор X), используя формулу (2.8¹):

4. Для определения элементов первого квадранта материально­го межотраслевого баланса в нашей задаче воспользуемся форму­лой, вытекающей из формулы (2.4); х- а. • Х.Из этой формулы следует, что для получения первого столбца первого квадранта нужно элементы первого столбца заданной матрицы А умножить на величину X = 775,3; элементы второго столбца матрицы А ум­ножить на Х₂ = 510,1; элементы третьего столбца матрицы А умно­жить на Х.₃ = 729,6.

Составляющие третьего квадранта (условно-чистая продукция) находится с учетом формулы (2.1) как разность между объемами валовой продукции и суммами элементов соответствующих столб­цов найденного первого квадранта.

Четвертый квадрант в нашей задаче состоит из одного показа­теля и служит, в частности, для контроля правильности расчета: сумма элементов второго квадранта должна в стоимостном мате­риальном балансе совпадать с суммой элементов третьего квад­ранта.

Результаты расчета представлены в табл. 2.2.

Таблица 2.2

10