2.2. Экономико-математическая модель межотраслевого баланса

В разделе 2.1. отмечалось, что основу информационного обес­печения модели межотраслевого баланса составляет технологичес­кая матрица, содержащая коэффициенты прямых материальных затрат на производство единицы продукции. Эта матрица является также основой экономико-математической модели межотраслевого баланса. Предполагается, что для производства единицы про­дукции в j-й отрасли требуется определенное количество затрат промежуточной продукцииi-й отрасли, равное а_ij. Оно не зависит от объема производства вj-й отрасли и является довольно ста­бильной величиной во времени. Величины а_ijназываются коэф­фициентами прямых материальных затрат и рассчитываются сле­дующим образом:

(2.4)

Таким образом, имеет место определение 1. Коэффициент пря­мых материальных затрат а_ij показывает, какое количество про­дукции i-й отрасли необходимо, учитывая только прямые затраты, для производства единицы продукции j-й отрасли.

С учетом формулы (2.4) систему уравнений баланса (2.2) мож­но переписать в виде

(2.5)

Если ввести в рассмотрение матрицу коэффициентов прямых материальных затрат

вектор-столбец валовой продукции X и вектор-столбец конечной продукции Y:

то система уравнений (2.5) в матричной форме примет вид

(2.6)

Система уравнений (2.5), или в матричной форме (2.6) называ­ется экономико-математической моделью межотраслевого баланса

(моделью В. Леонтьева), или моделью "затраты — выпуск". С по­мощью этой модели можно выполнять три варианта расчетов:

1) задав в модели величины валовой продукции каждой отрас­ли (X_i.), можно определить объем конечной продукции каждой от­расли (Y_i):

(2.7)

2) задав величины конечной продукции всех отраслей (Y_i), можно определить величины валовой продукции каждой отрасли (X_i):

(2.8)

3) задав для ряда отраслей величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей задав объемы конечной продукции, мож­но найти величины конечной продукции первых отраслей и объ­емы валовой продукции вторых; в этом варианте расчета удобнее пользоваться не матричной формой модели (2.6), а системой ли­нейных уравнений (2.5).

В формулах (2.7) и (2.8) Е обозначает единичную матрицу n-го порядка, а (Е - А) обозначает матрицу, обратную к матрице (Е - А). Если определитель матрицы (Е - А) не равен нулю, т. е. эта матрица невырожденная, то обратная к ней матрица существует. Обозначим эту обратную матрицу через

тогда систему уравнений в матричной форме (2.8) можно запи­сать в виде

(2.8¹)

Элементы матрицы В будем обозначать через , тогда из мат­ричного уравнения (2.8¹) для любой i-й отрасли можно получить следующее соотношение:

(2.9)

Из соотношений (2.9) следует, что валовая продукция выступа­ет как взвешенная сумма величин конечной продукции, причем весами являются коэффициенты , которые показывают, сколько всего нужно произвести продукции i-й отрасли для выпуска в сфе­ру конечного использования единицы продукции j-й отрасли. В отличие от коэффициентов прямых затрат , коэффициенты .

называются коэффициентами полных материальных затрат и включают в себя как прямые, так и косвенные затраты всех порядков. Если прямые затраты отражают количество средств произ-водства, израсходованных непосредственно при изготовлении дан­ного продукта, то косвенные относятся к предшествующим стадиям производства и входят в производство продукта не прямо, а через другие (промежуточные) средства производства. Более детально этот вопрос рассматривается в следующем разделе.

Дадим определение коэффициента полных затрат (определе­ние 2): коэффициент полных материальных затрат показывает, какое количество продукции i-й отрасли нужно произвести, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат этой продукции получить единицу конечной продукции j-й отрасли.

Коэффициентами полных материальных затрат можно пользоваться, когда необходимо определить, как скажется на валовом выпуске некоторой отрасли предполагаемое изменение объемов ко­нечной продукции всех отраслей:

(2.10)

где ,и — изменения (приросты) величин валовой и конеч­ной продукции соответственно.