книги из ГПНТБ / Колесник Н.В. Устранение вибрации машин

При движении тела в обратную сторону происходит аналогич­ ное явление, но с перемещением центра колебания в левую сторону

на такую же величину е.

В данном случае уменьшение амплитуд происходит по закону

арифметической прогрессии, знаменатель которой равен

где k — коэффициент жесткости пружины.

Фиг. 14. Затухание свободных колебаний.

На фиг. 14, б приведен пример колебания, затухающего под влиянием сопротивления, пропорционального скорости. Подвешен­ ный на плоской пружине груз помещен в сосуд, наполненный жид­

костью, которая оказывает сопротивление движению (демпфиро­

вание).

Исследованиями установлены следующие характерные особен­ ности данного вида колебания. Амплитуда колебания постепенно уменьшается. Ряд последовательных значений амплитуды пред­

ставляет собой не арифметическую, а геометрическую прогрессию

с постоянным знаменателем, показывающим во сколько раз данная амплитуда меньше предыдущей. Однако знаменатель геометрической

прогрессии не характеризует процесс затухания во времени, так

как затухание колебаний, имеющих большую частоту, будет про-

20

исходить быстрее. Поэтому в исследовании колебаний пользуются

величиной & — логарифмическим декрементом затухания:

(13)

Из выражения (13) видно, что декремент затухания колебаний равен натуральному логарифму отношения величины какой-либо

амплитуды Аг к следующей за ней через один период амплитуде А3.

Характер кривой такого затухающего колебания показан в ниж­

ней части фигуры. Как видно, он схож с колебанием, приведен­

ным на фиг. 3, д.

Колебание при сопротивлении, пропорциональном скорости,

теоретически продолжается бесконечно долго. В практических же условиях всякое свободное колебание довольно быстро прекра­

щается. Это происходит не только потому, что колебание вслед­

ствие малой амплитуды перестает быть ощутимым, но и потому, что во всякой реальной упругой механической системе наряду

с сопротивлением, пропорциональным скорости, имеется некоторая

доля постоянного сопротивления.

Для подавляющего большинства практических случаев можно считать, что сила сопротивления пропорциональна скорости при

Общее решение приведенного однородного дифференциального

21

Величина 8 называется коэффициентом затухания. Коэффициент

затухания 8 и логарифмический декремент & находятся в следую­

щей зависимости:

& = 7\8,

где — период затухающего колебания, который выражается

„2iz

Из формулы (15) видно, что затухание свободного колебания

при данных условиях происходит согласно геометрической про­

грессии. Частота свободных колебаний (гц [см. формулу (16)] ока­

зывается меньше частоты собственных колебаний <d0, однако при наличии малого сопротивления, что в большинстве практических

случаев имеет место, когда не прибегают к искусственному демп­

фированию, величиною сопротивления 82 можно пренебречь и

полагать частоту свободных колебаний Wj равной частоте собствен­

ных колебаний ш0 (8).

Итак, свободное колебание является затухающим колебанием.

Стационарное колебание с постоянной амплитудой может иметь

Представим себе, что изменение силы происходит очень мед­ ленно, т. е. частота колебания силы намного меньше частоты соб­

ственных колебаний системы. Вначале сила действует, постепенно

увеличиваясь в левую сторону, что вызывает пропорциональный

изгиб стержня и отклонение массы в ту же сторону. Отклонение Ак

массы достигнет наибольшего значения при максимальном ампли­ тудном значении Р возмущающей силы. При постепенном умень­ шении силы'происходит пропорциональное уменьшение амплитуды

22

отклонения массы. Отсюда видно, что при относительно медленном

изменении периодической силы (при малой ее частоте) моменту

наибольшего значения возмущающей силы соответствует наиболь­

шее отклонение массы в ту же сторону. Это значит, что сдвиг фазы

вынужденного колебания относительно колебания возмущающей силы отсутствует. Амплитуда Ак колебания массы в этих условиях практически равна стреле статического прогиба Аст под действием амплитудного значения Р возмущающей силы.

По мере увеличения частоты возмущающей силы приведенные зависимости меняются. Лод влиянием силы инерции наибольшее от­

клонение массы происходит не в момент наибольшего значения

возмущающей силы, а несколько позже. Происходит запаздывание

вынужденного колебания (сдвиг фазы) и увеличение амплитуды

вынужденного колебания.

Амплитуда вынужденного колебания получает наибольшее зна­ чение в условиях, когда частота возмущающей силы совпадает

с частотой собственных колебаний системы. В этих условиях про­ исходит интенсивное нарастание колебаний подобно тому, как

раскачиваются качели. Совпадение частоты возмущающей силы с частотой собственных колебаний вызывает явление резонанса,

при котором даже небольшая возмущающая сила способна вызвать

колебание с чрезвычайно большой амплитудой, что весьма часто является причиной поломок механизмов, машин и сооружений.

Поэтому появления резонанса при работе машин всячески ста­

раются избежать.

Сдвиг фазы вынужденного колебания при резонансе составляет

90°. При дальнейшем повышении частоты возмущающих колеба­ ний, в зарезонансных условиях, происходит резкое падение ампли­

туды вынужденного колебания и увеличение угла сдвигц фазы

до 180°.

Частота вынужденного колебания во всех случаях равна частоте

колебания возмущающей силы. В начале колебания имеет место

сложение частот собственного и вынужденного колебаний, но соб­

ственные колебания очень быстро затухают.

Вынужденное колебание упругой механической системы под

действием периодической возмущающей силы (Pcosa)/), при на­

личии сопротивления, пропорционального скорости, определяется следующим уравнением:

23

Общее решение этого неоднородного дифференциального урав­ нения представляет собой сумму, состоящую из общего решения (15)

однородного дифференциального уравнения (14) и частного реше­

ния уравнения (17). Общее решение (15) выражает затухающее

колебание, которое имеет место только в начальный период вынуж­

денного колебания, поэтому можно ограничиться рассмотрением

к нулю, т. е. частота собственных колебаний намного больше ча­

стоты возмущающей силы, то коэффициент А имеет значение, близ­

кое к единице. Следовательно, амплитуда вынужденного колебания

* Справедливо при малых значениях &.

24

25

дит не столь резко. Во всех случаях до резонанса сдвиг фазы бли­

зок к нулю, при резонансе равен 90° и за резонансом близок к 180°.

Выше рассматривалось вынужденное колебание механической упругой системы при воздействии на нее периодической силы гар­

монического характера. В случае, если возмущающая сила не является гармонической и может быть рассмотрена как сумма гар­

монических слагаемых, то вынужденное колебание будет иметь

Как исключение можно рассматривать случай, когда частота

одного из гармонических слагаемых совпадает с собственной ча­

стотой системы. В этом случае резонансное вынужденное колеба­

ние будет иметь гармоническую форму, так как влияние возмущаю­ щей силы других частот в таких условиях окажется неощутимым.

При рассмотрении свободных и вынужденных колебаний были

приняты допущения, что коэффициент жесткости упругой системы не зависит от амплитуды колебания, а сопротивление пропорцио­ нально скорости движения колеблющегося тела. Из этих допу­ щений вытекают два основных вывода: 1) частота собственных

колебаний не зависит от амплитуды, 2) при совпадении частоты возмущающей силы с частотой собственного колебания наступает явление резонанса, при котором амплитуда вынужденного коле­

бания приобретает максимальное значение.

В большинстве случаев указанные допущения в достаточной мере отражают действительность, и сделанные на их основе выводы

дают довольно правильные объяснения явлений, вызываемых коле­

баниями машин. Однако приходится сталкиваться с явлениями,

не вполне соответствующими этим выводам.

Основными причинами этого являются, во-первых, изменение

упругости в зависимости от амплитуды колебания и, во-вторых,

26

нелинейная зависимость между сопротивлением и скоростью дви­ жения колеблющегося тела. Модуль упругости резины, например,

ний будет в первом случае увеличиваться, а во втором уменьшаться.

Следовательно, явление резонанса (максимальная амплитуда вы­

нужденного колебания) будет иметь место не при совпадении частот

возмущающего и свободного колебаний, а лишь вблизи этого сов­

падения. Сопротивление среды (воздуха, жидкости) пропорцио­ нально скорости только при незначительных ее изменениях, что также оказывает влияние. Наконец следует учитывать конструк­

Автоколебания в машинах ресьма часто образуются за счет

взаимодействия сил упругости, инерции, трения покоя и трения

движения. Рассмотрим механизм такой автоколебательной си­ стемы на примере модели, схематически изображенной на фиг. 19.

Двигатель 1 равномерно вращает маховик 2, к ободу которого

прижата колодка 3, удерживаемая пружиной 4. Колодка увле­

кается маховиком при его вращении за счет силы трения покоя и движется в сторону вращения до тех пор, пока сила упругости растягивающейся пружины не превзойдет эту силу трения покоя,

после чего произойдет срыв колодки с поверхности маховика. С мо­ мента отрыва колодки от маховика под влиянием силы упругости

растянутой пружины, которая оказывается значительно больше силы трения движения, колодка получит движение в обратном

направлении. Ее скорость будет изменяться по синусоидальному

закону; частота синусоиды (собственная частота колебательной

системы) определяется жесткостью пружины и массой колодки. Под влиянием силы'инерции колодка сожмет пружину и, до­

стигнув крайнего положения, под действием силы упругости сжа­

той пружины и при содействии силы трения движения, получит

ускоренное движение в направлении вращения маховика.

27