книги из ГПНТБ / Вайнштейн Л.А. Выделение сигналов на фоне случайных помех

где Р (т), Р (0), р[т(у)] и ртО имеют тот же смысл,

что и аналогичные выражения при сложном обнаружении.

вестном параметре т. В результате приема мы находим плот­

ность апостериорной вероятности для всех возможных зна­

метр 0 не измеряется; возможные значения z и 0 образуют непрерывную совокупность. Вероятность появления функ­

параметр 6, мы должны образовать плотность апостериор­ ной вероятности для параметра т

вычислениям, мы в следующем параграфе рассмотрим

В этом случае выписанные выше формулы имеют несколько иной вид.

180

основные понятия которой были рассмотрены в предыду­ щих параграфах, вопрос об априорных вероятностях по­ лезного сигнала связан с определенными трудностями. Дей­ ствительно, априорные вероятности нужны для вычисления апостериорных вероятностей, т. е. они необходимы для фактического осуществления оптимального приемника. Од­ нако априорные вероятности часто неизвестны. Так, Вуд­ ворд пишет: «Рассмотрим, например, априорную вероят­ ность обнаружения самолета некоторой радиолокационной установкой на расстоянии 16 км завтра в 9 ч утра. Если установка расположена на аэродроме с регулярным дви­ жением, статистический анализ прошлого может дать нам нужные вероятности в предположении, что движение са­ молетов представляет собой стационарный случайный про­

цесс. Для большого класса задач, однако, мы не распо­ лагаем статистикой либо потому, что она не изучалась, либо вследствие более фундаментального обстоятельства: в прошлом не существовало совокупности сходных ситуа­ ций, из которой можно было бы вывести определенное суж­ дение».

соответственно вероятностями наличия и отсутствия по­ лезного сигнала на входе приемника. Эти вероятности наи­ более трудно оценить. Априорные вероятности рт (т), pmW)

Эти распределения в ряде случаев можно более или менее уверенно найти из теоретических соображений. Так, на­ пример, случайную высокочастотную фазу при некогерент­ ном приеме естественно предположить равномерно распре­ деленной по окружности, амплитуду флюктуирующего сиг­

181

предположить равномерно распределенными; при увеличе­

лезного сигнала по неизвестным параметрам т и 0 известен,

мы можем вычислить введенные выше для различных

случаев коэффициенты правдоподобия Л, Л (0), Л (х) и А (т;, 0).

можно обойти, если изменить определение оптимального

приемника и назвать оптимальным приемник, образующий

коэффициенты правдоподобия (а не апостериорные вероят­ ности). В таком случае оптимальные приемники по опреде-

182

лению должны выдавать следующие математические ве­ личины:

На основании входных данных и образованных с их

помощью величин (30.06) обычно приходится принимать

решения. Если решать должен человек, например ответить

«есть сигнал» или «нет сигнала», то оптимальный прием­ ник лишь помогает человеку, оставляя за ним операцию решения. Надо сказать, что в своих решениях человек всегда использует (часто ,не осознавая этого явно) апри­ орные знания о вероятности появления сигнала: в частно­ сти, если априорная вероятность появления сигнала доста­ точно мала, то для ответа «есть сигнал» потребуется бо­

лее сильное превышение сигнала над шумами, т. е. боль­ шее значение Л.

Процесс решения нетрудно автоматизировать. Ограни­

где Р* —некоторое „пороговое" значение вероятности, ска­

183

с двумя порогами Р* и Р# использует апостериорные

вероятности на выходе оптимального приемника более пол­ но, но при этом иногда дает неопределенный ответ. Если

ственный выход заключается, очевидно, в применении пра­ вила (30.08) с одним порогом. Если же информация посту- ' пает в приемник постепенно, то на основании входных данных, накопившихся за фиксированный промежуток вре­ мени, можно принять и неопределенное решение, указы­ вающее на необходимость продолжать наблюдение. В этом случае можно применить «двухпороговое» правило (30.09);

в принципе можно было бы, вероятно, использовать и бо­

лее сложные правила.

Рассмотрим более подробно правило (30.08). Коль скоро мы выберем одно из двух возможных решений, то мы всегда можем или принять правильное решение или ошибиться. Ошибки могут быть двух типов. Первый тип ошибки — принятие решения «да», когда на входе присут­ ствует только помеха. Эта ошибка называется ложной

ошибка называется пропуском сигнала, вероятность этой

ошибки мы будем обозначать через Do. Вероятность лож­ ной тревоги F является вероятностью принять помеху за сумму сигнал + помеха; вероятность пропуска Do есть ве­ роятностью принять сумму сигнал + помеха за чистую по­ меху.

Правильные решения также могут быть двух типов: правильное обнаружение и правильное необнаружение. Вероятность правильного обнаружения, которую мы

обозначим через D, есть вероятность принять сумму сиг-

нал + помеха за сигнал + помеха, а вероятность правиль­ ного необнаружения, которую мы обозначим через Fo, есть вероятность принять помеху за помеху. Очевидно, что F, Dq, D и Fo — условные вероятности: Ео и F— вероятности принять правильное или неправильное решение при усло­

вии, что полезного сигнала нет, D и Do — такие же вероят­ ности при условии, что полезный сигнал присутствует. По­ этому выполняются соотношения

184

„решающий" оптимальный приемник должен образовывать коэффициент правдоподобия А и подавать его на вход ре­

шающей схемы (30.12) или (30.14). Заметим, что вместо А можно использовать любую монотонно возрастающую функцию Л (например, In А), что часто упрощает схему оптимального приемника. Порог Л в формуле (30.12)

обычно находят из требования, чтобы вероятность ложных тревог равнялась заданному значению (часто весьма малому, например, /?=10-3, Е=10“5 или С=10~'°).

Остановимся в заключен е на терминологии, принятой в лите­ ратуре.

Наблюдателем Неймана-Пирсона (Neymann-Pearson) называют на­ блюдателя, который на основании принятых данных принимает реше­ ния о наличии сигнала m(t) по правилу, которое обеспечивает мак-

185

снмальную вероятность правильного обнаружения D при фиксиро­ ванной вероятности ложной тревоги F за данный промежуток вре­

дит к меньшим D (при заданных F и Г).

Идеальный наблюдатель Зигерта (Siegert) принимает решение, обеспечивающее максимальную вероятность W по формуле (30.11) при фиксированном времени наблюдения Т. Решение принимается

данных, непрерывно поступающих на вход приемника. Последова­ тельный наблюдатель имеет возможность задержать решение до по­ ступления новых данных; правило решения для него имеет вид (30.14). Однако математическая теория последовательного наблюдения отли­ чается большей сложностью, и мы в дальнейшем будем исключи­ тельно применять схему решения (30.12) с одним порогом, интер­ претируя ее в духе наблюдателя Неймана-Пирсона.

Более глубокий подход к статистической теории приема дает

§ 31. ПРОСТОЕ ОБНАРУЖЕНИЕ СИГНАЛА НА ФОНЕ КОРРЕЛИРОВАННЫХ НОРМАЛЬНЫХ ПОМЕХ

.помех. В данной задаче полезный сигнал ,m(Z) может либо отсутствовать, либо быть вполне определенной функцией времени.

Что касается помехи, то в теории оптимальных прием­ ников мы будем считать, что она является стационарным

которая полностью определяет статистические свойства по­ мехи (см. гл. IX). Нормальный характер помехи позволяет сравнительно просто вычислять различные вероятности,

связанные с помехой, поскольку мы опираемся на распре-

деления Гаусса. Стационарность помехи не очень важна

186

в общих рассуждениях, однако лишь для стационарных помех удается в большинстве задач довести исследование

до выводов, которые могут быть эффективно использованы на практике.

Данные предположения о свойствах помехи позволяют охватить ряд помех, представляющих технический инте­ рес, в частности собственные шумы приемника и радиоло­ кационные помехи, обусловленные хаотическими отраже­ ниями (см. гл. IX и XI).

Начнем рассмотрение простого обнаружения со случая,

когда входной процесс f(t) нам известен только в дискрет­ ные моменты времени

=1)Аг\ /г=1,2, ...Н. (31.03)

Значения / (Д) мы будем обозначать через fh и называть

выборками входного процесса или элементами входной последовательности. Аналогично вводим выборки полезного сигнала т (t) и помехи п (t) по формулам

= n^n(th). (31.04)

Очевидно, что формула

Итак, если за время наблюдения мы сделали Н выбо­ рок, то корреляционная матрица помехи будет иметь эле­ менты

Rgh = ngnii = ( S ~ h ! A0; £- ^=1- 2, ... H.

(31.07)

Она обладает следующими особенностями: но главной диа­ гонали стоят элементы /?Д0), имеющие наибольшую аб­

солютную величину; элемент, стоящий на h столбцов ле­

вее или правее главной диагонали, равен Rn (hAt). Обратная матрица Qgh удовлетворяет соотношению

<3|08>

/-1

187

где Sgh — символ Кронекера, равный 1 при g = h и 0 при

g=£h. Элементы этой матрицы определяются соотноше­ нием

(31'09)

нала, когда nh = fh — mk, равна

=— w) =

(31.13)

188