книги из ГПНТБ / Михельсон В.С. Элементы вычислительной математики учебное пособие для электроприборостроительных техникумов

§ 5. Линейная зависимость столбцов матрицы

Дана матрица

3 2 2 14 —6 А = - 4 7 —1 12 4 5 2 8 24 3

14

Столбец Во = 12 можно линейно выразить через остальные

24

Оп р е д е л е н и е . Если один из столбцов матрицы можно ли­ нейно выразить через другие, то столбцы матрицы называются ли­ нейно зависимыми.

В рассмотренном примере столбцы матрицы линейно зависимы.

Оп р е д е л е н и е . Если никакой столбец линейно не выражается

через остальные, то такие столбцы называются линейно независи­ мыми.

В матрице

1 О О

0 4 0

2 5 3

столбцы линейно независимы. Действительно:

79

так как при любых cti и а2 элемент первой строки суммы равен ну^

так как правая часть равна

ar l

О

сс^ • 2 -j- ct2 *3

и при любых Oi и о2 элемент второй строки суммы равен нулю, а не четырем;

3) третий столбец нельзя выразить через первые два, так как

Поэтому, чтобы в полученном столбце элементы первой и вто­ рой строк равнялись нулю, необходимо, чтобы ai = a2=0, но тогда элемент третьей строки также будет равен нулю, а не трем, как в

третьем столбце.

Итак, мы убедились, что ни один из столбцов рассматриваемой матрицы линейно не выражается через остальные. Это значит, что столбцы матрицы линейно независимы .

Можно доказать следующую теорему.

Т е о р е м а . Определитель D п-го порядка равен нулю тогда и только тогда, когда его столбцы линейно зависимы.

П р и м е р .

SO

Так как определитель равен нулю, то его столбцы линейно за висимые. Действительно,

значит третий столбец линейно выражается через первые два.

§ 6. Условия существования решения системы линейных уравнений

В этом параграфе приводится условие, которому должны удов­ летворять коэффициенты системы линейных уравнений, чтобы систе­ ма была совместной.

Дана система т линейных уравнений с п неизвестными:

( au Х 1 + а Х2 х 2 + • • • + а Хп х п = Ь \ ,

ат\ Х 1 + ат2 х 2 + ■• • + От п Х п —■Ьт.

Обозначим через А матрицу

аи •• ■О-Хп

( 10)

атг - • а т п

ичерез А расширенную матрицу

а1 1 ■- ■а\п bi

( И )

amV • атп Ь,п

которая получается из матрицы А добавлением столбца свободных членов. Столбцы матрицы А обозначим через Кi, Кг,. . Кп, а стол­ бец свободных членов через В.

Рассмотрим матричное уравнение

Э т о у р а в н е н и е м о ж н о з а п и с а т ь в д р у г о м в и д е :

шение уравнения (12) является решением системы (9), и наоборот. Если система (9) несовместна, то и уравнение (12) не имеет решения.

хи х2, .... л„, для которых имеет место (14).

Следовательно, исходя из эквивалентности системы (9) и урав­

нения (12), хи х2, ..., х п — решение системы (9).

Итак, система (9) совместна тогда и только тогда, когда стол­ бец свободных членов В линейно выражается через столбцы матри­

Это значит, что имеется минор второго порядка не равный нулю, а все миноры третьего порядка равны нулю. (Проверьте это утверж­ дение путем вычисления окаймляющих миноров третьего порядка.)

На основании вышеприведенной теоремы это значит, что любые три столбца линейно зависимы, но имеются два столбца линейно Не­ зависимых.

82

минор, линейно независимы.

Выше рассмотренный пример приводит нас к важному выводу: ранг матрицы А равен максимальному числу линейно независимых столбцов этой матрицы.

Вопрос о совместности системы линейных уравнений полностью решается следующей теоремой.

А. Остальные столбцы матрицы А линейно выражаются через столб-

цы Kt ,..., Ki R.

Матрица А отличается от матрицы А только столбцом свобод­ ных членов. Так как система (9) по предположению совместна, то, как было установлено выше, столбец В линейно выражается через столбцы матрицы А. Это означает, что любой минор (Д+1)-го по­

рядка в матрице .4 равен нулю, т. е. ранги матриц А и А равны. Пусть, с другой стороны, ранг матрицы А равен рангу расширен­

ной матрицы А. Докажем, что система совместна. ЕслиД п,--, Ki^—

линейно независимые столбцы матрицы А, то эти же столбцы явля-

Таким образом, мы получили равенства:

которые определяют общее решение заданной системы.

Задавая произвольные числовые значения неизвестным х3 и дг4, можно получить различные решения заданной системы. Например,

также равен двум, и поэтому система совместна. Минор D состоит из элементов второго и третьего уравнений и второго и третьего столб­ цов, поэтому рассматриваем систему

85

Способ составления общего решения системы линейных уравне­ ний, рассмотренный в предыдущем примере, можно сформулировать следующим образом.

1. Находим минор D максимального порядка не равный нулю в матрице А системы (9) и определяем ранг этой матрицы.

2.Определяем ранг расширенной матрицы.

3.Если эти ранги не равны между собой, то,система несовмест­

на — прекращаем вычисления.

4.Если ранги равны, то составляем систему, определитель ко­ торой совпадает с минором D.

Для этого из заданной системы отбрасываем все уравнения, ко­ эффициенты из которых не входят в минор D. В правую часть остав­

шихся уравнений переносим все неизвестные, коэффициенты которых

§ 7. Вычисление определителей методом исключения (метод Гаусса)

Определители приходится вычислять не только при решении си­ стем линейных алгебраических уравнений. Многие технические задачи связаны с численным вычислением определителей высоких порядков.

86

Для этого вынесем за знак определителя элемент 022—6,5, по­

Промежуточные результаты, которые получились в составленных выше определителях, целесообразно заносить в специальную таблицу

дый нечетный столбец, начиная с пятого, называется основным, а все остальные — вспомогательными. Таким образом, составленная табли­ ца содержит четыре дополнительных, четыре основных и четыре вспо­ могательных столбца.

Каждый основной столбец и стоящий справа от него вспомога­ тельный называются связанными.

Элементы рассматриваемого определителя записываются в пер­ вых трех основных столбцах в строках в I зоне.

Для определителя п-то порядка таблица состоит из л2 строк, разделенных на л зон, которые соответствуют строкам опреде­ лителя.

Таблица содержит л+1 основных, л+1 вспомогательных и четы­ ре дополнительных столбца. Элементы определителя записываются в первых л основных столбцах I зоны.

В последнем основном столбце (предпоследнем столбце в табли­ це) записываются контрольные числа, равные сумме элементов исход­ ного определителя, расположенных в соответствующих строках.

В строках И зоны основных столбцов записываются элементы первого промежуточного определителя и контрольные суммы его эле-

-86