Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Михельсон В.С. Элементы вычислительной математики учебное пособие для электроприборостроительных техникумов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.10.2023

Размер:

7.59 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2815 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Частным решением этого уравнения является функция

			у = Сечх .		(35)
Параметр q зависит от значений коэффициентов а,-, а параметр
С от начальных условий.			значение q,	подставим	значение у, у \ .
Чтобы	определить
г/"—1, Уп в уравнение		(34). Так как
у	= Cqeqx ,	у	—Cq2 eqx ,	, 1/(л* = Cqn eqx ,
то
I/(,!) + ai г/(,г_1) + ■• • +о„ У =				Ceqx ( qn +	ах qn~ x-f

+ • • • + а п - \ У + а п ) = °-

Если мы хотим найти решение (34), которое не равно тождест венно нулю, то должны взять значение С отличным от нуля. Тогда из предыдущего равенства следует, что функция (35) является реше

нием уравнения (34)	тогда и только тогда, когда
Яп +	«1 Яп ~ 1 ~\-------- Ь я„-1 Я+ ап = 0 ■	(36)

т. е. когда q является корнем алгебраического уравнения п-й степе ни (36). Это уравнение называется характеристическим уравнением

дифференциального уравнения			(34). В этих двух уравнениях одина
ковые коэффициенты ах.......а п.			Уравнение (36) имеет п корней, ко
торые могут быть как действительными,				так и комплексными (см.
стр.	105).
	Рассмотрим три случая.			уравнение имеет	п различ
ных	1-й с л у ч а и .	Характеристическое
	действительных корней.		Пусть qt....... qn — корни		уравнения
(36). Тогда
	yi =	e4i* , у2 =	eq*x , ■■■ ,	уп = eqnx ...	(37)

представляет собой систему п частных решений дифференциального уравнения (34). Эта система является на всей числовой оси линейно независимой. Чтобы в этом убедиться, составим определитель Врон

ского:

140

e q 'x . . .	л а „ х
	е ч п
q x e q 'x - - • Я п	а х
	е Ч п

W (ух..........Уп) =

<?х

Чх

П— 1

	' Г 1 е^х ■■■	e V
	Чх
• •	1
• •	Ч п
	Л
■ ■ Ч п			qn)
	ех ( М ----1-qn) V (?i.........		qn)

			Ч 1	■ ■ Ч п
или W(yu . . . , y n)=e			а'х	V(qu ... ,q n),		где V(qu			опреде
литель Вандермонда, рассмотренный на стр. 56.									поэтому
Так как	все	корни		различны,	то	К(<7ь • • •, <7п) ¥=0,			поэтому
W(y,.......у п)¥=0 .			мы убеждаемся		в том,		что система (37) линей
Таким образом,			мы убеждаемся		в том,		что система (37) линей
но независима.
Это значит, что
	Ух =		Ci eq'x + С2 е”гХ Л----- +				С„ eqnx
является общим решением уравнения (34).
П р и м е р ы		1)	Найти общее решение уравнения
				У" — У' — 12г/ = 0.
Р е ш е н и е .		Составляем характеристическое						уравнение
				q2 — q — 12 = 0.
Корнями	этого		уравнения являются			q\ = A и		<?2= —3.	Так как
корни действительны и различны, то

у — Сх е4х + С2 е~3х

общее решение.

141

2) Найти частное решение уравнения
У"' - 2у" - 5у' + 6 у = О
при начальных условиях
У (0) — 1. У' (0) =				2 и у"	(0) =	1.
Р е ш е н и е . Находим		общее		решение. Для этого				составляем
характеристическое уравнение
q3 — 2q2 — 5q + 6 = 0,
= 1, q2 ——2 и ?з = 3 — корни этого уравнения,						поэтому
у — Ci ех -р Со с ^‘х + С 3 е
— общее решение. Найдем у' и у":					„зл-
					„зл-
у’ = Ci ех — 2Са е_2л: + ЗС3 е:
У ” = Cj. е* + 4С2£>-" +					„З.С
У ” = Cj. е* + 4С2£>-" +					9С3е‘
Чтобы выполнялись начальные условия, Ci, С2							и С3		должны
иметь такие значения, что
У *=0		: СХ+		С2 +	С3 ' 1 ’
У \х=	0	“ 1		---2 I — 3
= 0 = С , — 2 С + З С Я = 2 ,
У" \|ж=0 = с, + 4С2 + 9С4 = 1
		1	1 4С2 ' 1 —3
Решая полученную	систему		трех линейных			уравнений			с тремя
				„	„	35	,	С2 =	8
неизвестными, находим значения С\, С2, С2: Ci — ——							,	С2 =	— -----
3						30			30
3
и С3 = ----- ,
30
Искомое частное решение
35	,		8		3	„ З х

3) Найти общее решение уравнения

у’" _ зу" + 2у ’ = 0,

142

Р е ш е н и е . Характеристическое уравнение

	дз _ 3?2 _\|_ 2д =	О,
имеет корни <7i= 0, q2= 2 и ?з= 1, поэтому
	. у==Сх + С2 е™ + С3 е*
— общее решение.		уравнение	имеет	п различ
2-й с л у ч а й .	Характеристическое
ных корней, среди	которых имеются комплексные.		Пусть	<?\| = а + \|3г

является комплексным корнем характеристического уравнения, тогда это уравнение имеет сопряженный комплексный корень q2 = а—Pi. Каждой паре сопряженных комплексных корней соответствуют два частных решения:

Ух = е“ cos Рх и у2 — е*х sin Рх.

Убедимся- в том, что у\ является решением дифференциального уравнения (34). Для этого воспользуемся формулой Эйлера

(			e i ? x + e - i ? x
(		cos Рх =	2
Тогда			2
Тогда
Ух =	cos Рх —еы			е ( я + 1 ? ) х _\|_ е ( я — 1?)х
Ух =	cos Рх —еы				2
		eqs + eq2x			2
		eqs + eq2x
			2
Подставим полученное для у\ выражение в левую часть урав
нения (34), получим					\|_ eqzx	\(«)
		у [ - ^ + . . . + ап у , =		eq,x	\|_ eqzx	\(«)
		у [ - ^ + . . . + ап у , =			2	) +
	+ ai I-	g q lX + e q*x	( п — 1)	/	, e q2<c
	+ ai I-	2	+ • • ■ + а п	(
			+ • • ■ + а п	(
	+ е<нх {У2 + а\		н—	+ % )]	= °>	(38'

так как выражения в круглых скобках равны нулю (q1 и q2 — корны характеристического уравнения).

Равенство (38) показывает, что yi является частным решением.

Аналогичным методом можно убедиться, что у2 =еах sin fix является частным решением, если воспользоваться формулой Эйлера

ея‘х _ е—	•
sin fix — -------2/-------

П р и м е р . Найти общее решение уравнения

у'" + 2у" + Ъу' - 26(/ = 0.

Р е ш е н и е . Характеристическое уравнение q3 -)- 2q* -f 5q — 26 = О

имеет корни qi= 2, q2 ——2+ 3i и q3 = —2—3/.

Частные решения дифференциального уравнения:

Ух = е2х , г/3 = е~2х cos Зх и у3 = е~2х sin Зх.

Общее решение имеет вид

У — Сх е2х + С2 е~2х cos Зх + С3 е~2х sin Зх.

3-й с л у ч а й . Характеристическое уравнение имеет кратные

корни.

Пуст ь

Я\> • • • , Цп

корни характеристического уравнения (36). Предположим, что qx

является	корнем кратности k0 и q\ = q2=		= <7ло(см. стр.	105). Рас
смотрим функцию y=zeq'x . Так как
	У' = еЧ'х (г' + zqx) ,
	y \ = e qiX { г	qx +zq*) ,
y W	= ^ ( 2(«) +	с гп 2(« -1) ^ + .. . +	С ^ г ' у Г 1 +	«f{) ,

то все производные являются произведениями е ^ х на сумму произ водных функции г, умноженных на постоянные коэффициенты — сте

-144 —

пени числа <71. Поэтому, заменив в уравнении (34) у на ze '7‘* и со

кратив все члены на eq'x, получим новое линейное однородное диф ференциальное уравнение от функции z с постоянными коэффициен тами:

г<«> +	bl	+ • • • +	г + Ьп z = 0.	(39)
Составим для него характеристическое уравнение
hn +	bl hn	' + • ■• + bn_ j h -\-bn = 0.		(40)
Пусть tn — корень этого уравнения, тогда z —emx — частное				ре
шение уравнения	(39),	но y= zeq'x , поэтому у= е t-‘h + m'>x— частное
решение исходного дифференциального			уравнения (34). Это значит,

что q— m + qi является корнем характеристического уравнения (36), т. е. каждому корню т уравнения (40) соответствует корень q урав нения (36).

Уравнение (34) можно получить из (39) подстановкой z= ye~ q'x - Это значит, что каждому корню исходного характеристического урав нения q соответствует корень m = q—_q\ уравнения (40).

Корню qt соответствует корень m — q1—<7i= 0, кратность корня т равна кратности корня qь т. е. k0. Поэтому уравнение (40) можно разложить на множители

(h - т)^ ( А"-*- + d, ft" -* » -1 + •. • + dn_ ka__x ■h + d„_ J = 0

ИЛИ
hn~ k° + dx		+	• • • +			h + dn_ h =	0.
Это значит, что дифференциальное уравнение (39) можно за
писать в виде
г{п~ Ы +			+ • • • + dn_ ka_ , z' + dn_ ka z = 0.
Этому уравнению		удовлетворяют следующие k0					частных ре
шений:
г\ — 1»	^2 ~	х,	гз — X" , ... >			z^o— х	*
Так как y —zqiX, то.
</, = e4lX ,	у2	= xeq'x ,		... ,	уК =	хк°~' eq'x ,	(41)
10—440			—	145	—

Эти частные решения линейно независимы.

Если другие корни (?. имеют кратность выше первой, то при помощи (41) определяем для каждого корня систему линейно неза висимых решений. В каждую систему входит столько решений Уи

1/2, .., f/i из	(41), какова кратность соответствующего корня.
Так как	сумма кратностей всех различных корней равна п,

то объединяя вместе все эти системы решений, получим полную

фундаментальную систему	решений.			(34), если кор
Пр и м е р . Составить общее решение уравнения				(34), если кор
ни его характеристического уравнения равны:
9it2 =	3>	9з,4 = — 1 +	2/,
95,6 = — 1	2 /,	97 — 2,	98,9,10 =	0.

Р е ш е н и е . Корням характеристического уравнения соответст вуют следующие частные решения:

у1 = езх и у2 = хезх,

у3 = е~х cos 2 х и у4 = хе~х cos 2 х,

у5 — е~~х sin 2 х и у6 =	хе~х sin 2 х,
У-; = е зх,
9 8 = 1 - к9 = 1 и у 10 = Л
Окончательно получаем общее решение в виде
у = С\ е3х -)- С2 xeSx -f Сз е~х cos 2х-\-С4 хе~х sin 2х +
-}- С*5е х cos 2 х -f- Cqхе х sin 2 х -f- С7	в х -j- Сд -f-	х ~t"~	х3 *
Неоднородные линейные уравнения.	Уравнение	вида
1/(я) + Hi (X) у^п- 1) + - - - + а п (х)у=*Ь{х),			(42)

где Ь(х)Ф0, называется неоднородным линейным уравнением. Если в уравнении (42) b(x) s0 , то получим однородное уравнение

y W + ... + а пУ = о,

(43)

которое соответствует данному неоднородному. Нахождение общего решения уравнения (42) сводится к нахождению одного его частного решения и общего решения соответствующего ему однородного уравнения.

146

Пусть
Уи Уг. ••• . Уп
— система п линейно независимых решений однородного	уравнения
(43). Чтобы не находить частное решение уравнения (42),	будем сра
зу искать его общее решение в виде
У = Ci (х) У\ + С2 (х) У2 + • • • + Сп (х) у„.

Неизвестные функции определяются следующим образом. Рассмотрим систему


С [(х)у1 +	С2 (х)у2		Н-------- \-Сп {х)уп = 0 ,
С\ (х) у[п- 2) +	С2	(х) (/<л- 2) +		• • • +	С'п (х) ^ л~ 2>=	О,
Cl (*) у[п~ 1) +	С2	(х) у ? - Х) +		• • • +	С'п (х) у '" - 1’ =	Ь(х).

Неизвестными в этой системе являются производные от искомых функций С,(х). Определителем этой системы является определитель

Вронского,	который отличен от нуля, так	как	у........ у п — линейно
независимая система, поэтому система		эта	совместна	при лю
бом Ь(х).
Решив	эту систему, найдем С(- (*), а	значит сможем		найти и

С,(х).

§5. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений

Метод последовательных приближений. Этот метод рассмот рим на примере решения дифференциального уравнения первого по рядка

y' = f ( x , y ) .

(44)

с начальным условием у=Уо при х = х 0. Записав уравнение (44) иначе

dy — f (х, у) dx,

— 147 —

п р о и н т е г р и р у е м о б е ч а с т и о т хо д о х , п о л у ч а е м

у	*
Jrf</ = J		f{x, у) ах
У ч	Х о
ИЛИ	X
	X
У = Уо +	\|	f (X, y)dx.	(45)

X a

Таким образом, уравнение (44) заменено интегральным уравне нием (45), в котором неизвестная функция у находится под знаком интеграла.

Легко видеть, что функция у(х), удовлетворяющая уравнению (45), будет решением заданного дифференциального уравнения и

У{Хй)=Уа. Исходя из этого будем искать решение полученного ин теграла. Будем решать это уравнение методом последовательного приближения.

За первое приближенное значение искомой функции у{х) возь мем функцию yi(x):

У\ (х) — Уо + J х.

Под знаком интеграла стоит функция от одного независимого переменного |.

При помощи yi(x) составляем выражение /(!, у\ (£)) и находим

у » (*) = </» +

■«о

При помощи у2 (х) составляем выражение /(£, г/2 (^)) и находим

X
уз{х) = у» + ^ H i, у-Л1)Ш	(46)
л:0

148

и вообще, вычислив			у п-\(х), подставляем это значение в			правук
части интегрального			уравнения (46)	и находим
			X
		У п (х ) ^ У 0 + J f (S- у , i- i( S ) ) ^ -
Таким	образом,		составляется	последовательность		функций
УЛХ), Уг\х), ■■■>Уп (х). Справедлива следующая теорема.
Т е о р е м а .		Пусть в окрестности точки			(х0, уа) функция f(x,y)
непрерывна	и	имеет ограниченную		частную	производную	f у (х, г/);

тогда в некотором интервале, содержащем точку х0, последователь ность {yi(x)} сходится к функции у(х), являющейся решением диф ференциального уравнения y'=f{x,y) и удовлетворяющей условию

У(хо) =Уа-

Пр и м е р . Найти частное решение уравнения

У’ = у — X

сначальным условием у (0)=2.

Р е ш е н и е . Так как X q = 0 и # о = 2 , т о

	х	X
Ы * ) = 2 +	) f a , 2)dg = 2 +	(2 - l ) d l = 2 + 2 x ~ Y **;
		О
Уг (х) = 2 + f/	2 + 2g — у I 2) dt = 2 + j ^ 2 + 2g - у **-

	X	X
		f (2 I 2E'-:- 2!
y3 (x) = 2 -\|~	0

/4 9

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2815 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ