книги из ГПНТБ / Михельсон В.С. Элементы вычислительной математики учебное пособие для электроприборостроительных техникумов

На основании свойства 8 имеем

Поэтому A - B=E„, т. e.

В = A—1.

Таким образом, доказано, что любая неособенная квадратная матрица имеет обратную матрицу.

П р и м е р . Найти матрицу, обратную к матрице

3 4 1

А= 0 3 4 2 4 5

69

§3. Запись и решение системы линейных уравнений

вматричной форме

Ь\

через В — матрицу-столбец свободных членов

Ьп

70

Вычислим произведение

Это уравнение может быть записано так:

Написанное равенство двух матриц-столбцов имеет место в том случае, если каждый элемент одной из них равен соответствующему элементу другой, т. е. если справедлива система (5).

Это означает, что систему (5) из п линейных уравнений с п не­ известным можно заменить одним матричным уравнением (6). Ре­ шим это уравнение.

Если матрица А является неособенной, то можно найти матри­ цу А _1, обратную к матрице А.

Умножим левую и правую части уравнения (6) слева на Л-1, по­ лучаем

Л-1-(Л-Х) = A -i-B

или

(A -i'A )-X = Л-1-В,

но (Л-1 • А )—Еп, а Е п -Х ^Х , поэтому из последнего равенства полу­ чаем решение уравнения (6) в матричной форме:

X = Л-1-В.

71

Чтобы получить решение исходной системы, нужно вычислить произведение А ~ 1 • В и определить элементы вектора-столбца X. Они образуют искомое решение.

П р и м е р . Решить систему

72

74

свободных членов вычислять произведение этой матрицы на матрицу-

типа тХп. Из элементов этой матрицы можно составлять определи­

Элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов, обра­ зуют квадратную матрицу. Определитель этой матрицы называется минором k-ro порядка матрицы А.

Наибольший порядок миноров, который можно составить из эле­

^— 75

Все пять миноров четвертого порядка этой матрицы равны ну­ лю, но имеется минор третьего порядка

не равный нулю. Порядок этого не равного нулю минора и есть ранг матрицы А.

Сорядок минора, не равного нулю.

Из этого определения следует, что ранг матрицы А равен R,максимальныйО п р е д е л е н и е . Рангом матрицы называется

Р е ш е н и е . Вычислим все миноры третьего порядка:

76

лю, например |3|=3. Это означит, что ранг матрицы А равен еди­

нице.

Можно доказать следующие свойства миноров матрицы.

1. Если все миноры k-ro порядка матрицы А равны нулю, то все миноры более высоких порядков также равны нулю.

2. Если минор D k-ro порядка не равен нулю, а все миноры (k+\)-ro порядка, полученные окаймлением этого минора, равны нулю, то и все миноры (ft-fl)-ro порядка равны нулю (значит ранг матрицы равен /г).

Рассмотрим второе свойство на примере. Пусть

Возьмем минор второго порядка

О = 11 f I = — 10^=0.

Вычислим все миноры третьего порядка, получаемые окаймлени­ ем минора D, таких миноров можно составить четыре:

Так как все эти миноры равны нулю, то на основании свойства 2 все остальные 16 миноров третьего порядка равны нулю. На­ пример,

— //

4 1 3 4 1 3 4 1 3

и т. д.

Таким образом, вместо вычисления 20 миноров третьего порядка достаточно вычислить 4, окаймляющие не равный нулю минор вто­

рого порядка D.

Ранг матрицы А равен двум.

Для вычисления ранга матрицы целесообразно:

1)переходить от миноров меньших порядков, начиная с мино­ ров первого порядка, к минорам больших порядков;

2)если найден минор 6-го порядка D, не равный нулю, тогда

следует вычислять миноры (6+1)-го порядка, получающиеся окай­ млением минора D;

3) вычисление таких миноров нужно продолжать до тех пор, пока среди них не найдется минор, не равный нулю. В этом случае ранг матрицы не меньше, чем (6+1), и нужно повторить предыду­ щее правило. Если все эти миноры равны нулю, то ранг матрицы

78