Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Михельсон В.С. Элементы вычислительной математики учебное пособие для электроприборостроительных техникумов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.10.2023

Размер:

7.59 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 287 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

2 1		—1	--1—	2	1 —1
( _ 1 ) . (_1)4+4. —I	1	1	«_1	=s —— 1 2		0
1	3	1	ч—	3	4	0

= (+ 1) . ( _ 1)1+з. |1 2 | = _ 2-

Аналогичным методом находим, что

2	3	2	— 1		2	3	0	2
— 1	1 — 1		2	= — 26 и D i —	— 1	1	— 1 — 1
1 — 1		3	0		1	— 1	1	3
0	1	1 — 1			0	1	1	1

Окончательно определяем

L	9		D з	1
—=*	7	х 2 =	D -	- 7
}
Аз_	sz	13	D.,
		—— И х ±	— ~~~ *= 1.
D		7	D
§ 2. Некоторые свойства матриц
О п р е д е л е н и е . Прямоугольная			таблица чисел называется

матрицей. Числа, входящие в эту таблицу, называются элементами матрицы. В матрице числа располагаются по строкам и столбцам.

Матрица, состоящая из п столбцов и m строк, обозначается так:

С11* ‘ с \ п

Сm l * *с т п

Про такую матрицу будем говорить, что она является матрицей типа т Х п .

Элементами матрицы могут, например, быть коэффициенты за данной системы (1), можно в матрицу включить столбец свободных членов. Например, для системы

2xi Хз	== — 7,
— х^ Н- Х2 — Хз =		2,
Хз -\|- Зхз —		1,
Xj + Хг —	Хз —	4

— 59 -

можно составить матрицы типа 4X3 и 4X4:
		2	1	0		2	1	0	- 7
		—1 1 -1			И	—1 1 —1			2
		0	1	3		0	1	3	1

		1 1 - 1				1	1 —1		4
Сокращенно матрицу				будем обозначать					в виде
					НАН
ЕСЛИ число строк матрицы равно числу столбцов ( т = я), то та
кая	матрица	называется			квадратной матрицей порядка п. При
тфп	матрица	называется			прямоугольной.				Диагональ квадратной

матрицы, идущая от левого верхнего угла к правому нижнему углу, называется главной диагональю. Она состоит из элементов

Сц , С%2 I с зз, . . . , с п п .

Например, в квадратной матрице 5-го порядка

2	—2	4 —2 1
4	1	3	—4 8
—5	8	4		3	2
7	4	7		2	0
8	1	0		8		4
главная диагональ состоит из элементов
2,	1,4,		2,	4.
О п р е д е л е н и е . Единичной матрицей п-то порядка называет
ся квадратная матрица п-то порядка,				у		которой все элементы, глав

ной диагонали равны единице, а все остальные элементы равны

нулю.					порядка обозначается Е п.
Единичная матрица я-го
Например,					1 0 0 0 0 Of

		1	О О		0	1 0 0 0 0
					0 0		1 0 0 0
	Ех	О	1 О
					0 0 0 1 0 0
		О	0	1	0 0 0 0			1 0
					0 0 0 0 0				1
Если	w t 1, то	матрица			называется	вектором-строкой, если же
п= 1, то	вектором-столбцом.

Равенство матриц. О п р е д е л е н и е . Две матрицы

агГ * ' а \ п	Ъп - ■Ьт
а =	И Р =
a m V ’ 'Qmn	Ьпп • •bmn

называются равными, если они одинакового типа, т. е. имеют одина ковое число строк и столбцов, и соответствующие элементы рав ны, т. е.

аУ — by.

П р и м е р ы .

	13 2		3 2
1)	4 4	Ф	4 4		так	как	а32 ф Ьзг-
	15 6		5 7
2)	Пусть
		112	4	5 611		3 2
	А =	112	4	5 611	В =	8 4
		\|1 3	8	5 8 \|\|		5	5
						8	6

Эти матрицы не могут быть равными, так как они разного типа. Сложение и вычитание матриц. О п р е д е л е н и е . Суммой двух

матриц одинакового типа

й ц - ' а \ п	Ьп■•
А =	и В =
Я/Ш' ‘ & т п	bml’ 1' Ь т п
называется матрица

Й11 + Ьц- • -йщ + bin

С = А + В=-

О-m l ~Ь Ь т !• • 'й/пп + Ът п

элементами которой являются суммы соответствующих элементов слагаемых Л и В.

П р и м е р ы .
3 4 1 0 3 4				4 5 —2 4 0 —2							7 9 - 1 4 3				2
1 2	1 0	8 4	+	2	1	7 9		10	0		3	3	8	9 18	4
1) 4 2 0 0 3 2			+	20 3 4 5 1					0		24 5		4 5 4		2
5 1 4 5 1 0				8 1 —4 2 4 —5							13 2		0 7 5 - 5
			—4 6	3			5 3 1			1	9		4
		2)	2 0		1		2 4 5			4 4			6
		2)	4 5 - 6		+		1 7 5			5 12 —1
			—7 8	9			8 0 3			1 8		12
3)	Матрицы				3 2 I			2	3	4
					3 2 I			2	3	4
					—7 7		1	И 4	2	5
					5	2	1	5	1	6

сложить нельзя, так как они содержат различное число столбцов. Аналогично определяется разность матриц:

Он — Ьп- 'а1п-- bln

А — В —

aml — Ь,П1• • • Clmn—Ьпгп

Умножение матрицы на число. О п р е д е л е н и е . Произведение

C1L' 'c\n

ctnV *cmn

числа k на матрицу, состоящую из пг строк и п столбцов, равно матрице

ken • • -kcxn

kcmi- • •kCrnn

состоящей из стольких же строк и столбцов, элементами которой яв ляются произведения числа k на соответствующие элементы исход ной матрицы.

П р и м е р ы .
3 6 7 1 4 1	=5	9	18 21		3	12 3
1) 3- —4 2 8 0 5 8	=5	—12 6		24	0 15 24
5 4 9 3 6 9		15	12 27		9	18 27
2	—1	—3			1.5
—4	5	=	6	—7,5
1	2	—1.5 —3
4 5	7 9	0 0		0 0
8 9	11	= 0 0 0 0
4 5	6 8	0 0		0 0
Умножение матриц. Пусть
оа . ■•а1п				Ьп-		■blq
А =		И В =				.	!
Чml' ' •а т п						.	!
Чml' ' •а т п				b p i -	‘ b p q		\

— матрицы типов т хп и pXq. Если число столбцов матрицы А рав но числу строк матрицы В, т. е. п=р, то эти матрицы можно пере

множить.

О п р е д е л е н и е . Произведением двух матриц типа тхп, PXq (п—р) является матрица С типа mXq

Си- ■-Cig

С =

С'ml' **Crnq

где элемент Сц, стоящий в i'-й строке и /-м столбце, равен сумме произведений элементов i-й строки первой матрицы на соответству ющие элементы i-го столбца второй матрицы. Таким образом, эле менты матрицы С определяются но формуле

су- ]Li a l k ^ k j — о ц Ъ i j	+	О ц Ь г] + • — Ь O -inbnj,
£■=1
Произведение двух матриц А и		В обозначается через А • б; та
ким образом С=А-В. Про такое	произведение говорят, что матри-

ua .4 умножена на матрицу В слева и что матрица В умножена спра ва на матрицу А.

П р и м е р ы .

			4	5		1		1	4
	1)		4	5		1		4 6
	1)		- 14		2			-2	1
								2 2
3-1 + 4-4 + 5-(—2) +			1-2				3 .4-)_4.6 + 5-1 + 1-2
2 '1 + (—1)-4 + 4-(—2) +				2-2			2-4 + (—1).6 +			4-1 + 2 -2
		_	1	11			43
							10 1•
		2 4		4 1				—3
	—3 14			0 8				4
		3	1	7	6			2
		8 2		4 7				13
	2-(—3) +		4-4 + 4 - 2 +					1-13		31
	—3-(—3) +	14-4 +			0-2 +			8-13		169
—	3-(—3) +	1-4 +			7 -2+ 6 -13				—	87
	8-(—3) +	2-4 +			4-2 +			7-13		83
			1 2 4				•II 745 \|\|.
	3)		3	1 4			•II 745 \|\|.
			2 2		1

Произведение этих матриц определить нельзя, так как число столбцоь первой матрицы не равно числу строк второй матрицы.

			1	4	113	4	5	1 II _
			4	6	113	4	5	1 II _
		4) —2 1			' 2 —1		4	2 \|\| —
			2 2
1 - 3 +	4-2	1 -4 +	4-(—1)			1-5 +		4-4	1-1 + 4	- 2
4-3 +	6-2	4-4 +	6-(—1)			4-5 +		6-4	4-1 + 6	- 2
(—2).3+1-2		(—2)• 4+1 •(—1) (—2)-5+ -4							(-2)-1 + 1-2
2-3 +	2-2	2-4 +	2-(—1)			2-5 +		2-4	2-1 + 2 - 2

				11		0	21		9
				24		10	44		16
			—4		- 9 —6				0
				10		6	18 6
Сравним этот результат с результатом										первого примера:
				1	4			1	4
II 3				4	6	Ф		4	6	3	4	5	1 I!
\|\| 2			- 2 1			Ф	—2 1			2 —1 4 2 \|\| ‘
			2 2					2 2
Это показывает, что произведение двух матриц может не обла
дать переместительным свойством, т. е. в общем случае
				А -В ф В -А .
Но если для двух матриц Л и В справедливо равенство
				А-В = В .А ,
то они называются перестановочными.
Если матрица А типа tnXtn, то
Например,		В/71* А — А-Ет — А.
Например,		1	0	0		3	4	5
		1	0	0		3	4	5
		0	1	0		4	1	2		— :
		0 0		1		3	1	5
			1 4 + 0-1 + 0-1							1 -5 + 0-2 + 0-5
0 - 3 + 1 - 4 + 0-3			0- 4 + 1-1 + 0 -1							0 -5 + 1-2 + 0-5
0.3 + 0-4 +		1-3	0-4 +			0-1 +		1-1		0-5 +	0-2 +		1-5
3 4 5			3 4		5		1	0 0		3 4 5
4 1 2 И 4 1 2							0 1 0			4 1 2
3	1	5	3	1	5		0 0		1	3	1	5
Транспонированная матрица.						О п р е д е л е н и е .					Если в матрице
			а и а п ' " й 1 ,я-1 а 1п
			°21 й22- ' 'а2 ,П—						1 а2 п
		А =

° т 1 а т г ' ' а т , п —1 а т п

5—440

— 65

типа m Xn заменить строки соответствующими столбцами, то полу ченная матрица

«11	«21'	'«m l
«12	«22*	'«m2

а 1 ,п — 1 а 2 ,п —1 ' ' a m ,n — 1

а и а 2п ' ' a mn

типа пХгп называется транспонированной (по отношению к. исход ной матрице А).

Например, если

3	- 4 5 1 2			3	2 2
			то А' =	—4	4 2
А = 2	4 8 7 4			5 8 3
2	2 3	1 4		1	7	1
				2	4 4

Особенные и неособенные матрицы. О п р е д е л е н и е . Опреде лителем квадратной матрицы А называется такой определитель, эле менты которого являются элементами матрицы, расположенными в определителе в том же порядке, как и в матрице А.

Определитель матрицы А будем обозначать через опр. А. П р и м е р ы .

	А= II		4 6 \|\| и опр.	_	(3	5	=	- 2	,
				А —	\| 4	6
		II						1	0	0
	2 0			1	2 0		=
2)	1	2	и опр. А =	4	1 2			4 —7 2
	—1	7		3 —1 7				3 —7 7
		=	1 . 1 - 7	2\|	----- 35.
О п р е д е л е н и е .			Квадратная	матрица			называется				особенной,
если ее определитель равен нулю.				матрица			называется				неособен
О п р е д е л е н и е .			Квадратная
ной, если ее определитель не равен нулю.

66 —■

Обратная матрица. О п р е д е л е н и е . Квадратная матрица В называется обратной к матрице А, если она, будучи умноженной как слева, так и справа на матрицу А, дает единичную матрицу Е, т. е. если

В-А — А- В — Е .

Из приведенного определения следует, что и матрица А будет

обратной к матрице В.
Например, матрица В= \|\|- 3					является обратной к матрице
А =	3 511 так как
	4 6 \|\|
	В-А =		—3	2,5 1\|	\|\| 3	5 \|\|
	В-А =		2 —1,5 \|\|		\|\| 4	6 \|\|
			2 —1,5 \|\|		\|\| 4	6 \|\|
	- 3 - 3 + 2 ,5 - 4			- 3 - 5	+ 2,5-6			1	0
И	2-3 + (—1,5) - 4			2-5 +	(—1,5)-6			0 1
И
	3-(—3) +	5-2	3 -2 ,5 + 5-(—1,5)				I	1	0
	4-(—3) +	6-2	4-2,5 + 6-(—1,5)				1~	0	1

Матрица, обратная к матрице А, обозначается через Л-1. Задана квадратная матрица

axv ' *&1 п

&п\' ’ ' апп

Чтобы найти матрицу А ~ \ обратную к матрице А: 1) вычислим определитель этой матрицы

. D — опр. А;

2 ) определим алгебраические дополнения А ц каждого элемента определителя матрицы а;,-;

3)составим из чисел Л,-,- матрицу

ЛцЛтз- • -Ахп

Л21Л22 • • ■Л»я

Ап\Ап1 ‘ ' ‘ Апп

4)транспонируем матрицу Л, получим

ЛПЛ21- • *Л/21 ^ 12Л22*• ‘А,,

Л '=

хАщ • • •

5) Составим матрицу В:
■^п	^ 21
D	О
А\ 2	Л22
D	D
В = • А' =
D
Ащ	А%п
D	D

Ani

АП 2

Anti

Полученная матрица является обратной к исходной матрице Л. Действительно, вычислим произведение Л • В:

С ц щ • С щ

А-В--	где сг	£ aik ^ = 7JT 2
	И =
C/il ’	' С п п	*=1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 287 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ