книги из ГПНТБ / Михельсон В.С. Элементы вычислительной математики учебное пособие для электроприборостроительных техникумов

Чтобы найти значения определителя, можно разложить его т. элементам любой строки или элементам любого столбца.

Например, для определителя

3)Разложив его по элементам третьей строки, находим

D — ОзгАз! Н" °32 ^32 ~Ь Я33 ^33 == 4- (— 4) -J- (— I )•(— 6) + 1 - 7 = — 3.

Итак, разложив определитель по элементам разных строк и столбцов, получаем одинаковое значение D

Определители п-то порядка. Определителем п-го порядка, обоз­ начаемым символом

Яц - • -Яхл

D =

а гЛ ’ ■‘ а п п

называется число, равное алгебраической сумме

а И А и + а 21 '^ 2 1 + • • • + а п \ А щ ,

где Ац является определителем (п — 1)-го порядка, получаемым из исходного вычеркиванием первого столбца и i-й строки и умножени­ ем на (—I)

Таким образом, определитель гс-го порядка, так же как опреде­ лители второго и третьего порядка, определяется через определите­ ли более низких порядков.

Обозначим определитель

а п - а 1, Ж ' ' а \п

а 1—1, г ■' ' а 1—1, /•-1 a i-- 1 . л -1 ■' • ' а 1—1, п

получаемый из определителя D вычеркиванием i-й строки и /-го столбца, через М,,. Такой определитель называется минором элемен­ та ац определителя D. Произведение минора Л1и на (—1 )'+■/’ назы­ вается алгебраическим дополнением элемент Q,j.

Определитель п-го порядка можно вычислить, разложив его по элементам любого столбца или любой строки, т. е.

D = а, 1 Ац + ai2 Al2 +■ • • +-а,-п Ащ.

(определитель разложен по элементам i-й строки) и

D = ац Ац -(- ац Ац + • • • + ап/ Anj

(определитель разложен по элементам /-го столбца).

При помощи определителей п-го порядка можно найти решение системы уравнений (1).

Обозначим через D, (1 < / < п) определитель, получаемый из оп­ ределителя D заменой /-го столбца столбцом свободных членов, т. е.

1 Г ' ’а \, /— 1 bi а \, i + 1 ■

n l ' " ап , \ —1 Ьп а л , / + Г ■а пп

50

Решение системы (1) можно найти по формулам:

Bl ! < / < « .

D ’

Эти формулы выражают правило Крамера для решения систе­ мы п линейных уравнений с п неизвестными.

Чтобы вычислить значения определителя, удобно воспользовать­

ся некоторыми его свойствами.

С в о й с т в о 1. Если в определителе заменить строки соответ­ ствующими столбцами, то значение этого определителя не изменится.

С в о й с т в о 3. Если в определителе два столбца поменять ме­ стами, то знак определителя изменится на противоположный.

С в о й с т в о 4. Если все элементы какого-нибудь столбца ум­ ножить на число k, то и значение определителя умножится на чис­ ло k.

П р и м е р ы .

52 —

С в о й с т в о б. Если каждый элемент какого-либо столбца оп­ ределителя есть сумма двух слагаемых, то этот определитель равен сумме двух определителей того же порядка; в одном определителе соответствующий столбец состоит из первых слагаемых, а в дру­ гом — из вторых слагаемых, остальные столбцы этих двух определи­ телей те же, что и в заданном.

П р и м е р ы.

ца определителя прибавить соответствующие элементы другого столбца, умноженные на одно и то же число, то значение определи­ теля не изменится.

столбца определителя D на алгебраические дополнения соответству­ ющих элементов другого столбца равна нулю.

53

Рассмотрим сумму

Возможны два случая.

А. Если / i =A/2, т. е. элементы ащ взяты из /i-го столбца, а алгеб­ раические дополнения взяты для элементов другого /2-го столбца, то

D* = йЧгАц -f- «22^21 -р Й32Л31 =— 1 • 2 —(—2-(—3) -|- (—1)-(—4) — 0.

Возьмем /1=3 и /2= 2, так как Л|2=3, Л22= —6, Лз2= —6, то

С в о й с т в о 9. Если все элементы k-ro столбца определителя, кроме одного a th, равны нулю, то такой определитель равен произ­ ведению этого элемента на его алгебраическое дополнение:

D =• atkAik-

—54

П р и м е р .

Перечисленные выше свойства сформулированы для столбцов определителя. Так как столбцы определителя можно заменить его строками (свойство 1), то все эти свойства справедливы и для эле­ ментов строк.

Свойствами определителя удобно пользоваться для вычисления его значения. Если с помощью первых семи свойств преобразовать исходный определитель в определитель, у которого все элементы ка­ кой-либо строки или какого-либо столбца, кроме одного, равны ну­ лю, то значение полученного определителя можно записать в виде произведения OijAtj. Таким образом, вычисление определителя п-го порядка можно свести к вычислению одного определителя (п—1)-го порядка.

Рассмотрим применение этого метода на примерах.

ме одного, стали нулями. Для этого к элементам первой строки при­ бавим элементы третьей строки, умноженные на (—2), и получим определитель

Заданный определитель можно вычислить другим способом, раз­ ложив его по элементам какой-либо строки или столбца

В самом деле, вычислим этот же определитель, разложив его но элементам первого столбца:

55

ментам первой строки прибавим элементы второй строки, умножен­ ные на (—3) и затем к элементам третьей строки прибавим элементы второй строки, умноженные на(—2).

Для наглядности эти операции будем указывать стрелками:

Используя свойство 9, запишем этот определитель в виде произ­ ведения а2i= l на его алгебраическое дополнение:

г- до

V ( * i , X 2 , * 3) = (X 2 — X i) ( * 3 — * 0 ( x a — x 2) .

Определитель V называется определителем Вандермонда.

4)Решить систему

По правилу Крамера находим

57

6) Решить систему

2хг -f- 3*2 —дс4 = 2,

Р е ш е н и е . Вычислим D, Dit D2, D3 и Dt :

*"■ 58