книги из ГПНТБ / Михельсон В.С. Элементы вычислительной математики учебное пособие для электроприборостроительных техникумов

оо

/ (X) ~

&п (X— «о)Л»

(16)

/г=0

рде

ап

_ / (П) (*о)

п!

Этот ряд называется рядом Тейлора.

называют рядом

Частный случай ряда Тейлора при «0= 0 часто

Маклорена. Он имеет вид

/(*)= :

апхп,

л--=О

Г

( 0 )

=й'/г-

г д е

/г!

х — Хо

„

• • • +

(X — «о)"

f(n) (Хо) +

/(■*) = / (■*<>)+ Г|

f (■*<>) +

:

1!

п\

+ Rn (х ) = Sn (х) + Rn (х ).

Остаточный член может быть записан в виде

Rn (х) =

(* - Хо)^1

/ <я+1,(6).

(17)

(Л +

1)!

где g заключено между х

и «о-

(X -

Хо) (X — 1 )п

f {n+1)(D-

(18)

Rn (х) —

п\

по абсолютной величине числом М,

то из (17)

имеем

1«« (*)1 <

М-\х — Хо1п+»

(19)

(п +

1)!

П ри м е р. Какова величина допущенной ошибки, если положить

е 2 +

1

1

1

----+

—

-I-

2!

3'

4!

В разложении функции

X

хп

е* = \ +

+ ■ + _ + .

1!

2!

остаточный член в форме Лагранжа имеет вид

Rn (х) =

J x

где

0 < 1.

1)1

(Я +

В данном примере п = 4 и х=1; поэтому

|Я»(1)1 =

4 р . < - 1 —

0,024.

Г л а в а

I I

I#11 Х1+

#12 х2 — bl,

,#21 Х1

#22 х2 — Ь?*

Решая эту систему,

получим

* 1 =

b l # о3

# 12 Ь 2

#11 ^ 2

^1 #21

---------------------------------------------- ,

* 2 = -------------------- ---------------------------- ■

#11 а 22

— # 1 2 #21

#11 # 2 2 —

#1 2 #21

Выражения

#п#22—#i2#2i, Ь{а22—а12Ь2 и ап^2—Ьia2i называются

определителями второго порядка.

Определитель второго порядка обозначается символом

I

а ЬI

|

с d I"

I а Ъ

— ad — cb.

I с d

Например:

О

1

12 4

= 2.7 — 4-4 =

— 2;

=

0.0,5 — (— 2). 1 =2;

| 4 7

- 2

0,5

j 3.4 — 2

= 3,4-0,5 — 0,2-(— 2)

2 , 1,

10,2

0,5

На

основании

приведенного определения

А — #11 #22 — #12 #21 —

# 1 1

# 1 2

I

#21 #22 I ’

Al — &i #22 — #12 Ь2 — |

И

^

#11 Ь 2

— b l

#21 —

# 1 1

&1

I

#21

i>2 I ’

I Ь\

f l l 2 I

Aa

I°n

ь11

Ах

| Ь2 ^22 I

1g21

bj 1

*‘ = Т =

Qll

Oj2|

*2 = T

= !O il

(2)

°1 2 I

021

°22 I

О'Л «22 I

Дх =

I 2

2

2-1 — 5.2 = — 8

.5

11

I

1

21

1.5 — ( - 4 ) . 2 = 13,

— 4 5 I

поэтому

J 3

*1 = —

—

— 8

и х2 = —

9

9 '

Д

2)

10,5*1 — 0,02x2 =

1,21,

i

+

0,1 #2 =

— 2»

Р е ш е н и е .

Имеем

°}5 _

о '°2 |=0,5 -0,1 - 4

— 0,02) =0,07,

1,21

— 0.021= 1,21-0,1 — (— 2). (— 0,02) =0,081,

Д, = — 2

0,1 |

I 0 ;5

1-2* I = 0,5-(— 2) —

1-1,21 = • 2 ,

21,

поэтому

0,081

1,1571 и л:2 =

Д 2

— 2,21

— 31,571.

Д

0,07

—

= — Ч— =

А

0,07

°1 1

Х1 + °12

*2

~t~ Q13 Х3

— b l ,

|

~t~ а 22

х 2

+

а 23 х 3

— Ь%,

(3)

а 21 x l

а 31 Х 1 Ч" О S2 х 2

а 33 х 3 — Ь з

можно найти при помощи определителей третьего порядка.

Решение системы

(3)

определяется поформулам

Крамера:

Ai

Д2

Аз

х \ =

— , х 2 = —

И х 3 =

— .

Д

А

А

А =

а и а 2'2!М а — О ц О 3 2 а 23 — 021^120 .43

О21О32П 13 -}- 0 3 l 0 i 2 a 23 — О з х П г г а з з ,

A l

=

& l0 22033 — Й1 О32О 23 —

Ь 20 12O33 +

6 2 О320 l 3 + b o O l2 a 23 —

^ зО -хгО хз,

A ? “ 0 ц 6 20 33 — О 11Й3О 2З —

O 21 61O33 “р 0 21 ^ з0 хз - р О зх^ хО з3

O 31&2O13,

А з

=

О ц О г г ^ з — Оц Оз262 —

о .ц О х г& з -р O2 1O32S -р йлО ^ Ь г — an022bi ■

О п р е д е л е н и е .

'

емым символом

| O i l

0 12

«13

Д = О2 1

0 2 2

Оаз

Озх

O32

O33

называется число,

равное алгебраическа1 сумме

«22

«23

«12

«13

« 1 2

(4)

«31

« 13

«п

' «21

+

« 2 2

«23

« 32

«33

« 32

«33

Числа a,i, а!2, а !3, «21. «22, «23, «зь «32

и а33 называются элемента­

ми определителя. Тройки чисел a u, аи,

aJ3;

а2ь «22, «гз и аи , а32, а33

образуют

строки,

а тройки чисел ац,

а2ь «зь «12, «22> «зг и «|3, «23,

«зз — столбцы определителя.

Выражения Дь Д2

и Л3 являются определителями третьего по­

рядка, так как их можно представить в виде (4).

Поэтому

bi

Й 12

я ц

b1 а гз

Й11 а12 b\

Ai =

Ь'1 O 22 ^ 2 3 .

Аг — 0,21

b% ^23

и

Д3 = Оц О22

Ьз

Сзз

аъ\ Ьз #зз

#31 # 32 Ьз

Определитель Д называется определителем системы (3).

Определители. Дь

Д2 и Д3 составляются из определителя Д;

Д1— заменой

первого

столбца Д столбцом

свободных членов. Д2 —

ной тгетьего столбца Д столбцом свободных членов.

П р и м е р .

Найти

решение системы

•

4лгх 4- 2х2 — х3 —

1,

*i 4"

хг

—

2,

2xi -j- Зх2 +

х3 = — 2.

Р е ш е н и е .

Имеем

4 2 —1

| 1 01

-Ч -Р 2 .!2

Д =

-1 1

О = 4- 3 1

- ( - ! ) ■ 3

= и ,

1

1

2 3

1

Д ,=

1

2

11

01

2 1

= 1-

1 + < - 2 ) - 1

= - И .

3 11

-2

3

4

1

- 1

2<0 I

= п

-

1

2

0

"! | + 2- 12

-2

1

2 —2

1

и-

i 4 2

1

12

11

А з - ! ' - 1 1

2

( - I ) -

+2-

— аз.

2 3 —2

1

2

По формулам Крамера

находим

=

Ai ___j

х

—

1

и *з =

Дз

=

— 3,

Д

’

Д

Д

а21 и а31 определителя Д.

Определитель

J*22

aJ-°

называется

алгебраическим дополнением

I «32

«33 I

элемента вц, определитель

f 12

^13

,

взятый со знаком

«минус»,—

I о32

азз |

алгебраическим дополнением элемента а2\, а определитель

| ®*2

1—

делитель на (—1) .

через Л,-j.

Алгебраическое дополнение элемента atj обозначается

Например, для определителя

3

0 4

1

1

2

1

—2 4

А23 = ( - 1)2+3 • | f

_ 2 | =

6,

Азз = ( - 1)3+3 * |?

1 1-

э.

А„ = ( - 1 ) 1+1- | _ 2

5 | = 8 и А2]= ( - 1 ) 2+1- | _ §

J| =

- 8 .