книги из ГПНТБ / Михельсон В.С. Элементы вычислительной математики учебное пособие для электроприборостроительных техникумов
.pdfвымн показателями — шифрами. Прежде чем начать переносить дан ные с наряда на перфокарту, составляется макет, т. е. в зависимости от характера счетной работы, которую придется делать с данными числами, определяют, в каких столбцах перфокарты нужно набивать определенные данные из наряда. После того как по каждому наряду составлены перфокарты, они поступают на другую машину — контрольник, служащую для контроля правильности пробивки. На контрольнике происходит автоматическое сравнение числовых данных наряда с положениями отверстий на соответствующей перфокарте. Если на перфокарте неправильно пробито отверстие, то исправить перфокарту нельзя и поэтому приходится повторно набивать.
Все перфокарты сортируются. Из всех набитых перфокарт нужно отобрать те, которые относятся к одному и тому же рабочему, т. е. в которых набиты одинаковые табельные номера. Если же подсчиты вается заработная плата всех рабочих цеха, то среди всех набитых перфокарт нужно отобрать только те, которые относятся -к рабочим данного цеха, т. е. те, у которых пробит определенный номер цеха. Сортир'овка перфокарт происходит автоматически на специальной сортировальной машине. Перфокарты закладывают пачками по 800— 900 карточек в особое отделение сортировальной машины и пропуска ют через машину. При каждом таком пропуске перфокарты сортиру ются по одному столбцу. Если приходится сортировать по многим признакам, то приходится пропускать карточки через машину не сколько раз. Для распределения перфокарт по группам в сортиро вальной машине имеется 13 отделений.
На табулятор поступают рассортированные перфокарты. Но прежде чем пропустить их через табулятор для подсчета, его на страивают на выполнение определенной работы. Нужно указать, из каких колонок числа должны поступать в счетчики табулятора, какие числа и какие итоги должны быть отпечатаны на бланках. Для этого на табуляторе имеется коммутационная доска. При помощи электри ческих шнуров можно соединить различные электрические цепи табу лятора, клеммы которых выведены на этой доске. После того как та булятор настроен на выполнение определенной вычислительной ра боты, в него вкладывают отсортированные перфокарты. Получаемые результаты счета отпечатываются на специальных бланках, называе мых табуляграммами.
Р А З Д Е Л В Т О Р О Й
ОСНОВЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Г л а в а I
ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
§ 1. Числовые последовательности
Возьмем последовательность натуральных чисел
1,2,3,...,/?!........ |
rt,.., |
(1) |
В такой последовательности большее число п следует за меньшим числом т (или меньшее число т предшествует большему числу п).
Если в последовательности (1) заменить по какому-либо закону каждое натуральное число п некоторым вещественным числом и„, то получится числовая последовательность
^1, !?2 , «3 , .. . , и,п, . , . ,ип , , , ,, |
(2) |
члены или элементы которой ип занумерованы натуральными числа ми и расположены в порядке возрастания номеров. При п >т член «„ следует за членом ит независимо от того, будет ли само число и„ больше, меньше или даже равно числу ит.
Числовую последовательность
!!1,£?2,!?з, , . . , U . . «
можно короче записать в форме { ип }. Последовательности могут со стоять из конечного или бесконечного числа членов. Разберем не сколько примеров бесконечных числовых последовательностей.
30
П р и м е р ы . |
1) Последовательность целых чисел |
||||||
|
|
1,2,3........п , . .. или {я} . |
|
||||
2) |
Извлекая из числа 2 квадратный корень, |
последовательно по |
|||||
лучаем |
приближенные |
корни |
с точностью до |
1, до 1/10, до 1/100 |
|||
и т. д., |
можно составить бесконечную |
числовую |
последовательность |
||||
с членами |
|
|
|
|
|
|
|
|
i/j = 1; |
«2 = |
1,4; |
«3=1,41; |
«4 = |
1,414;.,. |
|
3) |
Постепенно |
вычисляя число я, |
тоже получаем бесконечную |
||||
последовательность: 3; 3,1; 3,14; 3,141; |
3, |
1415;... |
|
||||
Иногда можно задать выражение для общего члена последова тельности. Тогда любой член последовательности может быть вычис
лен по заданному номеру. |
я-й |
член конечной последовательности |
||||
П р и м е р ы . |
1) Если |
|||||
определен равенством |
|
|
|
|
||
|
|
ип = а —|—(л — l)d , |
|
|
||
то при а = 2, |
d = 3 |
и п=1, 2, |
..., |
10 получим «1=2; |
«2= 2+ 3= 5; |
«з= |
= 2 + 2 - 3 = 8; |
«<=2+3-3=11;...; |
«ю=2 + 9 • 3=29, |
т. е. задана |
чис |
||
ловая последовательность |
|
|
|
|
||
|
|
«„ — 2,5,8,11........29, |
|
|
||
я — 1,2,3,4, ... ,10.
Такая последовательность называется арифметической прогрессией. Арифметическая прогрессия при я -* °° будет бесконечной.
2) Общий член геометрической прогрессии
a,aq,aqi , ...
может быть записан в виде формулы
«„ = aqn—1.
Последовательность считается заданной, если 1) задан общий я-й член
или
2) имеется правило, по которому можно вычислить каждый по следующий я-й член последовательности, зная предыдущие члены.
Члены последовательности не обязательно должны быть разны ми. Например, если «п = (—1)”+ ' , то последовательность имеет вид
+1 ;— 1; +1; - ! ;• • •
—31 —
Предел последовательности. |
Последовательность ии ы2, |
н3, .. |
|
и„, • • • имеет пределом число Л |
(сокращенно lim и п=А), если, каково |
||
|
П-+оо |
|
|
бы ни было число е>0, можно найти такой номер N, что для всех |
|||
значений ип , у которых номер n>N, имеем |
IА —ип\ <е. |
так: |
|
То же определение коротко |
может быть |
сформулировано |
|
число А есть предел последовательности {и п }, если значения ее чле нов отличаются от А сколь угодно мало, начиная с некоторого места.
Последовательности, имеющие |
предел, называются сходящими |
|
ся (к данному |
пределу), а не имеющие предела — расходящимися. |
|
П р и м е р . |
Дана бесконечная |
убывающая геометрическая про |
грессия |
|
|
a,aq,aqi , ...,a q " - 1,...,(\q \ < 1).
Найдем ее предел |
|
|
|
Действи- |
|
Пределом |
такой последовательности является Л= 0. |
||||
тельно, определим номер N так, что для n>N |
|
||||
|
\ a q n - i — 0\ |
< |
0,001 |
( 3) |
|
Пусть а= 1 |
и q= 0,5. |
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
/ П " - 1 |
< |
J L |
|
|
или |
{ |
2 / |
1000 |
|
|
|
1000 < |
2П- ', |
|
||
поэтому |
|
|
|||
lg 1000 < (п — 1) lg 2, |
|
||||
|
|
||||
|
3 + |
0,3010 < /г-0,3010; |
|
||
|
|
3,3010 |
10,96. |
|
|
|
п |
> 0,3010 |
|
||
Следовательно, если принять JV=11, то для всех n>N будет выпол няться неравенство (3).
§ 2. Числовые ряды
Рассмотрим некоторую числовую последовательность { ип } и об разуем следующее выражение:
“1 + “2 + • • • + “/!+••• |
(4) |
—32
|
Это выражение называется бесконечным рядом, а члены после |
||||
довательности ии и2, .... |
и „ ,... |
называются членами ряда. |
его |
||
|
Частичной суммой |
числового ряда (4) называется сумма |
|||
первых п членов. Частичные суммы будем обозначать S„, где п рав |
|||||
но числу слагаемых в частичной сумме: |
|
||||
|
S i = и 1 , |
S 2 = |
Hi -f- «2i • • • >Sn — U\ -f- «2 -)-••■ + u n . |
|
|
|
Рассмотрим последовательность частичных сумм ряда |
|
|||
|
|
|
|
л, • •. |
|
ряд |
Если последовательность частичных сумм { S n } имеет предел, |
то |
|||
(4) сходится |
и S = limS„ |
называется суммой ряда |
|
||
|
|
S = |
«1 + |
«а + • • • + «/!+•■• |
|
ся. |
Пр и м е р ы. |
1) Убывающая геометрическая прогрессия сходит |
|||
В самом деле, для ряда |
|
|
|||
|
|
а + aq + аф + • • • + aqn—1 -|-----, |
(5) |
||
где |
|<7| <1, |
|
|
|
|
найдем n-ю частичную сумму ряда (5): |
|
||||
|
|
S n = а + aq + aq2 + • • • + aqn~ l. |
(6) |
||
|
Умножим равенство (6) на q: |
|
|||
|
|
S nQ= aq + aq2 ^------1- aqn. |
(7) |
||
Вычтем из (6) равенство (7):
S„ — S nq = a — aqn,
откуда
Найдем lim Sn. Имеем
Л-»“
второй член при и -* оо имеет предел, равный нулю, т. е.
S = • lim»***« |
wnS n = |
П-+сс |
1—“ Q |
3-440 |
33 |
Итак, |
геометрическая прогрессия есть ряд |
сходящийся, если |
|||
|?1 <1, и расходящийся, если |
|?| > |
I. |
|
||
2) |
Ряд 1—1+ 1 - 1 + |
... +1 —1+ ... |
|
||
расходится, так как последовательность частных сумм |
|||||
|
Sx = 1 , |
S i = |
0, |
5з = 1. s 4 = |
О ,... |
предела не имеет. |
Для того чтобы ряд |
|
|||
Критерий Коши. |
|
||||
“l +■ и г + и з + • • • 4* и п + • *■
был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы при любом е>0 можно найти такой номер N, чтобы при n> N и при любом шелом в было справедливо неравенство
l^n-f-p ~ Snl < е
или, иначе,
1“к+1 + “л+2 + • • ’ + “л+р| < 8>
Однако применение критерия Коши для определения сходимости ряда затруднительно; его основное значение не прикладное, а теоре
тическое Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд сходится, то
предел его общего члена равен нулю:
|
|
Пт ип = 0. |
|
(8) |
|
п-*- 00 |
|
|
|
Этот признак недостаточен. Так, например, гармонический ряд |
||||
1 |
|
1 |
1 |
|
' 2 |
‘ |
3 ~ |
л |
|
расходится, хотя необходимый признак выполнен. |
|
|||
Достаточные признаки |
сходимости |
и расходимости |
рядов. |
|
1. Признак сравнения ряОов |
Пусть даны два ряда с положительны |
|||
ми членамн: |
|
|
|
|
^1 + |
ач+ • • • + ап ■+■‘ • • |
(9) |
||
и |
|
|
|
(10) |
b i -f- b i |
-+ • • • -+ b n + |
• • • |
||
— 3 4 —
Если |
ряд |
(9) |
сходится |
|
и для |
всех |
п, |
начиная |
с |
некоторого |
|
|
|
|
|
|
Ьп ^ |
Л/|, |
|
|
|
|
|
то и ряд |
(10) |
сходится. |
|
и для |
всех |
п, |
начиная |
с |
некоторого |
||
Если |
ряд |
(9) |
расходится |
||||||||
|
|
|
|
|
5/г^ |
а п> |
|
|
|
|
|
то и ряд (10) расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
П р и м е р ы . |
1) Ря д |
1 |
+ |
- у |
+ у |
+ • — Ь у |
+ ■■■ |
||||
сходится, так как его члены равны или меньше соответствующих чле нов геометрической прогрессии:
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
т |
2 |
2а |
~ |
2 ! |
2) Ряд 1 + |
— 1— |
|
V |
+ • • • + |
v~ |
|
|
V |
2 |
|
|
||
расходится, так |
как его |
члены больше или равны членам гармони- |
||||
ческого ряда |
|
1 |
+ |
1 |
1 |
-1----- |
1 + — |
— Н-------Н — |
|||||
|
|
J |
|
О |
ft |
|
2.Признак Даламбера. Для того чтобы ряд
|
“1+ «з + |
«з Н-------h «л Н----- |
( П ) |
сходился, достаточно, чтобы, |
начиная с некоторого п |
отношение |
|
Ufl-bl |
„ |
|
тт |
------- |
было меньше некоторого числа <7, меньшего единицы. Для |
||
ип |
|
|
|
того чтобы ряд (11) расходился, достаточно, чтобы, начиная с неко
торого п, отношение |
|
- у у |
|
|
было больше или равно единице. |
||
П р и м е р . Ряд |
2 |
|
|
|
п |
|
|
1 |
+ |
+ |
• |
• + |
сходится. |
||
3 |
— |
------b |
|||||
|
З2 |
|
|
~ |
зп |
|
|
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
« « = |
J |
-И ип+1 : |
я - И |
|||
|
3"+' |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3: |
35 |
и
|
|
|
u n-\-l |
It |
+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
< 1 |
|
|
|
|
|
tin |
|
|
3 |
|
|
при любом n, так как |
--------^ |
2. |
|
|
|
|||
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
3. |
Признак |
Коши — Адамара. Если для |
ряда |
(11) lim V \ип\ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
П-*00 |
существует и равен некоторому числу I, то при /< 1 ряд сходится, а |
||||||||
при />1 |
ряд расходится. |
|
|
|
|
|
||
П р и м е р . |
Ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
\_ |
2 |
3 |
\з |
( |
п |
п |
|
|
3 |
5 |
7 ) |
4 |
ь (i^ T T I |
+ • • • |
||
сходится, так как |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
: lim |
|
|
П |
1. |
|
|
|
|
|
2.п |
+ 1 |
|||
|
|
|
п - ю о |
|
|
|
||
|
|
§ |
3. Функциональные ряды |
|
||||
Ряды, члены которых являются функциями от одной или несколь ких переменных, называются функциональными рядами.
Областью сходимости функционального ряда
|
|
|
оо |
/о (*) -I- h ( * Н ---------Ь /я М |
+ |
1• • = И fn М |
|
|
|
|
п ~ О |
называется совокупность всех значений |
аргумента х, при которых |
||
этот ряд сходится. |
|
ряда |
|
П р и м е р . Область сходимости |
|||
1 + — + |
— А-------— Н------- |
||
2*' |
З* |
|
пх |
состоит из всех значений, определяемых неравенством дс>1.
Для определения сходимости функционального ряда можно поль зоваться изложенными выше достаточными признаками сходимости численных рядов.
S6
Например, |
ряд |
|
^2(71—1) |
х2 |
х 1 |
х«_ |
|
|
|
6! |
+ - " + ( - 1 ) п- 1 |
|
|
[2 (/г — l)j7 |
сходится в интервале (— ° ° , + оо ), так как по признаку Даламбера при любом фиксированном Хо
|
/n+i(*o) |
4 'г[2 (« -1 )]! |
|
2 |
|
lim |
: ИГЛ |
XО |
0. |
||
------------ = |
1их]---------------------- |
= |
|||
П-*-ОО |
f n i x о) |
«-*■» (2я)! |
П |
2я (2я — 1) |
|
Функциональный ряд |
|
|
|
||
|
|
!о (х) + fi (х) + '' ' + /га (■*) + |
• •' |
(12) |
|
называется равномерно сходящимся в некоторой области, если како во бы ни было число е>0, всегда можно найти такое 1У(е),чтопри n>N( е) для всех значений х, принадлежащих рассматриваемой об ласти, имеет место неравенство
|Ял M l = |
|/«+i (*) + fn+% (х) |
-----1< е |
|
||
Rn (x) называется остаточным |
членом ряда (12). |
|
|||
Признак равномерной сходимости ряда (признак Вейерштрасса). |
|||||
Если члены ряда (12) удовлетворяют для |
заданной |
области значе |
|||
ний х неравенствам |
|
|
|
|
|
\f»(x)\< C n (л = |
1,2, ... ), |
(13) |
|||
где С„ — члены некоторого сходящегося |
числового |
ряда, то ряд |
|||
(12) сходится в заданной области равномерно. |
|
||||
Например, ряд |
х2 |
х4 |
|
х2П |
|
1 4- |
|
|
|||
-4- |
4- • • • 4- |
(2л)! |
|
||
п |
2! |
4! ^ |
^ |
|
|
сходится равномерно в интервале значений х (—0,5; +0,5), так как его члены /„ (х) меньше или равны членам числового ряда
1 |
J _ |
J _ |
1 |
|
3 + |
32 |
+ 33 |
■" Зп ^ |
’ |
|
|
л?" |
_1_ |
|
|
|
(2л)! < |
3" ‘ |
|
-37. —
Действительно, для/г=1 — < —— , так как +<0,66, в данном
2. о
X1 |
1 |
|
интервале (—0,5; +0,5); при п = 2 — |
<• — , так как +<2,66 и т. д. |
|
Если ряд сходится равномерно на |
некотором интерйале |
(а, Ь), |
то его сумма S(x) непрерывна, и этот ряд можно на данном |
интер |
|
вале почленно интегрировать, т. е. для всех значений х и с, принад
лежащих рассматриваемому интервалу, |
имеет место равенство |
|
|
X |
X |
X |
|
j |
s (х) dx*= J /о (х) dx -)-------ь |
[ fn (х) dx + ---, |
(14) |
с |
с |
с |
|
причем сходимость ряда, стоящего в правой части (14), равномерна, Если члены )п (х) ряда (12) определены на интервале (а, Ь) и
имеют на нем непрерывные производные /„ (х) и ряд, составленный
из этих производных, сходится равномерно, то
ОУ
S '( x ) = h f n i x ) . п—0
т. е. производная от суммы ряда равна сумме ряда, составленного из производных f п(х).
|
|
§ 4. |
Степенные ряды |
|
|
||
Ряд вида |
|
|
|
|
|
|
|
во 4" aix + |
а%хг + • • • + |
йпхп + •••—= |
йпхп |
(15) |
|||
называется степенным. |
|
|
|
п~- 0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
||
Этот вид функциональных рядов имеет важное значение. |
|
||||||
Возможны 3 случая. |
|
сходится при любом действительном х. |
|||||
С л у ч а й 1. Ряд (15) |
|||||||
Тогда ряд называют |
|
всюду |
сходящимся. Например, ряд |
|
|||
1 + |
х2 |
+ |
х4 |
х2л |
• . * |
> |
|
|
2! |
----- -1- ■* >-I- ---------- + |
|
||||
|
|
|
4! т |
(2«М |
|
|
|
сходится при любом X.
3 8