книги из ГПНТБ / Михельсон В.С. Элементы вычислительной математики учебное пособие для электроприборостроительных техникумов

На барабане БЭСМ-2 можно задать до 6144 39-разрядных кодов. Он вращается со скоростью 780 об/мин. Числа передаются во внут­ реннее запоминающее устройство со скоростью 800 чисел в секунду. Машина может иметь 2—3 магнитных барабана.

Кроме магнитных барабанов, используются магнитные ленты. На БЭСМ-2 имеются четыре магнитофона для записи хранения и считывания чисел с четырех магнитных лент. Числа на ленте записы­ ваются группами по 2047, т. е. все числа из внутреннего запоминаю­ щего устройства записываются в одну группу. На одной ленте мож­ но записать до 63 групп, поэтому на всех четырех лентах могут быть заданы до 515 884 чисел. Скорость движения ленты 2 м/сек. Длина

ленты 300 м.

Арифметическое устройство служит для выполнения арифметиче­ ских операций. Оно участвует при вводе информации в ЭВМ, переда­ че кодов между различными устройствами ЭВМ.

Вывод информации из ЭВМ осуществляется печатающим уст­ ройством. На ЭВМ БЭСМ-2 числа печатаются в виде колонки на узкой бумажной ленте со скоростью 15—20 кодов. В некоторых ЭВМ имеется широкое алфавитно-цифровое печатающее устройство.

Например, на ЭВМ «Урал-4» можно выдавать данные в виде текста готовых таблиц, графиков и т. д. В каждой строке может быть отпечатано 128 букв или цифр. Скорость печати 300 строк в ми­ нуту.

§ 2. Позиционные системы счисления

Для решения задачи в электронную вычислительную машину на­ до не только задать числовые данные, но и указать, какие операции и над какими из вводимых в нее чисел нужно производить. Было бы нерационально делать это нажатием определенных клавиш с пульта управления, как это делается в малых вычислительных машинах. Ведь машина выполняет несколько тысяч арифметических операций в секунду, а на нажатие одной клавиши затрачивается до нескольких секунд. Поэтому все указания, какие операции и над какими из чи­ сел производить, определенным образом записываются цифрами, которые вместе с числовыми данными заранее задаются в машину. Эти числа-команды и управляют ее работой. Они заставляют опре­ деленные числовые данные переходить из запоминающего устройст­ ва машин в арифметическое и настраивают его на выполнение опре­ деленной арифметической операции над этими числами; заставляют полученные ответы записаться в определенных местах в запоминаю­ щих устройствах; заставляют нужные результаты отпечататься на бланках. При создании электронных вычислительных машин надеж­

770

Таким образом, нахождение двоичных цифр числа сводится к делению соответствующих частных на 2 и к нахождению остатков от деления. Поэтому, чтобы не выписывать каждый раз равенства (2),

(3) и (4), удобно пользоваться такой записью:

Подчеркнутые двумя черточками цифры и есть остатки, которые, как мы знаем, являются цифрами при записи числа 437 в двоичной системе. Сначала получается цифра разряда единиц, потом цифра, разряда двоек и т. д.

t 1________

Можно пользоваться другой более простой формой записи: 342 171 85 42 21 10 5 2 1 .

173

Над чертой записываются заданное число и получающиеся част­ ные, под чертой — остатки от деления соответствующих частных на 2.

П р и м е р . Переведем число (1011) ю в двоичную систему счис­ ления:

1011 505 252 126 63 31 15 7 3 1

(3,125)ю= 1-2* + 1-20+ 0 -2 -' + 0-2- 2 + l- 2- з ,

поэтому число (3,125) ю можно представить в виде суммы целых по­ ложительных и отрицательных степеней числа 2, умноженного на 1 или 0:

(3 ,125)10 = (П ,001 )2, (0, 1011)2 = 0-20 + 1 -2-1 +

Выведем правило перевода дробных чисел из десятичной систе­ мы в двоичную

Пусть, например, число (0,5625) ю требуется записать в двоич­ ной системе. Для этого нужно найти такие цифры В\, В2, ..., ВПг рав­ ные 0 или 1, чтобы

0,5625 = Bi-2—1 + В2-2~ 2 + В3-2~ 3 Н------ b В„_2- 2 - (л~ 2>+

+ В„_г 2-<л- 1) + В / г 2- " .

Умножив обе части этого равенства на 2, можно найти значе­ ние В,:

В правой части этого равенства цифра В\ есть целая часть числа, а подчеркнутая сумма составляет дробную часть, поэтому

Bi = l.

б»• 2—1+ В 3• 2—1!+ • • - + Я/1_ 1 -2-<я- 2>+В,1.2 -(л- 1>= 0,125,

174

Теперь умножим обе части последнего равенства на 2:

£■> + В3-2 - 4 ^ 4 -2 -2-|-------h 5,г-1 -2 -(л- 3)+В,г 2-<'г~ 2) = 0,25,

в результате получим

5г = 0>

В3- 2 - Ч 5 4 - 2 - гН-------Н В,г 2-<л- 2>= 0,25.

Повторяем процесс умножения на 2:

5з + 54-2-1 + . . - + В л-2 -(" -3) = 0 , 5 ,

поэтому

53 = 0,

В ^2 ~ 1-\-------\-Вп-2-<п~ 3) = 0,5.

Из последнего равенства окончательно получаем

В4 = 1, В5•2_ 1 ------1- Вл-2 -(" - 4) = 0, поэтому В5= В в= . .. =о.

Итак, (0,5625)ю= (0,1001)2.

Приведенные вычисления удобнее записывать в следующем виде: 0,5625

х____ 2

П1250

„0,1250

х____2

0,2500

х! — 2

0,5000

175

v О,84375

x2

Ь68750

v 0,68750

v 0,37500

1,0000

поэтому (0,84375)ю= (0,11011)г-

Отметим, что многие конечные десятичные дроби могут оказать­ ся бесконечными при записи их в двоичной системе счисления.

Например, запишем дробь 0,3 в двоичной системе счисления:

х °,3

Х _2

0,6

Х1 _?

_ 1,2

0,4

уГ_ 2

0,8

х_2

1,6

1,2

— 176 ■

Мы видим, что снова получается число 0,6, т. е. начинается пов­ торение двоичных цифр, поэтому

(0.3)1(,= (0,0.1001 Ю01 1001 • . . )2.

Чтобы перевести смешанную десятичную дробь в двоичную си­ стему счисления, нужно перевести отдельно целую и дробную

част ь.

При записи чисел в двоичной системе приходится записывать большое количество нулей и единиц. Чтобы было меньше ошибок при записи чисел и команд для ввода в машину, часто пользуются

восьмеричной системой счисления. При записи чисел в этой системе единица в каждом разряде равна восьми единицам предыдущего разряда. Поэтому в этой системе счисления пользуются только во­ семью цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. Запишем число (10694)ю в вось­ меричной системе счисления:

(Ю694)10 = 2-81 + 4-в1 + 7-82 + 0-81 + 6 -8°.

Правая часть этого равенства сокращенно записывается так: (24706)8. Цифра 8 показывает, что числе 24 706 записано в восьме­ ричной системе счисления. Поэтому (10694)10= (24706)8.

П р и м е р ы.

1) (10100)я = 1-84 -|- 0-83 + 1 -8 4 -0 -8 ' + 0-8') = (4160)хо.

2) (3603)8 = 3• 83 + 6 • 82 + 0• 81 + 3- 8" = (1923)10.

Правило перевода чисел из десятичной системы счисления в восьмеричную состоит в делении переводимого числа и получающихся частных ьа 8. Остатки и последнее частное, которые при этом полу­ чаются, и являются искомыми восьмеричными цифрами:

поэтому

Пр и м е р ы.

1)Записать число (74534) ю в восьмеричной системе

поэтому (74534)ю= (221446)8 2) Перевести в восьмеричную систему число (0,609375) ю:

0,609375 _2_______ 8

и 7; заменив каждую группу соответствующей цифрой, получаем число, записанное в восьмеричной системе счисления.

И, наоборот, чтобы число, записанное в восьмеричной системе счисления, записать в двоичной системе, нужно каждую восьмерич­ ную цифру заменить тройкой двоичных цифр:

0 — 000, 1— 001, 2 — 010, 3 — 011, 4 — 100, 5 — 101, 6 — 110 и 7 — 111,

178

П р и м е р ы.

1) (1101110111)2 = (1 101 110 111)2 = (1567)8.

2) (10736)3 = (1 000 111 011 110)3 = (1000111011110)2.

Отметим также, что в некоторых электронных вычислительных машинах применяются числа, записанные и в других системах счис­ ления. Например, в вычислительном центре МГУ построена и успеш­ но работает электронная вычислительная машина «Сетунь», которая производит вычисления с числами, записанными в троичной системе счисления. В последнее время в разных странах создаются вычис­ лительные машины, оперирующие с числами, записанными в деся­ тичной системе счисления.

Выполнение арифметических операций. Сложение трех одно­ значных двоичных чисел производится по следующему правилу:

На основании этих равенств производится сложение многознач­ ных двоичных чисел:

111 111 — единицы переноса; ( 101010101)2— первое слагаемое; (1110011)2 — второе слагаемое.

(111001000)2

Сложение начинаем с разряда единиц 0 Ь + 0 Ь = (Ю)2, ноль записываем, а единицу переносим в следующий слева разряд (над­ писываем сверху). Переходим к разряду двоек: (1)2+ (0)2+ (1)2= = (10)2. Ноль записываем, а единицу надписываем в разряд четверок. Переходим к следующему разряду: (1)г+(1)г+(0)2= (10)2, ноль за­ писываем, а единицу запоминаем и переходим к разряду восьмерок. Так, переходя от разряда к разряду справа налево, мы постепенно вычисляем все цифры суммы. Если записать эти два числа в де­ сятичной системе счисления, то получим

(341)ю + (115)ю = (456)10.