книги из ГПНТБ / Михельсон В.С. Элементы вычислительной математики учебное пособие для электроприборостроительных техникумов

Из последних трех равенств находим

отрезок [а, Ь] разделен на п частей, то эта дуга будет состоять из

дуг парабол. Поэтому п надо брать четным.

160

где

у i = f (а 4- ih) ii 2k = п.

Полученная формула называется формулой Симпсона н позво­ ляет вычислить приближенное значение интеграла ( 1). Абсолютная величина разности значения определенного интеграла А и величины

А не больше, чем

Таким образом, чтобы вычислить значение определенного ин­ теграла (1) с точностью до е, достаточно взять

где М — наибольшее значение fIV (х) при й^дс^б.

§ 3. Интерполяционная формула Ньютона и численное дифференцирование

При практических вычислениях часто приходится пользоваться таблицами различных функций. Если x t—Xi_i=xi+i—x f = h, то гово­ рят, чго таблица составлена для равноотстоящих значений аргумен­ та, где к — разность между двумя соседними значениями аргумента, называется шагом таблицы. Таким образом

хп — хо + nh.

Каждая таблица выражает значения т/, некоторой функции в отдельных точках х,-, включенных в нее. Поставим задачу нахожде­ ния многочлена Р(х), который при Л'= дг,- равен iji для всех из имеющейся таблицы.

Для этого рассмотрим конечные разности.

Конечные разности. При помощи значений у,- функции }(х), за­ писанных в таблице, мы составим разности

А У 0 = »! - У 0 , АУ 1 = У 2 - У 1 ........ ДУ/.-1 = У п ~ У п - 1 •

Из каждого числа i/,■ вычитается число, записанное в таблице над ним. Эти разности называются разностями первого порядка. Запи­ шем их в таблицу. ИсгГользуя эти разности, можно составить раз­ ности второго порядка:

А2уо = А(/! — А(/0= (Уч — Ух) — (Ух — У») — Уч — ^-Ух + Уо< А2 у! = Дг/2 — Aух —- (уз — у2) — (уг — Ух) = Уз — 2уг + ух

и

Д*У, = У1 +О - 2у{+1 +

Разности третьего порядка определяются так:

А3 (/„ = А2Ух — А2Уи — (Уз — 2f/2 + Ух) — (Уг — 2i/! + 1/0) =

— Уз — 3//2 + Зг/i — I/O,

Д31/1 = Дг1/2 — А2!/! = 1/4 — 3//з + 3l/2 — 1/!

и

А3'/; = Vi+з ~ 3У/+2 + 31//4- \ —Уi.

Аналогичным образом составляются разности k-то порядка:

Д*1/,. = A '- '^ + j - A * - 1 #,.

Эти разности выражаются через значения //* следующим об­ разом:

А* 1// = !/,•+* — c \ y i+k_ x + C \y .+k_ 2 -\------ h (—1)Еc )lk_t j//+A +

или при помощи Л3!/,-:

А3!/;1 = Д3у., — д з ^ = _ Ю — 14 = — 24.

В таблице приведены разности для переменного у, но такие же разности различных порядков можно составить и для переменного х. Они обозначаются через Ах,-, Д2х4 и т. д.

Интерполяционный многочлен Ньютона. Пусть заданы п + 1 зна­ чений аргумента х0, хи х2, ... , х п и соответствующие значения функ-

162

ций уо, у ь .. ■, У п ■ При помощи конечных разностей переменного у составим интерполяционный многочлен Рп (х), т. е. многочлен п-й степени, который при x=Xi, 0<i< п равен соответствующему значе­ нию 1 Такой многочлен может быть выбран различными спосо­ бами. Составим один из них — так называемый интерполяционный многочлен Ньютона. Рассмотрим случай, когда заданы равноотстоя­ щие значения аргумента, тогда

Xi — Хд T t h .

Введем теперь новую переменную

х— Хд

г= — -— или х = х0 -f- г/г.

Если

В общем виде можно записать

164

можно подсчитать значение у для х, находящихся между двумя со­

165

~166

Р А З Д Е Л Т Р Е Т И Й

Э Л Е М Е Н Т Ы П Р О Г Р А М М И Р О В А Н И Я

Г л а в а I

ЭЛЕКТРОННЫЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МАШИНЫ

§ 1. Устройство электронных вычислительных машин (ЭВМ)

Электронная вычислительная цифровая машина состоит из сле­ дующих устройств: 1) устройства ввода, 2) устройства управления,

тельную машину через устройство ввода. Для этого в зависимости от вида машины эти числа набиваются на перфокартах или перфо­ ленте.

Пробивка производится на перфораторах. Перфолента или пер­ фокарта с пробитыми на ней отверстиями закладывается в устрой­ ство ввода машины. В нем имеются фотоэлементы. Когда при дви­ жении ленты или перфокарты, отверстия проходят мимо фотоэлемен­ тов, на входных зажимах устройства ввода возникают определенные электрические импульсы, которые передаются в машину. Поступив­ шие в машину числа в виде электрических импульсов размещаются в определенном порядке в ячейках запоминающего устройства. У большинства машин существует два вида запоминающих устройств.

Например, на ЭВМ БЭСМ-2 ввод исходных данных осуществля­ ется с перфокарт. На каждой перфокарте пробивается 12 кодов — команд или чисел. Эти коды вводятся в оперативную память с по­ мощью читающего устройства со скоростью 20 кодов в секунду.

—168

Устройство управления обеспечивает автоматическую работу устройств ЭВМ в соответствии с заданной программой. Оно вызы­ вает из внутреннего запоминающего устройства очередную команду, подлежащую выполнению, затем подготавливает арифметическое уст­ ройство к выполнению операции, указанной в вызванной команде, и вызывает из внутреннего запоминающего устройства числа, над ко­ торыми эта команда должна выполняться. Устройство управления засылает результат в нужную ячейку запоминающего устройства и вызывает для исполнения следующую очередную команду программы.

При помощи устройства управления происходит также ввод ин­ формации из считывающего в запоминающее устройство, ее переда­ чи между внутренним и внешними накопителями.

Устройство управления организует выдачу результатов на печа­ тающее устройство.

Запоминающее устройство ЭВМ состоит из внутреннего и внеш­ него.

Внутреннее (оперативное) запоминающее устройство хранит те команды и те исходные данные, которые на данном промежутке вре­ мени непосредственно участвуют в вычислениях. Для того чтобы арифметическое устройство могло работать с большой скоростью, с большой же скоростью в него должны поступать числа из внутрен­ него запоминающего устройства. Поэтому к внутреннему запоминаю­ щему устройству предъявляется требование быстрой записи и выда­ чи чисел. Наиболее распространенным является внутреннее запоми­ нающее устройство, построенное на ферритовых сердечниках. Для запоминания одной двоичной цифры используется один такой сер­ дечник. Если в данном разряде числа находится единица, то элек­ трический импульс поступит в обмотку соответствующего сердечника и изменит его магнитное состояние. Для записи одного двоичного числа нужно пользоваться столькими ферритовыми сердечниками, сколько двоичных разрядов имеет вводимое в машину число. Фер­ ритовые сердечники, которые используются для запоминания одного числа или одной команды, образуют одну ячейку запоминающего устройства. Внутреннее запоминающее устройство в различных ма­ шинах может хранить различное количество чисел. Например, внут­ реннее запоминающее устройство машины «Минск» содержит 1024

поминающее устройство-, магнитный барабан или магнитная лента. На барабане машины «Урал-4» можно хранить до 16000 40-разрядных кодов.

1Ь9