книги из ГПНТБ / Михельсон В.С. Элементы вычислительной математики учебное пособие для электроприборостроительных техникумов

X 2

X 3

1

X й '

vn+l

___

1 ___

(П + 1)!

V

2!

3!

1

1 я! ,

V х‘

е* и

xn+1

7 =

0,

то у = lim уп — I + х -\-ех

Так как^_| -ур =

i

(

»

+

i =rQ

n r

является точным решением рассматриваемого уравнения.

Численное

интегрирование

дифференциальных

уравнений.

y '= F ( x ; y ) .

(47)

Пусть y ~ f (х) является аналитическим решением уравнения.

Решить дифференциальное уравнение (47)

численным методом —

это значит для заданной

последовательности аргументов

*о,*1. *2..........хп

(48)

и числа г/о.не определяя

функцию

у=!(х),

найти

такие

значения

что

У1. У ..........Уф

У1

= Н х i)

(£ = 1,2..........п) и f(x 0 ) = y 0.

Таким образом, численные методы позволяют вместо нахождения

функции y=f(x)

получить

таблицу

значений

этой

функции

для за­

данной последовательности

значений аргумента (48). Величина А* =

=хк—Xfc_i называется шагом интегрирования.

Мы рассмотрим два метода: метод функциональных рядов и ме­

тод Рунге — Кутта.

Пусть функция y = f(x)

— реше-

Метод функциональных рядов.

ние уравнения

(47). Возьмем некоторое значение

х^ из последова­

У (Ч + hk) = Ук +

-J7 Ук +

I------- Ь —

y km)+(

R,

где

hm~\~1

у{ =Ут (хк) и R =

*

■y (m+l)(xk + 0А),

0 < 0 < 1.

т

!

S

hfe

i=i

'7 Г г,* >*

y'k =

F ( xk, Ук ) ,

у'к = К { * к ,

У к ) + р ' Л х ь у к ) у' к

И т. д.

Найти значения функции y= f (х) — решения урав­

Пр и м е р .

нения

У' М = У (х) — 4х + 3

при *о=0, i/o = 3,

п = 3 и постоянном шаге интегрирования h = 0,1.

Р е ш е н и е .

По условию задачи требуется определить

У1 , 1/2. Уз Для Уо (0) = 3.

— О-1> *2 = 0,2 и х3 = 0,3.

Возьмем m= 3, тогда

^*+1 (■*) = Ук+

ft

,

П‘

" , ft-’

«■

~\\

уь+

+ "зГ

*

Определим (/"(*) и У'"(х)'-

У" (х)=(у' (х)У =

— 4 +

(/' =

= — 4 + (у - 4х + 3) = у - 4* - 1,

У"’ (х) = (у" (х)У = у ’ - 4 = у - 4 х - 1 .

Значения у0, у0

и у0

равны:

У о =

У о —

Ч ) +

3 =

6-

Уо =

Уо =

— 4*0 — 1 =

2>

поэтому

их = 3 +

0,1

6 +

О, I2

0,13

—

- 1— 2 + ^ — 2 = 3,6103,

1!

2!

3!

Значения (/х, y t

и yt

равны:

у [ = у1 — 4х1

+ 3 = 6,2103 и у\ =

у" =

уг — 4л:, — 1 =

2,2103,

поэтому

0,1

О,I3

0,1з

(/2 =

3,6103+

4,2427.

-у|-6,2103 +

—

2,2103 +

2,2103=

Находим значения у2. у2

и у2

:

У2 =

Уг -

4 ^

+

3 = 6,4427, у2’ = у 1 = * „ - 4 * , -

1 =

2,4427,

поэтому

0,1

О, I2

0,13

уя =

4,2427 +

6,4427 +

4,8999.

—

- 1- 2,4427 +

2,4427 =

1

2

3

Легко проверить, что

у(х) = 2ег + 4лг+ 1

xi

0

0,1

0,2

0,3

Значение,

полученное

3

3,6103

4,2427

4,8999

численным методом

Значение,

полученное из

3

3,6021

4,2428

4,8996

аналитического решения

ределяют числа kh ki, k3 и k4. Для

этого вычисляют:

1)

A,= hF(xk,y k)-,

Л

1 .

2)

1

координаты хк + — п н Уь+

— А,;

3)

1

I

k2 =hF(xk+ — /г, yh+ — А,);

1

,

1 .

Ук+\ — У^Л- ~^Г" (Ai + 2Аг + 2А3 + А4).

(49)

П р и м е р .

Найти значения

функции y = f ( x ) — решения

урав­

нения

У' (х) = у(х) — Ах + 3

при Хо=0, 1/о= 3, п = 3 и /г= 0,1•

Р е ш е н и е .

Вычисляем числа ku k2, k3 и k4 для х0 и уо.-

ki = h-F (х0, у0) = 0,1-6 =

0,6;

k2 = h-F(x0 + 0,05, у0 + 0,3) = 0 ,1 (3 ,3 -4 -0 ,0 5 + 3) =

0,61;

k3 = h-F (х0+0,05,

г/0+ 0,305) = 0 ,1 (3,305 — 4-0,05 + 3) = 0,6105;

= h-F (х0+ 0 ,1,

(/0+0,6Ю5) =

0,1 (3,6105 — 4-0,1 +

3) = 0,62105.

Находим у\

по формуле (49)

у г = 3 + —

(0,6 +

2-0,61 +

2-0,6105 + 0,62105) =

3,61034.

6

Теперь вычислим

для .>0= 0,1

и г/i =3,61034

числа kt, k2, k3

и k4:

kl = h-F(xl , ух) = 0,621034;

k2 =

h-F(xx + 0,05,

ух. +

0,310517) = 0,63209;

ka =

h-F(xx. -f 0,05,

yx +

0,31605) =

0,632635;

ki =

h-F (xx. + 0,1,

yx +

0,632635) =-0,6442975.

При помощи этих чисел находим

1/2 =

l/i +

~г~ (ki +

2^2 +

2Аз + ki) — 4,2428.

6

Чтобы определить у3, вычисляем klt k2, k3

и kt для лг2= 0,2 и

1/2=4,2428:

k\ = 0,644280,

k2

= 0,65649, ka = 0,65711

и 64 =

0,66991,

Тогда

§ 1. Вычисление интегралов методом трапеций

Чтобы вычислить определенный интеграл

ъ

(1)

A = \ f ( x ) d x ,

а

нужно найти неопределенный интеграл

J7 (х) dx = F (х) + С.

(2)

Получаем п трапеций Ai-\Ai CiCi_u

Обозначим пло­

щадь такой трапеции через S;. Если мы разделили отрезок АВ на п

равных частей,

. ~

Ь — а

то длина каждого отрезка Л*С; равна

--------, а абс-

Ъ— а

п

цисса точки Ai

перпендикуля­

равна а + — - — -i. Обозначим длину

ра AiCi через (/,. Возможны два случая.

длиннее стороны

А.

В трапеции А

ЛгС(Сг-_, сторона /1

AiCt,

т. е.

yi-i>yi, (см.

рис.

24);

тогда проведем

перпендикуляр

из

точки

Сi

до пересечения

с прямой Aj-iCj-i.

В этом

случае

S. = пл. A, , A . C . D , , + п л . q о

с.

i

I

l — i

(

i

1 — 1 I

1 — 1

I — 1

ИЛИ

Si

Ь — а

Vi +

« i-i

~

У,

Ь — а

Ь — а [ ?/,•_!+ У[

( 3)

•

Б.

В трапеции

тогда

сторона y4f_iCj_i

короче стороны

AiCi,

т. е.

t/f_1< г/г,

проведем перпендикуляр

из

точки С,_j

S . =

&— а

У1 - 1

у { - у 1 - 1

Ь — а ^

п

2

Итак мы видим,

что в обоих случаях

площадь S t определяется

по одной и той же формуле (3).

Таким образом,

а

/=1

*=1

И ЛИ

А

^ +

Ух н------ ь г/,г_1

(4)

где

Hi =

/ ( а +

г’

Формула (4) называется формулой трапеции. Она позволяет вы­

числить приближенное значение А интеграла

(1). Погрешность,

кото-

п >

М-(Ь — я)3

(5)

12~ё

В этом случае | А—Л |< е.

Вычислим значение

Рассмотрим п р и м е р . Пусть f(x)= Зх2 —4х.

А

1

,/(2)

9,055.

3

V 2

п >

12-5- 10- з

Таким образом, при ti^

- 8 мы должны получить

\А—А |<0,005.

Возьмем, например, п=9.

1_

+ - - - + П 2

Н~

9

/

(3 )

9,0061,

обозначим через

Х и х2

и х3. Пусть У \ = ! ( Х \ ) , У2 =!(х

2) и y3 =f(x3),

тогда точки Сь С2

и С3

имеют координаты (хи т/,), (х2,

у2) и (х3 ,у 3).

чтобы ее ось была параллельна оси

Оу. Общий вид таких

парабол

у = di х2 + d2x + d3.

(7)

Определим значения коэффициентов di. Для упрощения вычис­

лений предположим, что точка Ai

является началом координат

(х=0). Так как точки А и А2

и А3 выбраны равноотстоящими друг

от друга, то х3 —х2 =х2 —Х \ = h.

Число

h называется шагом

интегри­

= Л, x3 — 1 h.

и С3, должны

Чтобы парабола (7) проходила через точки Сь С2

выполняться равенства

di х\ + d 2

xi + d3 — Уъ

d3 — Уи

d \ х 2 "Т~ d 2

х 2

~ Г d 3

== У 2* И Л И

dih2 + d2h + d3

— у2,

d \ 4 + d 2

х 3

+ d 3

= УЗ

4di № -j- 2 d 2h -\-d3 ^=y3.