книги из ГПНТБ / Михельсон В.С. Элементы вычислительной математики учебное пособие для электроприборостроительных техникумов

Умножим заданное уравнение на |(х ):

Теперь оно стало уравнением в полных дифференциалах, в чем нетрудно убедиться, вычислив

поэтому

d\ — x — — — — ) = 0 .

Это значит, что

или

За-2 + ху3 +3у + ЗхС = 0

является общим интегралом уравнения (17).

§3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Клинейным дифференциальным уравнениям первого порядка относятся уравнения вида

—130

(Для удобства дальнейших преобразований постоянную интегриро­ вания берем в виде In с.)

Поэтому

131

Учитывая равенство (20), уравнение (19) можно переписать в виде

В общем решении остается один параметр C= C0Ci.

Если мы хотим найти частное решение уравнения (18), удовлет­ воряющее начальному условию у1 х^ Х!1 =Уо, то вместо равенств (21) и (23) определяем

к нахождению решений двух уравнений с разделяющимися перемен­ ными (20) и (22).

132

Из (21) н (23) находим

— общий интеграл уравнения (24).

Однородные линейные дифференциальные уравнения первого

f {х) ~7~ +ф(*)2/ = 0 .

ах

В этом уравнении можно разделить переменные

dy ____у(х)

У~ Цх)

поэтому

является общим решением однородного уравнения.

§ 4. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

Линейным дифференциальным уравнением «-го порядка называ­ ется уравнение вида

—133

которое содержит искомую функцию и ее производные только в пер­ вой степени и не содержит их произведений.

Например, уравнение

п параметров С,,. . Сп. Для нахождения этих параметров задают п начальных условий:

и только одна функция у={(х), которая определена и непрерывна на всем интервале (с, d), является решением уравнения (25) и удов­ летворяет начальным условиям (26).

Если в уравнении (25) Ь(х) = 0, то оно называется однородным,

при Ь(х) Ф 0 — неоднородным.

Однородное линейное дифференциальное уравнение. Однород­ ное линейное дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид

функция Су\(х) является решением этого уравнения.

134

2. Если функции у\(х) и у2 (х) являются решениями уравнения (27), то и функция y ( x ) - y i ( x ) + y 2 (x) является решением этого Уравнения.

3. Если iji{x), у2 (х) , ..., у п (х) — решения уравнения (27), то н Функция

у (х) = Ci yi (х) + С2 Уг (х) + • • • + Сп уп (х).

есть решение этого уравнения.

= — Ci sin x — C2 cos x + Ci sin x + C2 cos x = 0.

Рассмотренное свойство 3 показывает, что при помощи частных решений уравнения (27) можно составить решение, содержащее п параметров. Является ли такое решение общим решением уравнения (27)? Решение уравнения (27), содержащее п параметров, является общим решением только в том случае, если при помощи любых за­ данных п начальных условий можно однозначно определить значения

Попытаемся определить значения Ci и С2, чтобы у\ удовлетворя­ ло этим начальным условиям:

у'х = Схcos х + С2 cos х,

135

поэтому

Составленная система несовместна, т. е. при любых значениях Ci и С2 решение г/i не может одновременно удовлетворять обоим началь­ ным условиям. Это означает, что решение у\ не является общим ре­ шением.

Решение (/2=С, sin х+С 2 cos х уравнения (28) является общим решением этого уравнения. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим на­

чальные условия у2 (х0)=а и у±(х0 )=Ь. Составим систему уравне­ ний для нахождения С| и С2;

У2 (*о) = С, sin х„ + С2 cos .v0 ■-= а,

При любых значениях a, b и Хд составленная система совместна, так как при любых значениях х0 знаменатель этих дробей равен —1.

Хотя обе эти функции содержат по два параметра и степень урав­ нения (28) равна двум, первая не является общим решением этого уравнения, а вторая является.

136

Если у\(х) , ..., у п(х) являются частными решениями уравнения

(27), то

у (х) = С-1 У! (х) + • • • + Сп уп (х)

будет общим решением этого уравнения тогда и только тогда, когда функции у i(д:), .. ,,ijn(x) линейно независимы.

Линейная зависимость системы функций определяется аналогич­ но линейной зависимости системы столбцов матрицы, рассмотренной в гл. II.

+ ' " + о п уп {х).

для всех х, принадлежащих отрезку [с, d], то говорят, что функция У,■(х) линейно выражается через остальные функции системы на от­ резке [с, d].

О п р е д е л е н и е 2. Система функций У\.......у п называется ли­ нейной независимой на отрезке [с, d], если ни одна из функций этой

[с, d], то система называется линейно зависимой на этом отрезке.

при х>0 Так как функция У\ линейно выражается через функции у2 и у3,

137

Эти теоремы позволяют определить, является ли система функ­ ций (30) линейно независима или нет.

П р и м е р . Система функций

yi — sin х и уг = cos х.

является линейной независимой на всей числовой оси, так как оп­ ределитель Вронского этой системы (см. стр. 136) не равен нулю при

любых значениях х.

Если система функций (30) линейно независима на отрезке [с, dl а каждая функция является на этом отрезке частным реше­ нием некоторого линейного однородного дифференциального уравне­ ния, то такая система называется фундаментальной системой реше- •

ний этого уравнения.

Найдя фундаментальную систему решений уравнения (27), мож­ но сразу построить общее решение.

является фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения п-го порядка

то линейная комбинация функций системы (32)

У — Ci Уг + • • • + Сп уп

является общим решением уравнения (33).

Таким образом, нахождение общего решения уравнения (33) сводится к нахождению фундаментальной системы решений, т. е. частных линейно независимых решений.

Метод нахождений таких решений мы рассмотрим на примере решения однородных линейных уравнений с постоянными коэффи­

циентами.

Однородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Если в уравнении (33) все коэффициенты а,(х) являются постоян­ ными числами, то оно называется однородным линейным дифферен­ циальным уравнением с постоянными коэффициентами. Такое урав­ нение можно записать в виде

где а, — постоянные числа.

139