книги из ГПНТБ / Михельсон В.С. Элементы вычислительной математики учебное пособие для электроприборостроительных техникумов

Решением дифференциального уравнения (1) называется вся­ кая функция y=f(x), при подстановке которой в это уравнение полу­ чается тождество, т. е.

F( x, f ( x) , Г ( x ) , . . . , f w (*)) = 0 .

Например:

1) (jr(x) = 2sin х — 7х+5 является решением дифференциального уравнения у"—2 y'+ y + 4cosx+7x— 19=0, так как q"(x)—2q'(x) +

+<7(х)-|-4 cosx + 7x—19= 0.

2)Решением уравнения

так как q"'(x)—6 s 0; Сь С2, и С3 в этом решении являются постоян­ ными числовыми коэффициентами. Выбирая для них различные чис­ ловые значения, можно получить различные функции q\(x), q2 (x),...

В отличие от алгебраических и трансцендентных уравнений и си­ стем, корнями которых являются числа, решением дифференциально­ го уравнения является функция.

Решение дифференциального уравнения может содержать про­ извольные постоянные, как в примере, рассмотренном выше. У раз­ личных уравнений решения могут содержать различное число таких постоянных.

Число таких постоянных зависит от порядка дифференциального уравнения.

dz

— = sin х dx

120

Таким образом, решение рассматриваемого уравнения содержит две произвольные постоянные. В рассмотренном примере 2 реше­ ние содержало три постоянные.

Функция (3) представляет собой семейство решения уравнения (2), функция (5)— семейство решения уравнения (4).

Решение дифференциального уравнения, содержащее столько произвольных постоянных (параметров), каков его порядок, называ­ ется общим решением или общим интегралом этого уравнения.

Как видно из рассмотренных примеров, связь между функцией у и параметрами, входящими в общее решение, выражается в уравне­ нии семейства функции.

Если в таком уравнении выразить у через аргумент х и парамет­ ры С \ , , Сп. то функция y=g(x, Си . . ., С») называется общим ре­ шением уравнения (1), в противном случае оно называется общим интегралом этого уравнения.

Из общего решения (интеграла) дифференциального уравнения можно получить его частные решения. Для этого достаточно задать определенные численные значения параметрам, входящим в это ре­

—121

общего решения (5) при Ci=0 и С2 = 0, при С1= -^ -и С2= 17 и при

С, = 0 и С2=5.

Аналогичным способом из общего интеграла можно получить различные частные интегралы дифференциального уравнения.

Начальные условия. Выше было указано, что дифференциально­ му уравнению удовлетворяет, вообще говоря, целое семейство функ­ ций. Для выделения одной из них следует указать значение этой функции и ее производных нескольких порядков при каком-либо значении аргумента. Если порядок дифференциального уравнения равен п, то его общее решение

раметров С.........Сп, называются начальными условиями дифферен­ циального уравнения.

§ 2. Основные методы интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка

Для решения таких уравнений применяются различные методы. Выбор метода зависит от того, к какому классу относится решаемое уравнение. Рассмотрим некоторые из них.

122

ференциала переменного на функцию от х и у. Например, уравнение

(х + У) ~ + ху sin х = О

ах

может быть записано как

(х + у) dy — — ху sin xdx.

В некоторых случаях дифференциальное уравнение (8) можно записать в виде

где каждая часть (9) представляет собой произведение функции од­ ной переменной на дифференциал этой переменной.

В этом случае говорят, что в исходном уравнении можно разде­ лить переменные, записав его в виде уравнения (9) с разделенными переменными.

П р и м е р . Найти частный интеграл дифференциального урав­ нения

х3 (1 + У3) dx = (I -(- х4) уЧу,

удовлетворяющий начальному условию у(0 ) —0 .

Р е ш е н и е . Разделим обе части уравнения на (1+ </3) (1+х4), получим

x3dx уЧу

1 + х4 = 1 + у3’

поэтому

Г X3dx ^ Г у2 dy

J l + x4 J l + ( / 3 +

123

заданного уравнения, удовлетворяющий начальному условию.

В общем виде уравнения, в которых можно разделить перемен­

Оно не является уравнением вида (9), но при помощи замены переменных получается уравнение, в котором можно разделить пе­ ременные. Возьмем z —ax+by+с, тогда dz=adx+bdy, поэтому урав­ нение (11) запишется в виде

или

(bf(z) — a) dx + dz = 0.

Таким образом, получили уравнение вида (10), в котором можно раз­ делить переменные:

dz

dx — —

bf (г) —а

124 —

Из этого уравнения находим

Сdz

Поэтому, подставив вместо г сумму ax+by+с, получаем интеграл уравнения (11)

х — F (ах + by + с) + С — 0.

П р и м е р . Найти общий интеграл уравнения

'4 4х + у + 2 ^

—общий интеграл решаемого уравнения.

ная функция ф(х, у) однородной, и найти ее степень, необходимо вместо переменных х н у подставить соответственно произведения tx и ty. Если функцию ф(<х, ty) можно преобразовать в виде произ­ ведения первоначальной функции и какой-либо степени числа t, т. е. t ",то она является однородной, а степень однородности равна п. Таким образом, для однородной функции должно выполняться тож­ дество

4?(tx, ty) = tn $(x, у)

для любого числа t.

Например, функция ф(х, У ) — х 2+ х у является однородной вто­ рой степени, так как ф(/л', ty) = (<*)2+ (tx) (ty)=t2 (x2 +xy) = г2ф((х, у ) .

125

Если уравнение является однородным, то в нем можно разде­ лить переменные. Для этого вводят новую переменную

У

и — — .

X

Рассмотрим подробнее метод решения однородных дифферен­ циальных уравнений разделением переменных.

Пусть уравнение (8) является однородным, т. е. функции f{x,y)

где п —ту поэтому рассматриваемое уравнение можно записать как

/ ( 1, — ] dx = Ф

у

Получаем уравнение вида (10), в котором можно разделить пе­ ременные:

Окончательно получаем интеграл решаемого уравнения в виде

126

Чтобы составить функции f(\,u) и <р(1,н), нужно в функциях Г(х, У) и qi(x,y) вместо х подставить 1, а вместо у — переменную и. Например, в уравнении

(7х4 + ху3) dx = 4 (х4 + у4) dy

f (х, у) = 7х*+ ху3 и ф (х, у) = 4 (х4 + г/4)

являются однородными функциями со степенью однородности, рав­ ной четырем; из сказанного выше следует

/(1, ц) = 7 + «з и ф (1, и) = Ф(1 + « 4).

Уравнение в полных дифференциалах. Полным дифференциалом du функции и(х, у) от двух переменных х и у называется сумма

ди ди

du = ——dx + ——d y .

дх ду

Например, если «(х, у) = x2+sin(2x+i/), то

du = [2х + 2 cos (2х + у )\dx -f cos (2х + у) dy.

Рассмотрим дифференциальное уравнение f (х, y)dx-Ьф(х, y)dy=0 .

Если функции f(x,y) и ф(х, у) такие, что

то существует такая функция F(x,y), для которой полный дифферен­ циал dF(x,y) равен:

Всвязи с этим рассматриваемое уравнение называется уравне­ нием в полных дифференциалах.

Вэтом случае из уравнения (13) определяется функция F(x,y);

где х0 и Уо произвольно взятые числа.

Выражение F(x,y)=C и является интегралом рассматриваемой

Функции.

Например, решим уравнение (уех +2x+y2 )dx+ (ех +2xy)dy = 0 .

127

Так как f(x, у) = уе * j-2x+y2 и ф(х, у) =ех -г2 ух, то

Может оказаться, что для заданного уравнения условие (12) не выполняется и оно не является уравнением в полных дифференциа­ лах. Однако иногда уравнение можно превратить в уравнение в полных дифференциалах, если умножить на подходящую функцию.

Интегрирующий множитель уравнения (8 )— такая функция Ъ,(х,у), что от умножения на нее оно обращается в уравнение в пол­ ных дифференциалах. Интегрирующий множитель существует для любого дифференциального уравнения, но часто его трудно опреде­ лить. Задача нахождения интегрирующего множителя облегчается, если он зависит только от одного переменного х и у.

Если %(х,у) = 0, то выполняется условие (12) и заданное урав­ нение является уравнением в полных дифференциалах. Когда функ­ ция Х(х,у) не равна тождественно нулю, то находим

X (х , у)

— v ■■ (14) Ф(*. У)

Если это выражение не зависит от у, то £(х) определяется по формуле

128

и определяем, зависит ли оно от х. Если выражение (16) не зависит от х, то 1 (у) определяется по формуле

_ с U x , у) йу

1(») = е * П х -у) .

Если выражение (14) зависит от х и у, то интегрирующий мно­ житель является функцией переменных х и у.

П р и м е р. Найти общий интеграл уравнения

(у — х2) dx — (х2 у2 + х) dy = 0.

Р е ш е н и е . В рассматриваемом уравнении f(x,y)= y —х2 и

ф(*. 1/ ) = - ( х!!/Ч х).

Проверим, является ли оно уравнением в полных дифференциа-

Так как составленное выражение не зависит от у, то интегриру­ ющий множитель находим по формуле (15)

_2