книги из ГПНТБ / Михельсон В.С. Элементы вычислительной математики учебное пособие для электроприборостроительных техникумов

Обозначим через с ту из границ интервала (я; 6), для которой f(c) и Г (с) имеют противоположные знаки. Другую границу обоз­ начим через d. Проведем хорду CD. Она проходит через точку С с координатами с и f(c) и через точку D с координатами d и f(d). Из курса аналитической геометрии известно, что уравнение прямой ли­ нии, проходящей через две точки с координатами (хь у {) и (х2, у2), можно представить в виде

Уравнение прямой CD запишется поэтому в виде

Найдем координаты точки пересечения этой прямой с осью Ох. Для этого в уравнении прямой CD возьмем г/=0, тогда

Если с является меньшей границей интервала (о, 6) и f(c)<0, то f (x,)<0 и c<xt<d (рис. 19); если f(c)>0, то f(x:) > 0 и c< *,< d (рис. 21). В других случаях, когда с является верхней границей, по­ лученное число Х\ меньше с и больше d.

Теперь можно взять более узкий интервал, содержащий искомый корень. Если с — нижняя граница, то вместо интервала (с, d) берем интервал (xh d) (рис. 19 и 21); если с — верхняя граница, берем ин­ тервал (d, x t) (рис. 20 и 22). Мы видим, что знак f(x 1) совпадает, со знаком f(c) Поэтому можно повторить вышеописанный процесс, со­ единяя точку D с точкой С[. Абсцисса точки пересечения этой пря­ мой с осью Ох вычисляется по формуле (4), только вместо числа с в ней нужно подставить число Х\\

f(xi)(x1 — d)

Х 2 — X i +

f(d) — f ( x 1)'

Если Х\ является нижней границей искомого корня, то берем ин­ тервал (x2 ,d) (рис. 19 и 21); если верхней, то берем интервал

(d,x2) (рис. 20 и 22).

ПО —

Таким образом, мы все более сжимаем границы, в которых нахо­ дится искомый корень. Числа х, и х2 являются приближенными зна­ чениями эюго корня, причем абсолютная погрешность х2 меньше, чем х\.

Пусть задано положительное число е и требуется найти методом хорд приближенное значение корня f(x)= 0, которое отличается мень­ ше, чем на е, от точного значения корня этого уравнения. При этом возникает вопрос, сколько приближенных значений корня х и х2, х3, ... нужно вычислить методом хорд, чтобы получить значение корня с заданной ючностыо.

Обозначим через k точное значение корня /(х) = 0. Можно дока­ зать, что

\к ~ х п \ < \ х п - х п - \ \ .

Поэтому, если методом хорд мы найдем такие два последова­ тельных приближенных значения корня *n-i и лг„, что

]хп—л:„_1|< е , тогда и 16—х „К е .

Иначе говоря, чтобы методом хорд вычислить приближенное зна­ чение корня с абсолютной погрешностью, меньшей, чем заданное чис­ ло е, нужно этим методом вычислять приближенные значения корня

111

и

/(0,309903) (0,309903 — 0,3)

Мы видим, что три десятичных цифры у х3 и хъ совпадают, по­ этому можно утверждать, что х=0,3098 является корнем рассматри­ ваемого уравнения с точностью до 0,001.

§4. Метод касательных

Впредыдущем параграфе рассматривали метод хорд, позволя­ ющий с заданной точностью вычислять корни уравнения (2). Другим методом определения корней является метод касательных. Построим

еще раз график функции y —f{x) (рис. 23). Проведем к этому графи­

ку касательную в точке D с координатами (d,}(d)). Из курса диф­ ференциального исчисления известно, что уравнение касательной к графику функции y=f (x) в точке с координатами (лг0, у0) имеет вид

У = Г (х0) х + у0— Г (*о)*о,

поэтому уравнение касательной DF запишется в виде

У = Г (d) х + / (d) — /' (d)-d.

112

Найдем абсциссу точки пересечения этой касательной с осью Ох. Эту абсциссу можно принять за первое приближенное значение кор­ ня. Для этого в уравнении касательной примем у = 0. Тогда

1 (d)

d

Г (d)’

получаем первое приближение искомого корня. Теперь можно вместо

интервала (с, d) взять (с, Х]). Опять проведем касательную к этому графику в точке С\. Абсцисса точки пересечения этой касательной с осью Ох равна

f (*1)

Г(хгУ

Таким образом, получаем еще более точное значение корня. Про­ должая вычисление, можно получить значение корня с любой точ­ ностью. Можно доказать, что при нахождении приближенных значе­ ний корня этим методом также выполняется условие (5).

Прежде чем проиллюстрировать этот метод на примере, нужно решить следующий вопрос: в какой точке на графике y=f(x) нужно проводить касательную — в точке, соответствующей нижней или верх­ ней границам рассматриваемого промежутка. На рис. 23 касательная DF проведена в точке графика, которая соответствует верхней гра­ нице. Проведем теперь касательную CF* в точке с. Она пересечет ось Ох правее точки d, и поэтому мы не получаем нужное прибли­ женное значение корня. На рис. 18—23 показано, как нужно прово­ дить касательную: касательная должна проходить через точку гра­ фика, соответствующую той границе, для которой значения f"(x) и 1 (х) имеют одинаковые знаки.

Когда применяли метод хорд, мы обозначили ту границу интер­ вала (а,Ь), для которой значения f"(x) и f(x) имеют разные знаки через с, а ту, — где f (х) и f(x) имеют одинаковые знаки, — через d. Таким же способом обозначаются границы, когда пользуются мето­ дом касательных. Метод хорд и метод касательных во всех случаях дают приближения к значению корня с разных сторон. Поэтому наи­ более целесообразно совмещать эти два метода: с одной стороны, нужно приближаться к искомому корню при помощи одного метода, а

сдругой — при помощи другого.

Пр и м е р . Рассмотрим ранее решенное уравнение: f(x)= 2х—4х.

= 0,30988 является корнем рассматриваемого уравнения с точностью до 0,0001.

§ 5. Метод итераций

Для нахождения корня уравнения /(*) = 0 этим методом соста­ вим уравнение вида

х = ф (х),

которое имеет такие же корни, как и заданное уравнение

/(*) = о.

Например, для уравнения хъ—4х3 + х2—х—6=0 можно взять сле­ дующие эквивалентные ему уравнения:

х = хъ—4хъ4г х2 —6, тогда <$(х)=х5 —4х3 + х2 —6,

5/----------------------

х = V 4х3 -■ х*+х + 6 ,

тогда

<р {х) = Y 4х3 — x2 -f-x + 6

или

х =

и тогда

* / х 5 + х 2 — х — 6

ф М = | / ------------ -------------- .

Возьмем теперь произвольное число cio и подставим его в фор­ мулу у=(р(х). Обозначим получившееся число через aj, т. е. ai =

114

= <p(cto). Опять подставим число щ в формулу (6) и обозначим по­ лучившееся число через а2. Таким образом, мы получим последова­ тельность чисел

(7)

где каждое число получается как значение ф(х), когда за значение*

вательность чисел (7) сходится к точному значению корня уравне­ ния х=ср(х). Какие же это условия? Ответ на этот вопрос дает сле­

(а, Ь). Если для всех значений х, заключенных в этом же интервале, выполняется неравенство

то эти числа являются приближенными значениями корня уравнения х=ф(х) (а значит и уравнения f(x) =0), причем каждое последую­ щее число является более точным значением, чем предыдущее.

Как же в этом методе определить точность вычисленных зна­ чений корня уравнения? Для любого такого уравнения уже нельзя,

с

или

Пр и м е р ы.

1)Вычислить с точностью до 10“c значение положительного кор­

ня уравнения 2 х3 —25х+1=0.

Это уравнение можно различными способами заменить эквива­

Можно ли воспользоваться функцией ф1(я) для вычисления по­ следовательных приближений искомого корня? Для этого должно вы­ полняться условие (8). Искомый корень находится в интервале (0,1):

| ф[ (х) | = |6л2 — 24| и |ф' (л:)| > 1 при 0 < х < 1,

поэтому условие (8) не выполняется и формулой x=(pi(x) нельзя пользоваться при нахождении искомого приближенного значения

116

формулу, чтобы можно было найти значение корня этого уравнения, т. е. значение корня п-й степени из числа N с любой степенью точ­ ности.

Данное уравнение перепишем в виде x n= N. Прибавим к обеим

Чтобы при заданных п и N вычислить значение корня, нужно предварительно определить границы а и Ь. Их нужно определить так, чтобы выполнялось условие (8); тогда за первое приближение корня можно будет взять любое число в интервале (а, Ь) и по полученной

117

Повторяя эти вычисления, находим а3=2,2588 и а4=2,25832. Так как с < 0,5, то | k—ап |^ | а п—a n-il, поэтому, если у а4 и а3 совпада­ ют четыре цифры, то эти цифры будут и у искомого значения корня.

118

(см. табл. 4).

Таким образом, получаем приближенное значение искомого кор­ ня Об = 0,30991 с точностью до 0,00001, так как

\k — ae| < |a0 — a5| < 0,00001.

Глава IV

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПРОСТЕЙШИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ 1. Общие сведения

Различные задачи техники, физики часто сводятся к решению дифференциальных уравнений. Дифференциальным уравнением назы­ вается уравнение, содержащее аргумент, неизвестную функцию, ее производные или дифференциалы.

Например:

5х3у + у’ = ху,

2у (dx)3 + х (dx)3 = (* + у) (dy)3, 15у" + 3у' — 7у = ух2.

В общем виде дифференциальное уравнение можно записать как

Наивысший из порядков производных (или дифференциалов), входя­ щих в уравнение (1), называется порядком этого уравнения. Таким

119