книги из ГПНТБ / Михельсон В.С. Элементы вычислительной математики учебное пособие для электроприборостроительных техникумов

П р и м е р . Решить систему

10,1 *t — 0,3x2 = 20,

(21)

— 7 xi + 102*2 = — 100.

Эту систему можно записать различными способами в виде си­ стемы (18):

Xi = 2 — 0,01 jCi + 0,031 лг2,

*2 = — 1 + 0 ,0 7 * ! — 0,02 *2,

( 22)

*2 = _ 0,9804 + 0,0686 *!,

или

*! = 20 — 9,01 *! + 0,3 *2,

лг2 = — 100 + 7*2. — 101 *2.

Первыми двумя системами можно воспользоваться для нахож­ дения приближенного решения системы (21). Так как для первой системы

ГО,01 + 0,07 = 0,08 < 1, 10,03 + 0,02 = 0,05 < 1,

то выполняется первое условие теоремы. Для второй системы 0,0686<1 и 0,0297<1, т. е. также выполняется первое условие.

Расчет проводим по формулам:

(23)

составленным из коэффициентов первой системы.

Возьмем * i= 0 и *^~^ ™,-па

Вычисляем *{2* и х ^ :

*{2) = 2 — 0,001-2+ 0,03-(— 1 )= 1,95,

* Р > = _ 1 + 0,07-2 — 0,02-(— 1) = — 0,84

—100

Теперь находим *{3) и х£3):

ДГ](3> = 2 — 0,01-1,95 + 0 , 03-(— 0,84) = 1,9553,

приближенное решение системы с любой наперед заданной точно­

которая также сходится к решению системы (21).

Чтобы ускорить сходимость процесса итерации, заменим фор­

Можно при вычислении xjkx пользоваться только что вычисленными

101

ся методом Зейд'еля, Последовательность решений, составленная по этому методу сходится, если матрица /4=||ао11 удовлетворяет усло­ вию приведенной выше теоремы.

Кроме изложенных двух методов, были разработаны и другие, применяемые при решении систем линейных уравнений на быстро­ действующих электронных вычислительных машинах. Специальные

102 -

то число п называется степенью уравнения. Для краткости левую часть выражения (1) будем обозначать через Р(х) и называть ее

многочленом, от неизвестного х. Если а0 =1, то многочлен называет­ ся приведенным. Подставляя вместо х какое-нибудь число с, можно найти числовое значение этого многочлена, это значение обозначим

или корнем многочлена Р(х) называется такое значение а неизвест­ ного х, при котором значение многочлена равно нулю: Р(а) = 0.

104

т. е. найти такие два многочлена q(x) степени п—т и г(х) степени меньше чем т, что

Р(х) = Q( x) q( x) +r( x) .

В этом случае многочлен q(x) называется частным, а многочлен

г(х) — остатком.

Пр и м е р . При делении многочлена Р( х )=—2х5—х4 +2хЗ—5л:2— —4л:+7 на Q(x)=x3 —л:+ 3 получаем частное q(x) = —2л:2—х и г(х) =

оказаться, например, что Р(х) также делится на (х—а)2 и на (х—а)3, но не делится на (х—а)4. В этом случае число а называют корнем третьей кратности многочлена Р(х).

Аналогичным образом можно дать определение корня k-n крат­ ности.

Число а называется корнем k-й кратности уравнения Р(х)= 0 или многочлена Р(х\, если многочислен Р(х) делится на (х—а)к, но не делится на (х—а)'г+1.

Однократный корень называется простым.

П р и м е р ы . 1) Число а = 3 является корнем второй кратности многочлена Р(х) =х3 —7л:2+ 15л:—9, так как Р(х) = (х—3)2(х—1) де­

ности п действительных или комплексных корней, если каждый k-

кратный корень считать k раз.

Например, уравнение х5+7л:4+ Юл:3—18л'2—27x+27=0 имеет только два различных корня: 1 и —3, но так как левая часть этого уравнения равна произведению (х—1)2-(л + 3 )3, то первый корень является двукратным, а второй — трехкратным. Поэтому мы считаем, что это уравнение имеет пять действительных корней, из которых два равны 1 и три равны —3.

105

§2. Графический метод решения алгебраических

итрансцендентных уравнений

Приступим к изучению методов решения уравнения с одним не­ известным

Один из таких методов связан с построением графика функции y=f(x). Абсциссы точек пересечения этого графика с осью Ох яв­ ляются корнями уравнения (2). Так как трудно определить на гра­ фике эти абсциссы с большой точностью, то графический метод ча­ ще всего используют для отделения корней. Отделить действительные

корни (2) значит для каждого корня Хг найти такие два числа а{

Ох в двух точках: первая из них имеет абсциссу, равную 4; абсцисса же второй точки за­

равен четырем, а другой нахо­

только один корень уравнения. Убедимся в этом. Из курса дифференциального исчисления известно, что если первая про­ изводная любой функции внут­ ри данного интервала положи тельна, то сама функция внут­

ри этого интервала возрастает. Вели же первая производная

отрицательна, то функция в этом интервале убывает:

Г (х) = 2х \п2 — 4,

106

При 0,3<х<0,4 f'(x) меньше пуля, поэтому в рассматриваемом ин­ тервале функция убывает и только в одной точке пересекает ось Ох. Таким образом, мы отделили корень уравнения (3). Если найден ин­ тервал (а; Ь), в котором находится корень, то за приближенное

а + Ь

значение этого корня можно принять число — -— ■.

Можно поступить и по-другому. Заменим уравнение f (x)= О равносильным уравнением ср(х) =ф(х). Если на одном чертеже по­ строить графики у=(р(х) и y=ty(x), то абсциссы точек пересечения составленных графиков определяют приближенные значения корней исходного уравнения. Запишем уравнение (3) в следующем виде: 2х =4х. Теперь построим графики у = 2 х и у=4х. Для каждого урав­ нения составим таблицу значений.

Строим по точкам графики этих двух функций. Эти графики пе­ ресекаются в точках А и В. (рис. 17). Получаем для корней при­ ближенные значения *1 = 0,35 и х2 =4.

§ 3. Метод хорд

После того как найден интервал (а; Ь) (рис. 18), в котором на­ ходится один корень уравнения f(x)= 0, приступаем к вычислению значения этого корня. Для этого соединим точки Л, и Bt. Отрезок A\Bi пересекает ось Ох в точке а^. Координату этой точки по оси Ох можно взять за приближенное значение корня. Чтобы получить бо­ лее точное значение, опустим из точки at перпендикуляр до пересе­ чения с графиком y —f ( x ) — получим точку А2. Соединив точки Л2 и В и находим точку а2— точку пересечения отрезка А2 В , с осью Ох. Координата точки а2 является более точным значением корня урав-

107

Рис. 17

нения. Продолжая этот процесс, получаем последовательность то­ чек Яь а2 ....... неограниченно приближающихся к точке х0. Коорди­ наты этих точек позволяют получить значение искомого корня с лю­ бой точностью. Рассмотренный метод определения корня называется

методом хорд, или методом линейной интерполяции.

108

при a<x<b f"(x) больше нуля, го при этих значениях х график функции y--f(x) обращен своей вогнутостью вверх (рис. 19 и 22), если же меньше нуля, то — вниз (рис. 20 и 21).

Так как корень уравнения (2) находится в интервале (а, Ь) и других корней в нем нет, то значения f(a) и f(b) имеют разные знаки. Одно из них положительное, другое — отрицательное.

109