книги из ГПНТБ / Михельсон В.С. Элементы вычислительной математики учебное пособие для электроприборостроительных техникумов

89

ментов. В строках III зоны записываются элементы следующего промежуточного определителя и т. д. Заполнение таблицы происхо­ дит в три этапа. Количество этапов равно порядку вычисляемого

определителя.

Первый этап является подготовительным. Он состоит в сле­ дующем:

1.Заполняется весь первый столбец таблицы, т. е. проставляются номера зон.

2.Заполняется весь второй столбец таблицы, т. е. строки каждой

зоны нумеруются от, 1 до п.

3. Заполняются строки основных столбцов I зоны:

а) в основных столбцах записываются элементы исходного оп­ ределителя в том же порядке, как они записаны в заданном опре­

делителе; б) в последнем основном столбце (предпоследнем столбце табли­

цы) записываются контрольные числа, равные сумме элементов Dlt расположенных в соответствующих строках.

4. Элемент ац = 2 из первой строки и первого основного столбца переписывается в первую строку столбца «Выносимый множитель».

В табл. 1 показан результат первого этапа заполнения таблицы для заданного определителя. После первого этапа остаются незапол­ ненными все вспомогательные столбцы, четвертый дополнительный столбец, две строки в третьем столбце и все строки в основных столбцах, относящихся ко II и III зонам.

При проведении очередного 6-го ( 6=1, . . . , и) этапа для соот­ ветствующей зоны:

1) заполняются все основные столбцы (элементы определителя); проставление в них обозначается через aW , а контрольные числа-

через а}' п’ +х\

2) определяются строка и столбец, на пересечении которых на­ ходится элемент d ff, выносимый за знак определителя, — так назы­

ваемый «выносимый множитель». Он переписывается в соответст­ вующей строке в столбце «выносимый множитель». Строка и столбец,

на пересечении которых находится элемент называются отме­ ченными.

(6—1)-м этапе.

90

Каждый основной этап, например k-и, проводится по следую­ щим правилам.

1.Рассматривается в таблице (к—1)-я зона.

2.Пусть /о-я строка и /о-й столбец в этой зоне являются отме­ ченными.

Эти числа записываются в этой же строке во вспомогательных столбцах, расположенных справа от соответствующих основных.

Находится /о-й основной столбец. Все элементы в этом столбце, кроме выносимого множителя, расположенные в рассматриваемой

(к—1)-й зоне,

являются «дополнительными множителями» и переписываются с про­ тивоположными знаками в соответствующих строках столбца «До­ полнительный множитель».

4. Заполняется каждый вспомогательный столбец. Отмеченна строка в каждом вспомогательном столбце заполнена числом с/*--1 *.

меченной /0-й строке, на дополнительный множитель соответствую­ щей строки, т. е.

5. Проверяем правильность заполнения вспомогательных столб цов: число в последнем вспомогательном столбце должно быть рав­ но сумме чисел всех вспомогательных столбцов соответствующих строк, т. е.

6. Рассматриваем k-ю зону.

—91

7. Заполняем основные столбцы этой зоны. Для этого находим в этой зоне строку, номер которой совпадает с номером отмеченной строки предыдущей (k—1)-й зоны. В каждом основном столбце в этой строке переписываем число, записанное в отмеченной строке предыдущей зоны в аналогичном вспомогательном столбце, т. е. берем

В остальных строках каждого основного столбца записывается сумма чисел, находящихся в аналогичной строке предыдущей зоны в аналогичных основных и вспомогательных столбцах, т. е. берем

отмеченными. Находим выносимый множитель, стоящий на пересе­ чении отмеченного столбца и строки. Этот элемент записываем в стол­ бец «Выносимый множитель» в соответствующей строке.

Если этот множитель равен нулю, то предварительно прибавля­ ем к элементам этой строки элементы какой-либо строки этой зоны, расположенной ниже, чтобы выносимый множитель стал не равным нулю.

9. Проверяем правильность заполнения основных столбцов в

В табл. 2 приведены результаты решения приведенного выше оп­ ределителя.

Так как контрольные числа в III зоне равны суммам элементов в соответствующих строках, то вычисления в пределах взятой точно­ сти приведены правильно.

Значение определителя определяем, перемножив выносимые мно­ жители: 2, 6, 5 и 7,92. Получаем

D = 102,96.

Если вычислять определитель D, не вынося множителя за знак определителя, т. е. не производя деления, то получаем Z3 = 103. Таким

92

Т а б л и ц а 2

93

образом, из-за округления промежуточных результатов мы получили значение определителя с некоторой погрешностью. Чтобы повысить точность вычислений, целесообразно сначала найти в первой строке наибольший по абсолютной величине элемент и начать «делать нули» в том столбце, в котором он находится. После получения нулей в этом столбце находим, что во второй строке полученного опреде­ лителя наибольший по абсолютной величине элемент находится и во всех строках, расположенных ниже второй строки. Повторяем то же самое для остальных строк. Все остальные вычисления произво­ дятся, как в предыдущем методе. Таким образом, выбор очередного столбца зависит от того, где находится наибольший по абсолютной величине элемент в соответствующей строке. Это видоизменение ме­ тода исключения называется методом главных элементов.

§ 8. Решение систем линейных уравнений методом исключения

Так же как и при вычислении определителя, для нахождения корней системы линейных уравнений можно пользоваться методом главных элементов. Рассмотрим этот метод на примере решения сле­ дующей системы:

—х2 — 7Х3 -f- 2X4 — — 15.

1.Выберем среди коэффициентов а1з- в первом уравнении наи­ больший и обе части уравнения делим на этот коэффициент.

Наибольший коэффициент в этом уравнении является а,3= 8, поэтому получаем следующее уравнение:

0,375xi — 0, 125х2 + х3 — 0,5x4 = 1,125.

2. Чтобы исключить х3 из остальных уравнений данной системы, умножим обе части этого уравнения

а) на 1 и прибавим полученное уравнение ко второму; б) на —3 и прибавим его к третьему уравнению; в) на 7 и прибавим его к четвертому;

94

После исключения *3 из последних трех уравнений находим во втором уравнении наибольший по абсолютной величине коэффициент.

определителя методом исключения. Отличие заключается в том, что для вычисления определителя мы «делали нули» ниже диагонали. При решении системы линейных уравнений нужно «делать нули» в каждом столбце во всех п—1 строках.

Для записи промежуточных результатов вычислений можно пользоваться таблицей и вышеописанным способом заполнять ее клетки.

Различие в таблицах заключается в следующем: для нахожде­ ния решения системы с п неизвестными таблица состоит из и+1 зон,

ане из п зон, как при вычислении определителя.

Втаблице добавляются два столбца (основной и вспомогатель­ ный) для свободных членов, так как над ними производятся те же вычисления, что и над коэффициентами неизвестных.

при вынесении множителя за знак определителя, его значение из­ меняется, поэтому необходимо записывать соответствующий множи­ тель в таблицу. Уравнение не изменяется, если все его коэффициен­ ты и свободный член разделить на одно и то же число, поэтому «Выносимый множитель» можно не записывать в таблицу.

Таким образом, таблица состоит из 2п + 7 столбцов и /г(п-И) строк.

Первые три столбца являются дополнительными.

Четыре столбца, начиная с четвертого, являются основными, ос­ тальные — вспомогательными.

Приведем теперь таблицу, в которую включены все промежу­ точные и окончательные результаты для рассматриваемой системы

(табл. 3).

—9 5 —

Четыре последние строки таблицы показывают, что система

ходную систему решить, не переходя к десятичным дробям, то по­ лучим

Xi = 1, х2 = 2, *з = 3 и jc4 = 4.

Л§ 9. Решение систем линейных уравнений методом итераций

Рассмотрим еще один метод решения системы линейных уравне­ ний — метод итераций. Он заключается в следующем.

Преобразуем заданную систему уравнений

О-XI Х 1 + • • • "Ь а 1 п х п — b i

(17)

Подставляем эти значения в правую часть каждого уравнения системы (18), получаем более точное решение системы: (х{4,..., х ^), где

М) = «П * Г +• • • + «;, „(0) + р ,~2 ai i xl( 0 ) + Рр

1 = 1

98

Полученное решение еще раз подставляем в правую часть урав­ нений системы, получим следующее приближенное решение: (л42), —•

хп2)У

Таким образом, пользуясь формулой

можно получить новое приближенное решение системы.

Метод итераций состоит в получении последовательности реше­ ний системы

(*<0> ,...,4 < ,)) ,( * < 1)........4 1Г>.........( 4 к)...........(20)

Из системы (17) можно составить несколько преобразованных си­

стем (18).

Если коэффициенты матрицы (18) обладают некоторыми ниже­ описанными свойствами, то последовательность решений (20) схо­ дится к точному решению системы (17). Поэтому по формуле (19) можно получить решение системы (17) с любой степенью точности.

Может оказаться, что составленная система (18), т. е. коэффи­ циенты a ij и р,-, не позволяет при помощи формулы (19) находить приближенные решения системы (17)— последовательность (19) может не сходиться'. В этом случае приходится составить другую

п

2.S |«у| < 1 . ( = I.

М

ПП

к решению системы (17).