книги из ГПНТБ / Нестеров К.П. Системы автосопровождения [учебное пособие]

По графику рис. 1 33 определим показатели качества переход­ ного процесса:

, = 1q<j/

-> и (о-

/j—0,07 сек,

tx=Q,7 сек,

Динамические ошибки

Одним из основных вопросов анализа систем является опреде­ ление точности их работы, то есть ошибок систем управления. Все ошибки систем можно разделить на три группы: динамические, случайные и инструментальные. Так как рассматриваемую систе­ му считаем линейной, то при определении каждой из данной груп­ пы ошибок будем считать, что на систему воздействуют только возмущения, определяющие данные ошибки.

Под динамической ошибкой будем понимать ошибку систе­ мы в установившемся режиме от воздействия регулярной состав­ ляющей входного сигнала. Динамические ошибки зависят как от параметров системы, так и от вида управляющего воздействия.

Основным методом определения динамической ошибки им­ пульсной, так же как и непрерывной системы, является метод, ис­ пользующий коэффициенты ошибок. Этот метод особенно эффек­ тивен при воздействии на систему медленно изменяющегося управ­ ляющего воздействия. Обычно для импульсных систем вводят два различных понятия коэффициентов ошибок и динамическую ошиб­ ку рассчитывают двумя методами.

При первом методе ошибка как функция времени разлагается в ряд по производным входного сигнала, взятым в дискретные моменты времени t = nT. При втором методе производится разло­ жение входного сигнала в ряд по соответствующим разностям,

30

Динамическая ошибка при определении первым методом записы­ вается в виде ряда

°-Л"Т)=СоХ(пТ) + С}Х'(пТ)+ % Х " (пТ) + ...+

входного сигнала, взятые в дискретные моменты времени. Коэффициенты ошибок можно получить с помощью рекурентпоп формулы [8]:

Определим коэффициенты ошибок для системы рассматривае­ мой структуры, если Z-передаточная характеристика ошибки выра­

31

Произведя подстановку значений параметров системы в выра­ жения для коэффициентов ошибок С2 и С3, определим их числен­ ные значения:

Для определения закона изменения входной величины зада­ димся законом движения цели. Пусть цель движется прямолиней­ но и горизонтально с постоянной скоростью v, тогда азимут цели

изменяется по закону

f3(£)=arctg Q t ,

Q = ------- отношение скорости цели v к курсовому парамет­

Р\

t — время, отсчитываемое от момента прохождения целью па­ раметра.

Производные закона' изменения азимута соответственно равны

т>=600 м/сек,

/7=8000 м,

рс е к

Характер изменения производных приведен на рис. 1.34. Используя приведенные выражения для $(t), р'(7),

и значения коэффициентов ошибок С0, Си С2, С3 по формуле (1.20), подсчитаем динамическую ошибку системы для дискрет­ ных значений времени:

или

гд(пТ)=А(пТ)+В(пТ),

32

Значения динамической ошибки, рассчитанные по приведенным формулам, справедливы для дискретных моментов времени. Для нахождения величины динамической ошибки между моментами пульсаций необходимо использовать формулы для коэффициентов ошибок с учетом смещения [81. В большинстве же практических случаев для определения динамической ошибки достаточно под­ считать ее значения для моментов времени пТ, которые при по­ строении графика соединить плавной кривой. Результат расчета приведен в таблице 1.

По результатам расчета на рис- 1.35 построены графики дина­ мической ошибки и ее составляющих.

Из анализа приведенных графиков можно сделать вывод о том, что максимальная ошибка системы не превышает 0,63 угловых минуты, причем основной составляющей ошибки является ошибка за счет второй производной входного сигнала.

*мин

34

Случайные ошибки

Обычно сигналы, поступающие на вход временного дискрими­ натора, искажены помехами, что приводит к возникновению слу­ чайных ошибок и, следовательно, к снижению точности измерения координат следящей системой. К помехам, искажающим сигнал, можно отнести флюктуации сигналов, отраженных от цели, шумы приемного устройства, флюктуации отражений от фона и т. д.

В § 1.2 было показано, что напряжение на выходе временного дискриминатора, пропорциональное сигналу ошибки, формируется в результате сравнения площадей под огибающей «пачки», пере­ крываемых измерительными импульсами (рис. 1.12). Положение измерительных импульсов, при котором площади и, следовательно, соответствующие интегральные напряжения равны, определяет сиг­ нал ошибки, равный пулю. Причину возникновения ошибок при воздействии помех поясним с помощью рис. 1.36.

\>

щ

На рис. 1.36,а изображена «пачка» видеосигналов и ее огибаю­ щая, не искаженные помехамиВертикальная линия, разделяющая

35

эту пачку на две половины с одинаковыми площадями, пересекает ось времени в точке, соответствующей моменту прохождения оси диаграммы направленности через цель, то есть точно характери­ зует угловую координату цели без учета ошибки метода изме­ рения.

На рис. 1.36,6 изображена пачка видеосигналов, амплитуды которых искажены помехами. В этом случае вертикальная линия, которая делит искаженную пачку па две части с равными площа­ дями, не соответствует точному направлению на цель на величину Дт. Величина А-, умноженная на угловую скорость развертывания луча антенны, эквивалентна наличию мешающего возмущения во входной величине, и ее обычно называют ошибкой единичного из­ мерения. С другой стороны, в выходном напряжении временного дискриминатора появится составляющая, определяемая величиной Дт, то есть появится флюктуациопная составляющая, обусловлен­ ная наличием помех во входном сигнале.

К возникновению случайных ошибок измерения угловых коор­ динат может привести не только случайная асимметрия огибающей пачки, но и флюктуация самой огибающей без нарушения ее сим­ метрии. Как было показано в § 1.3, коэффициент преобразования временного дискриминатора Keg пропорционален амплитуде пач­ ки. Следовательно, даже если сама пачка симметрична, а вследствии фединга изменяется амплитуда Огибающей пачки Um, то Ued будет также изменяться по случайному закону за счет слу­ чайного изменения коэффициента, преобразования. Если процесс автоматического сопровождения происходит идеально точно (сиг­ нал ошибки равен нулю), то флюктуации коэффициента преобра­ зования не скажутся на работе системы. Если же в системе имеет место сигнал ошибки, то за счет флюктуаций коэффициента пре­ образования общая ошибка системы может значительно возрасти. Точный расчет системы со случайным коэффициентом преобразова­ ния представляет очень сложную задачу, так как связан с необ­ ходимостью решения дифференциальных уравнений со случайны­

зультат прохождения помех через дискриминатор. Но если найде­ ны статистические характеристики сигнала на выходе дискримина­ тора, то дальнейший анализ действия помех на линейную систему не вызывает трудностей.

Таким образом, выходное напряжение Uвд при действии помех является случайной функцией времени:

и адЫ ) = . и вд{ ^ ) + и флЦ),

где

—значение выходного напряжения;

Уфм(1)—флюктуационная компанента с нулевым средним зна­ чением.

т—измеряемый параметр.

36

Зависимость Ued(z,t) = ср(т,^) называют характеристикой дис­ криминатора при учете помех. Если выходное напряжение дискри­ минатора является стационарной случайной функцией, обладаю­ щей эргодическим свойством, то характеристика дискриминатора

стационарна {Ued(т) = ®(т) и не будет зависеть от времени

(рис. 1.37).

В этом случае статистические характеристики выходного сиг­ нала можно определить по одной реализации путем усреднения во времени. Тогда коэффициент преобразования дискриминатора при наличии помех определится как

Если считать, что помеха линейно складывается с регулируе­ мой величиной, то для линейного участка характеристики, дискри­ минатора при малом уровне помех

^ в д ~~ ^ в д Ср .

Тогда воздействие помехи на дискриминатор (рис. 1.38,а) можно

а)

Рис. 1.38

37

свести к появлению мешающего воздействия на выходе дискрими­

Таким образом, воздействие помехи вместе с полезным сигна­ лом на временной дискриминатор при сделанных предположениях можно свести к воздействию мешающего сигнала f(t), приложен­ ного к входу системы (рис. 1.39), а последнюю представить в ви­

де последовательного соединения преобразователя 1 входного сиг­ нала в функцию Xj(пТ) и эквивалентного дискретного фильтра 2, на вход которого поступают значения входной величины ^ (пТ) не абсолютно точные, а с ошибками f(t) (рис- 1.40).

T,W)tt%7) J2fmrj Гг {ит)

Рис. 1.40

Будем считать, что мешающее воздействие представляет собой белый шум с корреляционной функцией

Rf(nT)—Sfao(nT),

где S/„ — спектральная плотность белого шума.

'Случайная ошибка следящих систем по мешающему воздей­ ствию характеризуется величиной среднего квадрата случайной

38

или в частотной области

г.:

»t=4 -J

где v=<dТ;

К*о{р) —частотная характеристика замкнутой системы; S^v)—спектральная плотность мешающего воздействия.

При условии, что мешающее воздействие является белым шумом, приведенные формулы упрощаются:

00

( 1 . 2 5 )

л - 0

обратным степеням Ko(z) с последующим суммированием квадра­ тов ординат функции веса. В более общем виде задача вычисле­ ния /может быть решена путем использования теоремы Парсеваля применительно к импульсным системам, аналогично тому, как это делается для непрерывных систем [141.

Применяя формулу обращения и теорему Парсеваля для дис­ кретных функций, можно получить

СО

/ = У К*{пТ) = ± , § К ( г ) К ( г - ' ) ^ -

—Joo

39