Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Засядкин Б.К. Оптимальное обнаружение и измерение параметров радиолокационных сигналов. Диаграммы неопределенности (конспект лекций)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.10.2023

Размер:

2.37 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Наконец, следует оценить качественные показатели опти мальной математической обработки при обнаружении и рас смотреть пути ее технической реализации.

§ 4. Пример одномерного оптимального обнаружения

Рассмотрим простейший пример статистического подхода к задаче обнаружения. Пусть на стрелочный измеритель, показа ния которого характеризуются числом х (рис. 1), поступает либо сумма напряжений сигнала s и помехи п, так что показание при

бора

			x —s+n,		(1.15)
		либо одно напряжение помехи			(1.16)
			х ^ п .
3	3	Считаем, что за время наблюдения величи
		ны х,	s и п не меняются, а ожидаемое значе- -
Рис.	1	нпе	сигнала s точно	известно.	Считается
		известным также закон распределения слу
		чайной величины п.
Будем считать этот закон в дальнейшем нормальным.
Требуется		по измеренной величине х		принять	оптимальное

решение о наличии или отсутствии цели. Это простейший вариант более общей задачи обнаружения, где вместо функций време

ни x(t), n(t)	и s(i, а,, а2,	р,, рз, ...) рассматриваются соот
ветствующие	одномерные	величины: случайные х и п и неслу
чайная s.	s в отличие от общего случая не зависит от пара
Величина	s в отличие от общего случая не зависит от пара

метров. Запишем рассмотренное выше условие одним выраже

нием:		(1.17)
x = ti + As,		(1.17)
в котором неизвестный дискретный	параметр А	равняется О
или !.	к тому, чтобы	по измерен
Таким образом, задача сводится	к тому, чтобы	по измерен

ному значению величины х дать оценку А *, оптимальную с точ ки зрения критерия минимума среднего риска или эквивалент ного ему весового критерия.

Плотности вероятности случайной величины х при условиях

отсутствия сигнала	.4=ЛП= 0 и его наличия Л=.4, = 1:		(1.18)
		f ( x A 0) f(x 10),	(1.18)
		fix'AJ-^fixfs)
приведены на рис.	2, а.	При этом кривая fixfs) сдвинута по отно
шению к кривой f(xj0)		на постоянную величину s, т. е.	можно
записать:
			(1.19)

		■*~Х
1		,А<*)
О	-*«	X
О	-*«
	Рис. 2

Любое закономерное решение задачи обнаружения может быть описано функцией решения А*(х), которая в зависимости от величины х принимает одно из двух значений: 0 или 1.

Одной из возможных функций решения будет функция, график которой приведен на рисунке 2,6. Если выбрать функ цию решения в таком виде, то решение о наличии сигнала при нимается в случае, если х0<х<х\. В этом случае условные вероятности D и F определяются как вероятности попадания случайной величины х в интервал Xo-fXi соответственно при условии «сигнал — помеха» или «помеха»:

D — \f(xjs)dx,

( 1. 20)

F = ^f(xj0)dx.

Эти вероятности соответствуют заштрихованным площадям под соответствующими кривыми.

Если ввести в общем случае произвольную функцию реше ния Л*(х), выражения для D и F можно записать в виде:

( 1. 21)

Эти соотношения справедливы для произвольной функции решения. Выражения (1.21) соответствуют рассмотренным выше выражениям (1.20). Действительно, участки оси х, для которых Л *(х )= 0, при интегрировании в бесконечных пределах все равно дадут нуль, а участки, для которых А*(х) = 1, соот ветствуют площадям под кривыми /(x/s) и /(х/0) подобно тому, как это показано на рис. 2,а.

Выражение	D — l0F,		соответствующее	весовому критерию,
может быть тогда представлено в виде:
		оо
D - l 0F -		J f (х/0) .4* (х)[А (дс)—/0] dx,				( 1. 22)
где А (х)= /(/)
1(х/0) ■
Оптимальной	система		обнаружения	будет	в	том случае,
если она обеспечивает максимум интеграла (1.22).						Чтобы	вы
полнить это условие,		достаточно для каждого х			добиться		наи

большего подынтегрального выражения за счет подбора функ ции решения А*(х). Так как эта функция имеет только два зна чения (0 или 1), то за счет ее выбора подынтегральное выра жение либо обращается в нуль, либо умножается на единицу.

Наибольшего значения подынтегрального выражения для каждого х, а значит и всего интеграла в целом, можно достичь,

пользуясь следующим правилом:		подынтегральное выражение
1) полагаем А*(х) = 1,	если
при этом положительно;	если	при Л*(х) = 1 подынтегральное
2) полагаем А* (х) =0,

выражение отрицательно.

Поскольку плотность вероятности f(xf0) не является отри цательным числом, то оптимальное правило решения задачи обнаружения может быть записано в виде:

1, если А (х )> /0,

(1.23)

О, если А(х)<70.

. . .	/ (jc/ s )	' называется отношением правдоподо-
Величина А (х) =		' называется отношением правдоподо-
	/ (х/0)

бия. Оно представляет собой отношение плотностей вероят ности одной и той же реализации х при двух условиях: когда действует сигнал и помеха и когда действует только помеха.

Так как обе плотности вероятностей не являются отрица тельными числами, то и отношение правдоподобия не может выражаться отрицательным числом.

Итак, критерием оптимального обнаружения может слу жить критерий отношения правдоподобия, являющийся след ствием общего критерия минимума среднего риска.

Согласно критерию отношения правдоподобия решение о наличии сигнала принимается, если отношение правдоподобия превышает некоторую пороговую величину /0.

Этот критерий наиболее удобен для практических расчетов. Все приведенные выше рассуждения не основывались на конкретном законе распределения помехи, поэтому они пригод

ны для произвольного закона распределения.

Рассмотрим теперь случай, когда помеха описывается цент ральным гауссовым распределением с дисперсией или

стандартным отклонением сгшЗная, что при отсутствии сигнала х=п, имеем:

		X
	1	2а*
/(*/0) ‘	1	(1.24)
	1/ 2- аИ1	(1.24)
	1/ 2- аИ1

В силу соотношения (1.19) можно записать: (Л-*)1

Г(Х;8) = ~ ± - е * ш .

(1.25)

У2таш

Вэтом случае отношение правдоподобия будет:

(Л-5)«

							2в„
				А (*)			■Г»		е	(1.26)
Зависимость Л(х)						для s> 0		имеет вид,		приведенный на ри
сунке 3, на котором указано								и пороговое		значение /0.
В	силу			монотонного			хода		кри
вой Л ‘(х)			условие			Л (х ) > /0		эквива
лентно		условию			х > х 0,		а	условие
Л (х) < / 0			эквивалентно условию х < х 0.
Тогда при s > 0 выражение для									опти
мальной функции решения примет вид:
		Л• . ( * ) - { ' '				если > „,			?)
		011Т		О,		если	х<х,о-

Выражение (1.27) показывает, что
первоначально принятая функция ре
шения		(рис.		2, 6)	была		неоптималь
ной.	Чертеж,			аналогичный				рис.	2, б,
но с оптимальной					функцией			решения,

показан на рис. 4. Из этого рисунка видно, что вероятность лож ной тревоги F при оптимальной функции решения соответствует площади под кривой f(xjO) правее абсциссы х0. Величину лг0 бу дем называть порогом.

При заданном уровне помех вероятность ложной тревоги зависит только от величины х0:

F = j* / (х'О) dx	1	!	е
	у 2^
J'o
	2	1-Ф			(1.28)
где Ф (и) — интеграл	вероятности.			выбирать	непосред
Это значит, что величину порога можно
ственно по заданному уровню вероятности ложной тревоги.
Подобный подход	наиболее удобен для			реального	проекти

рования аппаратуры, так как позволяет избежать необходи

мости учета	априорных (доопытных) данных			о наличии или
\| отсутствии сигнала. Вероятность		правильного		обнаружения D
соответствует	площади под кривой f(xjs)		правее абсциссы xq\
00		ZL	J e
		2
	о	d y -
	о		О
	1			(1.29)
	2			(1.29)
	2

При заданном уровне помех аш она зависит не только от порога Хо, но и от величины ожидаемого сигнала s. Зависи мость D(s) может быть построена качественно из анализа пло щади под кривой / (лг/s) и количественно в соответствии с соот ношением (1.29).

При s = 0 значение D = F, при s=Xo значение £> = 0,5, при s > Хо значение £)~1. Чем выше уровень порога х0, тем больше кривая D(s) сдвигается вправо. Это значит, что для обеспече ния той же вероятности D требуется больший уровень полез ного сигнала. Графическое изображение D(s) приведено на рис. 5. Эти кривые получили название кривых обнаружения.

Таким образом, на примере анализа одномерного опти мального обнаружение был установлен весьма важный критерий отношения правдо подобия. Из выражения для отношения правдоподобия бы ла найдена оптимальная функ ция решения Л*пт (х), соответ

ствующая в данном случае простому сравнению величи ны х с порогом Хо. Были по строены кривые обнаружения,

характеризующие качественные показатели! оптимального ружения при различных условиях работы обнаружителя.

[ л а в а 2

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ИЗМЕРЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ РАДИОЛОКАЦИОННЫХ СИГНАЛОВ

§ 1. Качественные показатели радиолокационных измерений

Критерием качества		проведенного измерения является
ошибка	в определении	измеряемой величины. Очевидно, чем
меньше	эта ошибка, тем выше качество измерений.

Ошибки измерений, как известно, делятся на грубые прома хи, систематические и случайные ошибки. Если исключить гру бые промахи и систематические ошибки, то ошибки измерений сводятся к случайным.

При измерении параметров радиолокационных сигналов случайные ошибки обусловлены действием помех на входе приемника, флуктуациями сигнала, а та'кже случайностями в поведении самой системы измерений.

Типичная кривая плотности вероятности /(г), характеризу ющая закон распределения случайных ошибок, приведена на рис. 6.

Вероятность ошибки, лежащей в интервале е + Де,	рав
на / (е) As. Вероятность того, что ошибка е по абсолютной	вели-

чине меньше е0, численно равна площади, заштрихованной на рисунке 7.

	^ (И < * o )= f/(•)* •				(2.1)
			—So
График зависимости		'f (ч )~ Р (\|е\|< го) показан на рис.			8. Из
этого	графика следует,	что	при достаточно	большом	значе
нии	е0 неравенство \|е\|<Сео		имеет вероятность,	близкую к еди
нице,	т. е. почти достоверно.

В качестве статистических параметров, характеризующих точность измерения, обычно рассматривают:

—среднюю квадратическую ошибку ескв;

—вероятную (срединную) ошибку sBep.

Для произвольного закона распределения случайных оши бок /( е) средняя квадратическая ошибка измерений опреде ляется из соотношения:

оо

в«в= J >аЖ * = в*-

(2.2)

Вероятная (срединная) ошибка евер находится из равенства:

р (Iе \| <	евер) = Р (\| ■в I >	е Вер )= 0,5,	(2. 3)
т. е. соответствует такому значению		е0, при котором заштрихо
ванная площадь на рис.	7 составляет половину всей		площади
под кривой /(е).

Наиболее распространенным законом распределения слу

чайных ошибок является нормальный закон, или закон			Гаусса:
Ж	1	е	(2.4)

2 Б. К. Засяякин	\| / ^ 2tte CKB
		Н	17
ГОС. ТАБЛИЧНАЯ	.
М Л учнО -ТЕХН И ЧЕС Н АИ	I *S \	v O

ЬиЁЛИО ТЕКА С С С Р ___

которому и соответствуют кривые, приведенные на рис. 6—8. При этом

					2в“
					ds
		Р(\г\<4)= I У-1ТЛ
			ео	Xй
		2	6	Xй
			СКВ	2
				2	dx= Ф		(2.5)
		уш			dx= Ф		(2.5)
		уш
где Ф (и) — интеграл вероятности;
и =	ео .
и =	е	’
	Сскв
^	в
	WCKB
Из сопоставления формул				(2.3) и (2.5) следует,			что
			Ф ( ~	Ь	° ’5-
Поскольку Ф(ы) = 0,5 при ы = 0,67 = 2/3, то для						нормального
закона			е вер ~ 2/3				(2.6)
			е вер ~ 2/3		SCKD,		(2.6)
так что.	зная среднюю квадратическую ошибку,					всегда можно
найти вероятную (срединную) ошибку.							о возмож
Таким		образом, наиболее		полное представление			о возмож

ных значениях случайной ошибки дает закон ее распределения. В качестве основного параметра, характеризующего точ ность измерений при нормальном законе, можно считать сред нюю квадратическую ошибку, связанную простым соотноше

нием с вероятной (срединной) ошибкой.

Исследовать условия оптимального измерения параметров радиолокационного сигнала с достаточно общих позиций позво ляет уже рассмотренное нами выше понятие среднего риска.

Любое	измерение обычно	связано с тем,	что	измеряемой
величине	я дается несколько	отличающаяся от нее оценка я*
(за счет чего и получается ошибка г= я*—я).
В случае измерения совокупность возможных ситуаций
соответствует совокупности различных значений			я	и я*. Каж

дая из возможных ситуаций характеризуется плотностью ве роятности ситуации /(я*, а) или дифференциалом

dP (а*, я) = /(я*, a) da* da,

причем

ПО

И в	атом случае, как и при					решении задачи обнаружения,
каждой	возможной			ситуации ставят			в соответствие некоторую
плату за		ошибку г (а*, а)			в зависимости от важности			или стои
мости этой ошибки.								выраже
Средний риск для случая измерения определяется
нием:
				: J г (а*,		а) dP (а*, а).		(2.8)
				(**. ’)
Стоимость ошибки в этом случае является функцией двух
переменных — г (а.*,				а).		измере
Если считать (например, при
нии дальности), что стоимость ошибки
измерения		зависит		только от		разности
измеряемой величины и ее оценки а*—а							г,
достаточно			задать	лишь	функцию		г (г)
одной переменной.
На рис. 9 показаны возможные графи
ки стоимости ошибки г(е) в функции вели
чины ошибки е.				приведена		кривая
На	рис.		9, а
г (г) — £2,		которая соответствует				случаю,
когда стоимость ошибки					равняется ква
драту-ошибки.
При этом, очевидно,

- 12 2 Г—£ —2СКВ,

т. е. средний риск равен квадрату сред ней квадратической ошибки, а минимум среднего риска соответствует минимуму 'средней квадратической ошибки.

О 6

Рчс. о

На рис. 9,6 приведена кривая r(e) - js|, соответствующая случаю, когда стоимость ошибки равна абсолютному значению (модулю) ошибки. В этом случае средний риск равен среднему

модулю ошибки г=|е|.

Минимум среднего риска в этом случае соответствует мини муму среднего модуля ошибки.

Кривая (рис. 9, в) соответствует случаю, когда

/ V (	0	при	1*1<	е0.
1	1	при	И >	е 0.

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ