книги из ГПНТБ / Засядкин Б.К. Оптимальное обнаружение и измерение параметров радиолокационных сигналов. Диаграммы неопределенности (конспект лекций)

В этом случае средний риск равен вероятности того, что мо­ дуль ошибки превысит е0:

Анализ процесса измерения подтверждает, что при соответ­ ствующем выборе функции стоимости ошибки критерий мини­ мума среднего риска может быть сведен к какому-либо друго­ му уже известному критерию, в частности, к критерию миниму­ ма средней квадратической ошибки.

Это еше раз показывает, что критерий .минимума среднего риска является достаточно общим н от него можно перейти к более простым частным критериям.

§2. Постановка задачи оптимального измерения.

>Пример одномерного оптимального измерения

Оптимальное решение статистической задачи обнаружения состоит в том, что для величины А в выражении (1.14) нужно подобрать такие оценки А* (0 или 1), которые обеспечили бы минимум среднего риска.

Решение статистической задачи измерения будет состоять в подборе оценок а*, а*,.,, для измеряемых параметров а,, а2,...,

в отношении которых известна лишь доопытная (априорная) плотность вероятности /(а,, а2,...). Эти оценки должны быть

оптимальны с точки зрения минимума среднего риска.

В дальнейшем мы будем задаваться квадратичной функцией стоимости. Для этого случая минимум среднего риска эквива­ лентен требованию минимума средней квадратической ошибки.

Как и в случае решения статистической задачи обнаруже­ ния, следует оценить качественные показатели оптимальной обработки при измерении и рассмотреть пути ее технической реализации.

Рассмотрим решение этой задачи на примере одномерного оптимального измерения. Обратимся вновь к стрелочному при­ бору (рис. 1), но несколько изменим постановку задачи.

Будем по-прежнему считать, что показание прибора х скла­

20

величины s дать ей оценку s*. При этом оценка s* должна удовлетворять критерию минимума среднего риска:

f(s*, s)ds*ds на f(s, x)dsdx,

где f(s, х) — совместная плотность вероятности величин s и х , получаем:

Полагая в силу теоремы умножения

f(s, x) = f(x)f(sjx),

выражение (2.11) можно привести к виду:

Э^о выражение можно записать иначе:

Соотношение (2.14) характеризует средний риск, рассчитайный для фиксированного значения измеренной величины х (усреднение при этом ведется по s). Говорят, что в результате такого усреднения получается условный средний риск. Матема­ тическое ожидание условного среднего риска (2.13), рассчитан­ ное с учетом плотности вероятности измеренных значений х, дает безусловный средний риск.

Чтобы обеспечить минимум безусловного среднего риска (2.13), достаточно для каждого х добиться наименьшего подынтегрального выражения (2.13) за счет выбора функции оценки s*= s*(x). Последнее аналогично подбору функции ре­ шения А*(х) в задаче обнаружения.

21

В выражении (2.13) величина f (х) является заданной функ­

f(s:x) = - ~ f { s ) f ( x ! s).

Чтобы обеспечить минимум условного среднего риска (2.14), нужно знать ход соответствующей кривой послеопытной плот­ ности вероятности f(s х) в функции s.

Интегрируя соотношение (2.15) по переменной s и учиты­ вая, что при любом х

§ f (six) ds= 1,

как интеграл в бесконечных пределах от плотности вероят­ ности, получаем:

Из найденных выражений следует, что

Соотношения (2.16) и (2.17) являются соответственно ана­ логами формулы полной вероятности и формулы Бейеса для плотностей 'вероятностей.

Поскольку знаменатель соотношения (2.17) не зависит от s, последнее можно для каждого измеренного значения х пред­ ставить в виде:

22

определяет масштаб кривой f(s.x) на оси s таким образом, что площадь под этой кривой равна единице.

Всилу соотношения (1.19) можно записать:

Сучетом этого соотношение (2.18) приводится к виду:

— распределение помехи подчиняется нормальному закону:

в) да

Уаш

—помеха слабая.

Кривая доопытной плот­ ности вероятности f (s) пред­ ставлена на рисунке 10, а. На рис. 10,6 представлена кривая

к*/»)-/ V H

(X-s)>

•>

2эм,

(2. 22)

У'2к оt

«в функции неизвестного значения s.

ной величине х.

23

как результат измерения х, так и доопытные данные о возмож­ ных значениях измеряемой величины s и помехи п.

Существенное влияние на послеопытное распределение ока­

пример кривой послеопытной плотности вероятности f(s/x)

Это-значит, что средний риск и условный средний риск сво­ дятся к средним квадратическим ошибкам.

Чтобы найти оптимальную оценку, приравняем нулю произ­ водную условного среднего риска по оценке s*, т. е. положим:

* § ( s - s y f ( s / x ) d s = 0 при s* = s*nT.

Отсюда получим, что

т. e. оптимальная оценка находится как центр тяжести (первый» момент) кривой послеопытного распределения. Иначе говоря, она равна послеопытному математическому ожиданию вели­ чины s.

24

Поэтому можно принять:

В силу малой длительности облучения можно пренебречь влиянием ускорения на фазу высокочастотных колебаний. Тог­ да можно выражение (3.1) записать в виде:

Полученное. выражение описывает сигнал со случайной на­ чальной фазой и двумя неизвестными измеряемыми параметра­ ми t3 и £2Д.

Известно, что для оптимального обнаружения и измерения следует вычислить величину

Подставляя это выражение в формулу (3.4), получим закон оптимальной обработки сигнала с учетом движения цели:

27

Следует подчеркнуть, что величина X(t) представляет собой сумму комплексных амплитуд сигнала и помехи:

Практически в результате измерения из-за различного рода ошибок получим не эти истинные значения /,0 и йд0, а их оценки.

истинных значений измеряемых параметров принимаются те

рактеризует не только точность измерения, rto и разрешающую способность по дальности и скорости. Эту функцию принято называть функцией неопределенности.

Наша задача — выяснить свойства этой функции.

§ 2. Функция неопределенности и нормированная функция неопределенности

Преобразуем выражение, описывающее закон оптимальной обработки сигнала с учетом движения цели (3.6), подставляя в него значение сигнала (3.7):

28

формы, будем называть функцией неопределенности.

Функция неопределенности является очень важной харак­ теристикой радиолокационного сигнала. Она позволяет произ­ вести оценку эффективности радиолокационного сигнала с точ­ ки зрения точности определения координат цели, однозначности их определения и разрешающей способности.

Всякие изменения функции неопределенности, связанные с изменением сигнала, приводят к ухудшению указанных выше характеристик радиолокационной станции.

Из свойств функции неопределенности ф (х, F) следует вы­ делить ее важное свойство центральной симметрии, т. е. то, что она является четной функцией:

на -х, F на —F.

Кроме функции неопределенности радиолокационных сигна­ лов, часто применяют нормированную функцию неопределен­ ности:

dz

(3-14)

j P i z f d z

29