книги из ГПНТБ / Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами

не зависящих от х. Следовательно, он не является вполне строгим, если, как это имеет место для временного ряда, некоторые из величин x измеряются с запаздыванием. Этот критерий весьма

На фиг. 4.6.2 представлены распределение D и области, в кото­ рых гипотеза о сериальной корреляции принимается или отвер­ гается. В табл. В. 10 приведены значения верхних Du и нижних Di

р(Л)

стях, помеченных знаком вопроса, этот критерий не позволяет принять определенное решение.

и тем самым получить оценку дисперсии Ъ. Кроме того, поскольку корреляция ztxt+kEtEt+k уменьшается по мере роста временного разрыва между двумя членами, при аппроксимации дисперсии Ъ можно вычеркнуть все члены после t + к как пренебрежимо малые. Следовательно,

Var {&} Ä;

în

У=42^,

Кроме уравнений (4.6.14) и (4.6.17), можно предложить много других моделей, в которых остатки не являются статистически независимыми, но описать их здесь не представляется возможным. В дополнительной литературе к этой главе можно найти обсужде­ ние методов обнаружения и рассмотрения различных других типов моделей с коррелированными остатками и способов оцени­ вания величины смещения, возникающего при игнорировании корреляции, когда она имеет место.

4.7. О Б Н А Р У Ж Е Н И Е И У С Т Р А Н Е Н И Е В Ы Б Р О С О В

В разд. 3.8 исследовалась проблема выбросов, или экстремаль­ ных точек, и описывались критерии обнаружения таких значений в некоторой выборке. Даже тщательно подготовленные экспери­ менты могут дать неоднородные данные в силу того, что могут измениться нерегулируемые экспериментальные условия, экспери-^ ментатор может совершить ошибку в процессе измерения или записи результатов и т. п. Если экспериментатор не обнаружит эти «ложные», «ошибочные», выбросы или аналогичные аномаль­ ные измерения, они будут учитываться наряду с правильными измерениями при построении линии регрессии; при этом они могут вызвать значительное смещение оценок параметров, осо­ бенно оценок их дисперсий, в которые экстремальные точки вносят

отклоняются от предполагаемого (здесь линейного) хода кривой,

в рамках линейного регрессионного анализа (в отличие от методов разд. 3.8) состоит в том, что экспериментальные данные пытаются уложить в некоторую схему; иначе говоря, между ними предпо­ лагается некоторая функциональная связь. Следовательно, снова

среди других, что можно было заметить хотя бы по его числовому значению. Однако в регрессионном анализе должны быть приняты

лось от кривой и смежные измерения проявляют ту же тенденцию, хотя, возможно, и в меньшей степени, не исключено, что более правдоподобно рассматривать это измерение не как ложный выброс, а как реальное отклонение от предполагаемой модели. С другой стороны, отдельное измерение, стоящее особняком от ближайших соседних измерений, вероятно, следует признать ложным. Чтобы измеренное значение можно было классифициро­ вать как «выскакивающее», оно должно существенно нарушать корректно принятый ход в (линейной) модели.

Хотя статистика,, по-видимому, и могла бы предложить объек­ тивные критерии для отбрасывания аномальных значений, при выборе методов анализа данных все же важную роль играют личное мнение и предубеждение. Вероятно, нет лучше критерия, чем суждение опытного экспериментатора, знакомого с применяемой им измерительной техникой.

Одним из способов решения этой задачи статистическими мето­ дами является исследование остатков. Если остатки Yt — Yt вычисляются с учетом выбросов, это влияет на каждый остаток. По этой причине использование остатков в качестве основы для распознавания выбросов не очень удобно. Тем не менее пусть требуется проверить, отклоняется ли некоторое отдельное изме­ рение достаточно сильно от значения, предсказываемого оценкой линии регрессии, чтобы его с уверенностью можно было отнести к выбросам. Предполагается, что остатки распределены по нор­ мальному закону с нулевым средним по ансамблю и дисперсией

ле (4.3.15) с отбрасыванием подозрительного измерения, то при­ веденные в табл. 4.7.1 значения распределения У можно использо­

К сожалению, если имеется не одно аномальное измерение, то критерий V, вообще говоря, не обнаруживает этих аномалий, особенно если анализируется менее 30 остатков. В случае несколь­ ких подозрительных значений можно применить один из крите­ риев Диксона [20]. Эти статистики характеризуют отклонение одного или нескольких элементов от соседних членов серии. Пред-

Таблица 4.7.1

Критические значения V, используемые при решении вопроса о том,

отбрасывать ли подозрительные значения [19] і )

Критерии Диксона являются оптимальными для малых смеще­ ний и не зависят от числа ошибок, тогда как критерий, основан­ ный на выражении (4.7.1), оптимален, когда имеется лишь одно аномальное значение, независимо от величины остатка. Работы, посвященные аналогичным критериям, можно найти в списке литературы в конце гл. 3.

Задачи

4.1. Установите для каждого из следующих выражений, линей­ ны или нелинейны они по параметрам (х — независимая пере­ менная) :

а) У = ßo + ßi^i + ßa^z-

в) у = e~ßo*+ßi.

г) In у = ß 0 + ßi*.

д) 7 = ß. + - ^ .

е) у = ß o 4 ' 4 2 -

4.2. Преобразуйте каждую нелинейную модель задачи 4.1

влинейную по параметрам.

4.3.В каких из следующих моделей параметры можно оценить

методами линейного оценивания?

4.4. В каких случаях уравнения, нелинейные по параметрам, можно описать с помощью линейной регрессии?

4.5. Найдите наилучшую функциональную связь для следую­ щих данных:

Поясните.

4.7. Считая, что значения ж и У заданы, найдите подходящий функциональный вид линейной связи между Y -ах. Коэффициенты оценивать не нужно, установите лишь вид функции Y = / (х).

4.8. Модель для скорости реакции в некотором реакторе перио­ дического действия имеет вид

и оценить параметр ß l 5 исходя из данных при х — 0, а оценку параметра ß 2 получить, используя данные при фиксированных значениях х, как функцию р. Прокомментируйте это предложение.

4.9. Предлагается модель

Линейные модели с одной переменной 299

Можно ли сделать ее линейной по параметрам с помощью следую­ щего преобразования

и получить линейные оценки параметров методом наименьших квадратов?

4.10. Ниже перечислены некоторые эксперименты. Для каж­ дого из них в одной-двух фразах скажите, применим ли метод наименьших квадратов для: 1) оценивания параметров в линейной эмпирической модели; 2) оценивания доверительного интервала

тельным содержанием бензина в растворе и показателем прелом­ ления.

б) Антрополог измеряет длину предплечья у сыновей и отцов,

д) Химик пытается отлить х граммов карбоната натрия по масштабной линейке (шкале). Карбонат натрия добавляется к точ­

ж) Техник измеряет твердость эпоксидного покрытия сталь­ ных листов в лаборатории на берегу моря. Затем он проделывает такие же измерения на других образцах в лаборатории, находя­ щейся в пустыне. Ему хотелось бы связать твердость с место­ положением.

4.11. Для следующих пород измерялись пороговое контактное давление и прочность на сдвиг.