6 |
рабоча |
VC* = 26 = 64. Из этих 64 вариантов только 38 являются |
г о |
станции |
ми, т. е. такими, в которых обеспечивается связь каждой |
с любой другой.
На рис. 8.9 приведены некоторые (наиболее характерные) струк туры возможных схем узлообразования, когда на сети имеется че тыре ■станціи,и. На рис. 8.9а показана единственно возможная схе ма «каждая с каждой», на рис. 8.96 и в — две из 6 возможных схем связи, когда отсутствует одно какое-либо направление связи, на рис. 8.9г, д, е, ж, — четыре из 15 возможных схем, когда отсутству ют два направления связи между станциями, на рис. 8.9з, а, к, — три из 20 возможных схем, когда отсутствуют три направления свя зи. Отметим, что минимально возможное количество связей в схе мах узлообразования равно п — 1, где п — число станций на сети.
Принимая по-прежнему, что входящее и исходящее сообщения
замыкаются по одному маршруту, при пяти ПАТС на-сети имеем іо
С*0= 2 10 = 1024, а при п станциях
£ |
Сп(«-о = 2 2 . |
. |
(8.54> |
/г=0 |
2 |
|
|
Из ф-лы (8.54) следует, что количество вариантов схем узлооб разования необычайно резко увеличивается с ростом числа станций на сети. Если же учесть, что входящее и исходящее сообщения мо гут не замыкаться по одному маршруту, то число этих вариантов достигнет величины 2п^п~1К Перебор всех вариантов становится практически невозможным «вручную» при п = 4, а с помощью серий но выпускаемых ЭВМ — при я = 6 — 8. Поэтому для решения задан узлообразования необходим иной метод, который не требовал бы перебора всех возможных вариантов. Например, если такой метод
потребует рассмотрения не 2 2 , а —- вариантов, то объем
вычислений уменьшается при и = 5 в 102 раза, при п = 7 в 100 000 раз, при п= 10 в ІО12 раз.
Нетрудно видеть, что вычислительные трудности являются основным тормозом на пути аналитического построения оптималь ных схем узлообразования. Не подлежит сомнению, что любые по пытки уменьшить количество рассматриваемых вариантов связаны с анализом функции затрат, связанных с этими вариантами. Отме тим, что схемы на рис. 8.9г, д, е и ж имеют одинаковое количество участков сети (по 4 в каждой схеме), но схемы на рис. 8.9г и ж лучше других, так как при их применении любая пара станций мо жет быть соединена друг с другом двумя непересекающимися мар шрутами, что увеличивает живучесть сети.
— 379 —
Исходные данные
Для решения задачи узлообразования необходимо знать распо ложение станций, задаваемое либо в координатах (х, у), либо в ви де таблицы, в которой на пересечении t-й строки с /-м столбцом проставляется расстояние Іц между станциями і и /. Таблица сим метрична, поскольку 1ц= 1}Ь большую ее диагональ занимают нули, так как /і; = 0. Перейти от координат станций к расстоянию между ними легко, использовав известное соотношение аналитической гео метрии.
hi = У(*£ — XjY + ІУі — у if. |
( 8 . 5 5 ) |
Однако использование координат предполагает измерение всех рас стояний по прямой, что не всегда может быть принято по услови ям задачи. В этом смысле задание местоположения станций в фор ме таблицы іпіредоставляет большой простор — расстояния могут быть измерены по конкретным трассам. Конечно, конкретные трас сы тоже могут быть закоординированы, но введение в задачу дос таточно сложным образом рассчитываемых данных, которые зара нее известны, вряд ли может быть признано целесообразным.
При определении расстояний между станциями следует учесть, что как бы сложны не были трассы прокладки межстанционных ка белей, всегда^имеет место аксиома треугольника: сумма двух сто рон треугольника всегда больше одной его стороны. Иными словами,
h k 4 ' h j > h i , |
( 8 . 5 6 ) |
где i, k, j — индексы станций.
Аксиома треугольника входит в состав наиболее общего опре деления понятия расстояния [179] и неравенство (8.56) в дальней шем предполагается всегда выполненным.
Кроме расстояний, для решения задачи узлообразования необ ходимо иметь данные о количестве линий (или каналов) между любыми станциями. Как известно, количество линий между двумя станциями определяется двумя параметрами — величиной пропус каемой нагрузки yij іи нормой потерь сообщения !) . При постоянной величине потерь сообщения зависимость между числом линий (ка
налов) между станциями |
и нагрузкой |
yij достаточно хорошо |
аппроксимируется прямой: |
|
|
Ѵц = = |
< * ! у и + О о , |
( 8 . 5 7 ) |
где at и ао — коэффициенты линии регрессии.
На сетях ПАТС, как правило, потери сообщения на участках межстанционной связи-принимаются равными 5 % о - Как было пока зано в гл. 2, в этом случае аі = 1 , 5 8 и а0 = 2,96, причем абсолютная ошибка между фактическим и корреляционным числом линий ниг де не превышает 0,6 линии. С возрастанием величины уг-;- эта ошибка постоянно уменьшается.
*) При постоянных величинах доступности и некоторых других характери стиках коммутационных устройств.
Предположим, что станция k является узловой и на нее посту пает входящий поток от г станций, который затем следует в одном направлении. Нагрузки ут, создаваемые каждой станцией, равны между собой. Тогда число входящих на узел k линий равно t,Bx=^(ai«/r+|ao)• Число исходящих из узла k линий ів указанном направлении можно определить как п исх = о ц п / ,.+ ао. Отсюда следу- €Т, ЧТО Оисх < ^ и Вх на величину ( г — 1)осо- Этим проиллюстрировано известное положение о том, что при объединении мелких пучков линий в более крупные число линий в общем пучке уменьшается и тем значительнее, чем больше пучков объединено. Поэтому при проведении узлообразования следует исходить не из числа линий между станциями, которое, как мы только что убедились, зависит от схемы узлообразования, а из величины нагрузки между стан циями. Нагрузка между станциями зависит от емкости всей сети, емкости станций и тяготения между ними. Эти .характеристики пред полагаются при решении задачи узлообразования известными.
Порядок расчета величины телефонной нагрузки и ее распреде ления между станциями определен техническими нормами проекти рования Министерства связи СССР. Кратко напомним основные по ложения этих расчетов [89, 155 и др.].
Допустим, на сети имеется п станций. Для каждой из них опре деляется величина телефонной нагрузки, поступающей в чнн:
Уі= cfaNt,
где Сі — среднее взвешенное число вызовов с одного телефонного аппарата в чип для -і-й ПАТС; С —средняя продолжительность од ного разговора для і-й ПАТС; Ni — емкость ПАТС.
При определении величины С учитывается структура состава абонентов, распределение вызовов по категориям (состоявшиеся разговоры, отказы из-за занятости, неответа абонента, неправиль ного набора номера и т. д.), характеристики процесса соединения
(время слушания сигнала ответа станции, время набора номера и
П
т. д.). Нагрузка всей сети определяется как у — '&уі. і=1
Для каждой станции рассматривается отношение у4у, по вели чине которого по таблицам, содержащимся в [89, 155 и др.], нахо дится процент исходящего сообщения рксхі- Иными словам«, для каждой станции определяется величина телефонной нагрузки, кото рая подлежит -распределению между п—1 станциями сети;
Уисх; = РисхіУі-
Величина //,■—рисхі Уі представляет собой внутристанционное сооб щение и нами не рассматривается. Телефонная нагрузка, поступаю щая от і-й станции к /-й, может быть определена по формуле
У цех . У и сх , |
(8.58) |
і ______ і___L |
y«CXjfil
І=1
где fa — коэффициент тяготения между станциями і и /. Произведя расчеты по ф-ле (8.58) для всех станций і и /, можно составить таб лицу, на пересечении і-й строки и /-го столбца которой проставля ются величины tjij. Эта таблица не является симметричной, так как УцФУн- По большой диагонали таблицы стоят нули, так как уц = О (внутристанционная нагрузка нас не интересует).
На основании изложенного можно сделать вывод, что необходидимые для решения задачи узлообразования исходные данные мо гут быть сведены в табл. 8.8
Т а б л и ц а 8.8-
ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ УЗЛООБРАЗОВАНИЯ |
|
Станции |
I |
2 |
|
І |
п |
|
1 |
0 |
^12> У і 2 |
hi't |
У іі |
hn't |
У т |
2 |
hit У 21 |
0 |
hit |
Чгі |
hn* |
У 211 |
і |
hu Уіі |
/12* Уі2 |
h i’, У і і |
tin* У in |
п У п і ^П2» Уп2 hi', У п і о
Представление функции стоимости участка межстанционной связи
Выше уже указывалось, что критерием при решении задачи узлообразования является минимум затрат. Уточним, о каких зат ратах идет речь.
Алгоритм Веллмана — Шимбела позволяет получить совокуп ность оптимальных маршрутов по одному критерию — минимуму расстояний между пунктами (станциями). На практике формирова ние схем узлообразования определяется не только фактором рас стояния, но и системой коммутации, количеством линий или кана лов, которое должно быть организовано между 'Станциями, а также способом осуществления межстанционной связи (низкочастотный кабель, высокочастотное уплотнение). Будем считать, что телефон ная канализация на участках прокладки межстанционных кабелей уже имеется. При изменении схем узлообразования несколько изме няется и объем станционного (коммутационного) оборудования.
— 382 —
Однако в первом приближении изменением стоимости иоммутаци онного оборудования можно пренебречь {134]. Также считаем, что выбор схемы узлообразования практически не влияет іна величину
экойлуатациоінпых р асходов.
Таким образом, ниже принято, что оптимальная схема узлооб разования определяется только затратами на создание сети линей
ных сооружений. Стоимость строительства любого участка |
меж |
станционной связи |
|
с „ = с ч( + с„,(, |
(8.59) |
где Cij — стоимость строительства участка межстанционпой связи между станциями ; и /, тыс. руб.; Сиц — стоимость прокладки кабе ля между станциями і и /, включая стоимость самого кабеля, тыс. руб; Сои — стоимость оборудования и его монтажа, тыс. руб.
Как было показано в разд. 8.1, С/г,-; и С0і■могут быть представлены в виде:
|
CKij = (а0 + а&ц + а2ѵ2и) 1ц\ |
(8.60) |
|
С0£/ = 2(Ь 0 + boon + |
hv l) + СцуПу-j |
(8.61) |
или в виде: |
|
|
|
|
Скг/ = (ао + |
а&ц) 1и\ |
(8.60') |
|
С0</ = 2 ф0 + |
Ьцоц) -f- спупу, |
(8.6 Г) |
где |
— число промежуточных |
усилителей (низкочастотных или |
высокочастотных) на участке межстанционной связи; |
спу — стой- |
мость промежуточных усилительных пунктов, определенная при
применении мостовых усилителей по ф-лам (8.11), (8.12) |
или |
(8.11') |
и |
(8Л2'), а при применении іаипаратуры |
КРР — по |
ф-ле |
(8.15); |
ао, |
ал, а->— коэффициенты линий регрессии, |
приведенные в |
табл. 8.6; b0, Ьи Ь2— коэффициенты линий регрессии, которые |
мо |
гут быть определены по ф-ле (8.14). При применении мостовых усилителей ba=ibi—b2—0.
Формулы (8.60), (8.61), (8.60') и (8.6К) учитывают все виды затрат, рассмотренных в табл. 8.1 •— 8.5 и поэтому имеют достаточ но широкую область применения.
Стоимость участка межістан-ціионіной связи (8.60') зависит ли нейно как от длины магистрали, так и от числа пар в кабеле. Та кая билинейная зависимость весьма удобна при решении задач узлообразования, требующих громоздких вычислений. Кроме того, она обладает весьма характерной особенностью, заключающейся в том, что с увеличением Оі,- ошибка аппроксимации уменьшается. Поэтому применение ф-лы (8.60') особенно эффективно при боль ших Vij. Зависимость стоимости прокладки кабеля на участке ij от его протяженности строго линейна до тех пор, пока используется один и тот же способ организации межстанционной связи. Иными словами, пока применяется кабель, например с диаметром жил 0,4 мм, зависимость вида (8.60') справедлива. Как только потребу
ется применение кабеля с диаметром жил 0,5 мм, эта формула должна использоваться с другими коэффициентами а0, ахіи а2. Учи тывая (8.57), рассматриваемую зависимость можно представить как
Скц — (йо + dl Cto + üi а* y(j) l{j.
Исходя из физического смысла ф-лы (8.60), коэффициенты aQи йі всегда положительны, поскольку они характеризуют постоянные и линейно возрастающие в зависимости от емкости пучка затраты, отнесенные на 1 км магистрали межстанционной связи. Наоборот, коэффициент а2 должен быть отрицательным, так как в противном случае стоимость прокладки двух кабелей была бы дешевле стои мости прокладки одного кабеля суммарной емкости (см. гл. 7). Следовательно, flo>0, щ Х ), а2<0 и функция (8.60) имеет макси
мум при Vij = . Так как изменение стоимости прокладки кабе-
аі
ля в зависимости от емкости участка межстанционной связи может быть только положительным, то производная функция (8.60) долж на быть больше нуля. Отсюда получаем очень важное соотношение, определяющее область применения ф-лы (8.60):
Эта область, как следует из табл. 8.6, достаточно широка (до 1500 пар), и ф-лу (8.60) можно использовать для решения прак тических задач. С учетом (8.57) ф-ла (8.60) примет вид
Скц = [а0 + аха„ + а2 а* + (щ ах + 2ctici0 а2) уц + а2 а* У2ц] Іч-
Итак, получены формулы, связывающие известные нам для каж дого участка межстанциоінной сівязи величины уц -и Іц со стои мостью прокладки кабеля на данном участке (при известном спо собе организации межстанционной связи). Выбор же способа орга низации межстанционной связи может быть осуществлен при тех же исходных данных по алгоритму, изложенному в разделе 8.1. Можно использовать программу выбора на ЭВМ способа организа ции межстанционной связи или данные рис. 8.2 и 8.3. Поэтому ни же мы будем предполагать, что каждый раз решению задачи узлообразования предшествовал выбор способа организации меж станционной связи для каждого участка.
Условие целесообразности узлообразования
Допустим, что на сети имеются всего три станции /, і, k, причем узел может быть размещен только на одной из станций. Станции і и j могут быть соединены между собой непосредственно или через узел — третью станцию k. Введение узла (станции k ) целесообраз но в том случае, если
где Ф/j — стоимость строительства сети при организации связи по принципу «каждая с каждой»; Фк — стоимость строительства сети при организации связи через узел k. Очевидно, что
Ф(7 = Cik + С(/ + Ckf, |
(8.64) |
фк = С\к + С;., |
(8.65) |
где Сік, Сф Cuj — стоимость соответствующих линейных участков сети в том случае, когда три рассматриваемых станции связаны по приініциіпу кскаждая с каждой»; С'іи, C \j —стоимость ісоответствующих линейных участков сети в том случае, когда станции связаны через узел, размещенный іна станции к.
Если стоимость прокладки кабелей на участках межстанцион ной связи определяется билинейной формулой зависимости (8.60), то
С,ik |
Co |
щ «о |
|
Щ<*1 |
Coik’ |
X |
|
|
У і к ) h k |
|
|
|
|
|
|
|
CU = |
(ao |
al «0 |
I |
al ai |
Уіі) hi -i- Coir |
C k j — |
i a 0 |
a1 a 0 |
|
ax a x |
Укі] Ikj ~h Cokj', |
X |
|
X |
c: |
Go |
ax a 0 |
. |
ax a x |
|
|
hk + Cr,.', |
ik |
|
|
|
( У і к + |
У н ) |
С’ = a » + |
1 ° + —— - ( У к і + У і і ) 1 I k j + C ' ., |
|
|
X |
|
X |
|
J |
Lkl |
где X в соответствии с ф-лой (7.65) — количество каналов, ко торое можно образовать по одной паре кабеля.
Преобразовав две последние формулы, получим:
c \k = c ik+ —— |
Уtilth + «1 (261 + ь\ пу ) уif, |
(8.66) |
Cki = С*/ + — |
Уцікі + ax (2bx + b\ Пу^ yih |
(8.67) |
где cix.k, Пущ число промежуточных усилителей соответственно на участках межстанционной связи ik и kj; b[ — коэффициент в
ф-лах (8.1 Н) и (8.12'), выражающих стоимость мостовых усилите
лей, а в ф-ле (8.15) — стоимость промежуточного усилительного пункта аппаратуры КРР.
На основе (8.65) имеем
Ф>{ ~ Cik + Cki -f- уц Г 1 (tik lkj) -р й! ( 4 + б' пу_к -f b'x |
. |
Схема связи с узлом будет целесообразна при выполнении усло вия (8.63). Отсюда
Cik “Ь |
|
+ |
Cfij > |
C ik -f- С hj + yLj |
öi ai ih n |
+ 4 / ) "f- |
|
|
|
|
|
at (4Ьі+Ь[пУік + Ь[пУкі) |
|
|
|
Сц > Уі |
a t a l |
|
h k + |
|
b x n y .k |
|
|
. ( 8.68) |
. |
~ |
( |
4/) + a i (4^1 -j- |
+ |
6, AZyfc.) |
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
Раскроем величину Cif
Сц — (flo + |
al «p I |
al«l |
„ Л |
|
|
X |
УHI hi + |
(2^i + 4 rty..) X |
X (da yij |
-j- a0) -j- 2i»o + |
6, tiy , |
где 6 ' — свободный член в выражении для стоимости промежу
точных усилителей. Подставим это выражение в (8.68) и после эле ментарных преобразований получим условие выгодности размеще ния узла k при связи станций і и }:
|
(ах + a j a 0) I ц f [ a 0 ( 2 bx Д- b[ n y |
|
+ - |
hk + 4 / ■ |
h i < |
Oj «1 УИ |
|
|
+ 2bg-p |
bQПуI1] X |
X [2 6 j — b x (ny |
Ci |
ny |
)] |
|
|
— n yi k — |
Обозначив Alh = lik + lhj—4j |
и Anft= n yrt-j~ n ykj — иУі.;. |
окончательно |
получим |
|
|
|
|
|
(a 0x -p |
a j a 0) l i j + |
a 0 x ( 2bx + bx я у _ ) |
p ( 2 4 -p 4) пУц^ x |
A4 |
|
ai <Х\УЦ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2bj -p b| A n k ) X |
|
|
(8.69) |
|
|
ai |
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, если разность маршрута через узел k и прямо го маршрута между станциями і и j меньше, чем выражение, стоя щее В правой части (8.69), то размещение узла на станции k целе
сообразно,1Значения коэффициентов bo, Ьъ Ь'0 |
и Ь[ , полученных по |
данным разд. 8.1, приведены в табл. 8.9. |
введения узла при |
Из (8,69) следует, что целесообразность |
связи станций і и / зависит от расстояния и нагрузки между эти ми станциями, способа организации межстанционной связи и по терь сообщения. Целесообразность организации узла возрастает с увеличением расстояния между станциями, уменьшением нагруз ки, увеличением потерь сообщения, удешевлением стоимости орга низации ліежстаадионіной шязи.
— 386 —
|
|
|
Т а б л и ц а 8.9 |
ВЕЛИЧИНЫ КОЭФФИЦИЕНТОВ b0, |
Ьі, b' И b'{ |
ПРИ РАЗЛИЧНЫХ |
СПОСОБАХ ОРГАНИЗАЦИИ МЕЖСТАНЦИОННОЙ СВЯЗИ |
|
|
|
Величины коэффициентов |
|
Способ организации |
Ь0, тыс. руб. |
Ьі, тыс. |
6Q, тыс. руб. |
éj, тыс. |
межстаиционной связи |
руб./канал |
руб./канал |
|
|
(пару) |
|
|
|
|
|
(пару) |
Высокочастотное уплотнение |
0,983 |
0,235 |
0,280 |
0,0285 |
Мостовые усилители с чис |
|
|
|
|
лом линий меньше 240 |
0 |
0 |
0,380 |
0,075 |
То же, с числом линий |
0 |
0 |
|
|
больше 270 |
0,338 |
0,076 |
В табл. 8.10 приведены выражения для правой части неравен ства (8.69), преобразованные для разных способов организации межстанционной связи по данным табл. 8.6 и 8.9 (при потерях 5°/оо) •
Т а б л и ц а 8.10
УСЛОВИЯ ЦЕЛЕСООБРАЗНОСТИ РАЗМЕЩЕНИЯ УЗЛА НА СТАНЦИИ h
ПРИ РАЗНЫХ СПОСОБАХ ОРГАНИЗАЦИИ МЕЖСТАНЦИОННОЙ СВЯЗИ (ПОТЕРИ 5%о)
Правая часть неравенства (8.69)
Диаметр жил
кабеля без промежуточных усили- с промежуточными усилителями телей
|
0,4 |
28,3 |
hi |
I.. |
+ |
пу ■■ |
|
28.3 —'1/- |
47----9 _ _ 9 55 д „ |
|
|
|
УП |
УН |
|
Уіі |
|
0,5 |
27,1 |
hi |
I *■ |
|
^y * |
|
27,1 — + 4 2 , 5 ---- iJ~ — 8,56Дп* |
|
|
|
УН |
УН |
|
УН |
|
0,7 |
17,3 |
hi |
17.3 — |
+ |
п У.. |
|
24,8 — lJ— — b,\lx n k |
|
|
|
УН |
Уіі |
|
Уіі |
|
1,2і) |
Г+ 7 0 ,8 |
2 1 , 4 / ц + 7 , 9 П у . + 7 0 , 8 |
|
------------------------------------— 16,1 — Д пк |
|
УН |
|
|
(при х=Ъ0) |
|
УН |
|
Ч При применении вч уплотнения левая |
часть неравенства |
|
Д U |
|
|
(8.69) равна |
|
|
|
|
|
|
4, 4 3 |
Если мостовые усилители и аппаратура высокочастотного уп лотнения не применяются, условие (8.69) принимает вид
Д |
I ^ ао+ а і « 0 hi |
(8.70) |
|
0-1«1 уц |
|
|
1 3 * |
— 387 — |
|
Условие (8.69) получено при предположении, что мы не изме няем способ организации межстанционной связи, размещая узел на станции k или соединяя станции і и j по принципу «каждая с каждой». Если же это предположение не подтверждается, то ф-лы (8.66) и (8.67) должны быть переписаны с учетом применения дру гих способов организации межстанционной связи на участках ik и kj. При этом оказывается, что условие целесообразности размеще ния узла на станции k зависит и от величин уік и уку
Допустим, что при связи станций і, j и k между собой по прин ципу «каждая с каждой» применяется один способ организации межстанционной связи, а при связи через узел k — другой (бу дем обозначать коэффициенты функции стоимости затрат по это му способу через а'0 и а[). Если аппаратура высокочастотного уп
лотнения и мостовые усилители не используются, условие (8.70) будет выглядеть следующим образом:
(2а0 — ад) + (2а t — а\) а0 |
|
(а 0 — ао) f |
а 0 ( а[ — ах) + « і а\ уц |
|
_ ___ У i k l ik Ч~ y k j l - k i |
Уi j l i l |
_ |
(8.71) |
1 " . |
ч |
уц |
|
|
T" ( а0 — а„) +_ |
Оо |
|
_______________ |
|
( а\ —щ) |
|
а1 |
|
При ао=й'0 и Яі —а\ неравенство (8.71) превращается в (8.70).
Аналогично могут быть получены и условия целесообразности вве дения узла при других сочетаниях способов организации межстан
ционной связи.
При числе станций на сети п>3 условие (8.69) сохраняет свое значение, так как оно не зависит от величин телефонного сообще ния между какими-либо иными станциями, кроме станций і и j. Следовательно, если условие (8.69) выполнено хотя бы для одного к, то связь между станциями і и / должна быть организована че рез узел, хотя этим узлом может быть и какая-либо другая стан ция (не обязательно к). Обратное утверждение не имеет места: если условие (8.69) не выполнено для какой-либо к, то это еще не означает, что станции і и j должны быть соединены друг с дру гом непосредственно. Сколько бы не было станций на сети, мож но добавить одну такую, на которой целесообразно разместить узел для связи станции і и j. Однако, если количество станций на сети строго фиксировано и ни для одной из (п—2) станций усло вие (8.69) не выполнено, то станции і и / должны быть соединены друг с другом без узла.
Рассмотрим, как видоизменится условие (8.70), если >в каче стве выражения стоимости участка межстанционной связи будет
