Я2 = 0,01250+ (0,004184ф + 0,008790) 7Ѵ—0,00008790 УѴ2, тыс. руб. (7.26)
Анализ ф-л (7.25) и (7.26) показывает, что они имеют мини мум при значениях емкости коммутаторов, равных:
Я х = 5 0 + 15,8 — ,
номеров;
(7.27)
ѳ
УѴ2=50 + 23,7 — ,
номеров.
(7.28)
Ѳ
Таким образом, оптимальная емкость коммутатора заведомо больше 50 номеров. Вследствие этого рассмотрим величины при веденных затрат при линейной зависимости стоимости станционно го оборудования от емкости установки при /7Н= 0,15:
Я; =
0,07380
+ (0,00279ф +
0,00320)N,
тыс.
руб.;
(7.25')
Я; =
0,07380 + (0,00418ф +
0,00320) N,
тыс.
руб.
[(7.26')
Формулы (7.25') и (7.26') экстремума не имеют. Выбор типа коммутатора прямой телефонной связи в том случае, когда срав ниваются два варианта размещения установок без усилителей емкостью до 50 номеров, производится по формуле -
АЯХ= 0,0125 (Ѳх — Ѳ2) + 0,00279Ф (Nt — N t) +
+ 0,00879 (ѲхУѴі — Ѳ2/Ѵ2) — 0,0000879 (Ѳ2Я2 — ѲгЩ), тыс. руб. (7.29)
Аналогично (7.29) для установок с усилителями имеем А Яа = 0,0125 (Ѳх — Ѳ 2) + 0,00418ф (Л+— Л+ +
+ 0,00879 (ѲхЯі — Ѳ2Л/2) — 0,0000879 (Ѳ2Л7| — ѲхЛф, тыс. руб. (7.30)
При емкостях
установок свыше 50 номеров
соответственно
имеем:
Ая ; =
0,0738 (Ѳх — Ѳ2) + 0,00279ф (Ах — УѴ2) +
+ 0,0032 (ѲхТѴ — Ѳ2Я2), тыс. руб.;1]
(7.31)
Ая;= 0,0738 (Ѳх — Ѳ2) + 0,00418ф (Ах — Я2) +
+ 0,0032 (ѲхІѴі — Ѳ2ТѴ2), тыс. руб.
(7.32)
В ф-лах (7.29) — (7.32), если АЯі>0, то экономически целесо образно использовать установку, имеющую индекс 2; если АЯ<0, то надо применять установку с индексом 1. При А Я = 0 оба вари анта являются равноценными.
— 348 —
Функцию эксплуатационных затрат можно получить, исходя из величины амортизационных отчислений. Все диспетчерские и ди ректорские коммутаторы имеют норму амортизационных отчисле ний 11,6%. Однако в этом случае исчезает разница между ус тановками, обеспечивающими прием на громкоговоритель и мик ротелефонную трубку. Методика оценки эксплуатационных затрат по величине амортизационных отчислений аналогична описанной в предыдущем разделе.
7.3. ВЫБОР ТИПА ПРИМЕНЯЕМОГО КАБЕЛЯ
Тип кабеля может быть выбран, исходя из заданных величин емкости, диаметра токоведущих жил, а также совокупности фак торов, определяющих условия прокладки кабеля (в земле, в теле фонной канализации, коллекторе, по стене, стволам шахт, на опо рах и т. д.).
Е м к о с т ь к а б е л я зависит от требуемого количества связей в данном направлении, а также от способа их организации. При тональном телефонировании количество связей должно быть равно количеству физических линий (двух, трех или четырехпроводных). Когда применяется высокочастотное уплотнение, количество связей приравнивается числу каналов. В последнем случае емкость ка беля V должна составлять
О^
Ѵ ІХ,
(7.33)
где V — требуемое количество связей в данном направлении с уче
том эксплуатационного запаса
(общее число каналов); х — коли
чество каналов, которое можно образовать по одной паре ка беля.
Однако в обоих случаях не удается получить полного соответ ствия между требуемым количеством связей и емкостью прокла дываемого кабеля. Это объясняется тем, что на практике исполь зуются кабели, имеющие не непрерывную (любую) емкость, а толь
ко дискретные (фиксированные)
значения емкости — 5x2, 10X2
и т . д., 1X4, 4X4, 7X4 и т. п.
В связи с этим возникает необхо
димость решения задач, связанных с определением оптимального числа кабелей, которые должны быть проложены на рассматри ваемом направлении. Эти задачи сводятся к установлению ем кости прокладываемых кабелей.
На участке і/ должно быть организовано Ѵц низкочастотных связей., Необходимо выбрать такие емкости кабелей, чтобы был обеспечен минимум приведенных затрат. По существующим нор мативам эксплуатационные расходы не зависят от числа проло женных кабелей, а определяются только суммарной величиной ки лометро-пар, которая в данной постановке задачи является кон стантой. Поэтому правомерно заменить требование о минимуме приведенных затрат требованием о минимуме капитальных за трат.
—349 —
Представим величину капитальных затрат на 1 км трассы в за висимости от емкости кабеля в виде линейной функции:
Сц = йо + aiuij,
(7.34)
где Vij — емкость кабеля на участке ij в парах; й0, й4 — коэффи циенты, зависящие от конструкции кабеля и способа организации межстанционной связи (тональное телефонирование или высокоча стотное уплотнение). Как будет показано в гл. 8, представление капитальных затрат в виде функции (7.34) является правомер ным.
Теперь допустим, что вместо одного кабеля емкостью на участке ij прокладываются два кабеля с емкостями щ и ѵ2, причем
ѵ ц = ѵх + ѵ2.
(7.35)
В этом случае капитальные затраты на 1 км трассы будут
равны
С ц i j — 2flo
ÖI(PL -Г уг).
(7.36)
Сравнивая (7.36) с (7.34),
можно установить,
что величина
Cij і, 2 всегда больше величины Cij. Следовательно, при выполнении
условия
(7.35) прокладка одного кабеля всегда выгоднее, чем про
кладка
двух, трех
и т. п. кабелей. Этот
вывод
можно получить
и при выражении
величины капитальных
затрат
на 1 км трассы
в зависимости от емкости кабеля в виде полинома второй степе ни, т. е.
C i j =
йо + a i v tl -f-a 2v\. .
(7.37)
Тогда стоимость прокладки
1 км двух кабелей
емкостью щ и ѵ2
C . j U2
= < h ( v \
+
и 2) + Ai ( v i + v 2) +
2fl0.
(7.38)
9
щ через ѵ2 и Ѵц:
Учитывая (7.35), выразим
и подставим в (7.38):
Vl = vu — v2
С i j i ,2 =
а 2 ( ѵ \. — 2ици2 + 2v\) + ауѴц + 2 а 0.
(7.38')
Для того чтобы было выгоднее проложить два кабеля вместо од
ного,
необходимо удовлетворение
неравенства:
или
a2v2{j
+ a 1Vij-\-a0> a 2( v 2i . —2vijV2 + 2 v \ ) + a \ V i j + 2 a a.
Оосле элемен
тарных упрощений получим
ѵ \ - Ѵ ц Ѵ 2+
Д ^ < 0 .
(7.39)
2,0,2
Обращая неравенство (7.39) в равенство и решая квадратное ура внение относительно ѵ2, имеем
(7.40)
— 350 —
где и'2 — значение величины емкости кабеля ѵ2, при котором не
равенство (7.39) обращается в равенство. Из (7.39) и (7.40) следует
У2<
ѵи_
(7.41)
2
Учитывая
(7.35), имеем
+ V/
Ѵ і = ѵ и —
V2>
4
2a2 '
(7.4Г)
Из рассмотрения ф-л (7.41) и (7.4Р) видно, что
в правой
ча
сти обоих
неравенств при а2< 0
второй
член
всегда
больше
пер
вого. Учитывая симметричность этих формул, можно сделать вы вод о том, что в любом случае одно из двух значений емкости (ли бо Ѵі, либо ѵ2) будет отрицательным, в то время как другое зна чение будет больше u,-j.Поэтому в тех случаях, когда а 2< 0 , дроб ление требуемого количества связей на кратное количество емко стей, а также «а две (а тем более три и т. д.^суммы емкостей яв ляется нецелесообразным. Следовательно, при обеспечении усло вия (7.35) прокладка одного кабеля выгоднее прокладки двух и большего числа кабелей.
Таким образом, выяснено, что практически всегда один кабель проложить экономически выгоднее, чем два кабеля той же сум марной емкости. Однако, поскольку кабели выпускаются только с дискретными номинальными значениями емкостей, то может ока заться, что два кабеля имеют меньшую суммарную емкость, чем один. Например, если потребность в связях на участке составляет 250 пар, то при использовании одного кабеля необходимо проло жить трехсотшарную емкость. іВ то же время, проложив два кабе ля емкостью 100 и 150 пар, можно получить требуемое количество
связей. Рассмотрим такую задачу:
имеется
потребность
в связях
Vхр для реализации которой можно проложить либо один кабель
емкостью V i j , либо два кабеля емкостью u t
и ѵ2, причем
Ѵі + ѵ2<
<Vij. Обозначим
Аѵ = Ѵц —
— v2.
(7.42)
Теперь необходимо выяснить, при каком значении Ди прокладка двух кабелей предпочтительней. Стоимость 1 км трассы при прок ладке одного кабеля согласно (7.34) равна Cij = a0 + aiVij, а при прокладке двух кабелей Cij li2— 2aQ+ ai(vi-\-v2).Рассмотрим усло вие равенства этих затрат, т. е. C{j=Cij і:2. После очевидных пре образований получим
Аѵ = а0/аі.
(7.43)
Следовательно, если фактическая разность —ѵі—и2меньше
(7.43), то целесообразно проложить один кабель, если больше, то— два.
— 351
Рис. 7.6. К определению срока проклад ки кабеля при линейной функции роста потребностей в связях
Если стоимость участка выражается в виде (7.37), то можно придти к уравнению:
Ду2 +
2
EL
A v -f 2(— ot7o2 +>2) —
0.
(7.44)
2 (уі/ 4~ ^ )'
Ö2
Решениями этого уравнения являются:
До
Qi
2а, — іѵіі + vè
/
I/
а1
(Ѵц - г
0 2) j “ — 2 ( 1)2 — 0 l70 2) •
а2
(7.45)
2а,
ѵцѵ2>
Второй член (7.45)
больше первого члена, так как а2< 0
и
> ѵ \ . Поэтому перед радикалом следует брать знак плюс. В том случае, когда можно подобрать такие значения ср и ѵ2 (причем можно показать, что наиболее рационально соотношение Ѵ\~ ~ѵг), которые обеспечили бы выполнение условия ѵц— (yt + + Цг)>До, где До подсчитыва ется по ф-ле (7.45), то следует проложить кабели с этими ем
во времени. Допустим, планируется развитие данного направления связи на tn лет и известно, что потребность ів линиях связи со вре менем увеличивается по линейному закону, как это показано «а
рис. 7.6. В /момент времени to потребность составляет Ѵо пар
(кана
лов), а в момент іп—Ѵ„,т. е.
V = (ot 4 -Во,
(7.46)
где (ft — темп роста потребности.
Будем считать, что в некоторый момент времени tx проклады вается кабель емкостью Ѵп- Тогда, как следует из рис. 7.6, можно выделить две области:
а) U—tx— область дефицита; потребность в линиях связи ра стет, но не удовлетворяется совершенно;
б) tx—tn— область избытка; запас в кабеле обеспечивает удо влетворение растущих потребностей без каких-либо дополнитель
ных затрат.
площадь обла
Обозначим площадь области дефицита через
сти избытка через Ди. Тогда
5 д = Ѵо {tx - Іо) + у {Ѵх - Vo) (tx - to).
(7.47)
— 352 —
Можно принять /0= 0 . Тогда, учитывая (7.46), получим
Зд = ѴУд. + ~
VJX
— V0tx = — (Vo -f Vx) — — tx(Fo + <ö(* +
+ Vo) = ~ ( ä t l + Votx.
(7.48)
Аналогично этому
5И= Y
(tn -
tx) (v n-
vg -
(*„ - g (со tn +
Vo) -
- ~
( t n
- t x){^tx +Vo).
(7.49)
Раскрывая скобки
и приводя подобные члены,
имеем
S * = \ ( t a - t x?.
(7.50)
Составим функцию
У = Р5д +
У 5И>
(7.51)
где р — стоимость дефицита
одной связи заданной протяженности
в единицу времени; у — стоимость простоя одной связи заданной протяженности в единицу времени.
При принятых обозначениях величина у представляет собой сумму убытков от дефицита связи и замораживания средств в не доиспользованной емкости кабеля на 1 км связи. Потребуем ми
нимизаций функции (7.51), т. е.
~ = ®tx p -f Vop — (oytn + (oytx = 0.
(7.52)
dtx
После несложных преобразований получим
COY И) _ tn ‘
Vo
(7.53)
1+ s
где s= p jy — относительное соотношение между дефицитом и из бытком. В практических расчетах можно принимать s = l , хотя в некоторых случаях по условиям производства справедливо нера венство р^>у. Взяв вторую производную, имеем
= сор + ооу > 0.
(7.54)
dtl
Следовательно, ф-ла (7.53) действительно
соответствует миниму
му убытков и прокладка кабеля в момент
tx является оптималь
ной.
Пользование ф-лой (7.53) требует большой уверенности в пра вильности выбора временного отрезка, в течение которого осуще-
12—<137 — 353 —
ствляется планирование развития связи на данном направлении, а также установления закона роста потребности в связях и соот ношения между дефицитом и избытком, которое может быть при нято в расчете. Даже небольшие вариации этих параметров при водят к существенному сдвигу момента прокладки кабеля.
Для определения сроков прокладки и емкости кабелей в [80] ис пользуется метод динамического программирования. При этом ве личины капитальных затрат рассматриваются не как непрерывные, а как дискретные числа. Дискретный характер носит также и по
требность в связях. Пусть в некоторые
моменты времени tu tz,
. . .,
і п в рассматриваемом
направлении необходимо иметь
число
пар
кабеля Ѵі, Ѵ%, . . Ѵп-
Будем считать,
что величина
удовлетво
ряет потребность в числе линий с момента времени ti до fa вели чина Ѵг — с момента fa до fa и т. д. Величина капитальных затрат на прокладку кабелей общей емкостью щ в момент времени ti оп ределяется из выражения
С ,=
С і і
(7.55)
Еа) 'і-'і
(1+
где а — величина капитальных затрат на 1 км пучка линий, реа лизуемых кабелями общей емкостью щ; I—длина участка, км; Ен— коэффициент экономической эффективности. Из-за дискретных зна чений емкостей кабелей число прокладываемых пар может при нимать лишь одно из значений, образующих множество
U = { и и м2, ■ • •, и„},
(7.56)
элементы которого расположены в порядке возрастания. Каждо му элементу множества (7.56) соответствует определенная вели чина капитальных затрат. Следовательно, имеется соответствую щее множеству (7.56) другое множество:
С = {Сі,
са,
■ •
•, Cq}.
(7.57)
Задача оптимального распределения затрат по годам плани
руемого периода запишется следующим образом:
С
min
C i l
(7.58)
m i n SU
(1 + EH) 'r-*.
S c ‘ “
і= 1
«i,
иг,
Ux, Щ, ...
при условии, что
Y
Ui>Vj, І =
1,2,
•
• .,n,Ui£U.
(7.59)
i=l
Весь процесс планирования разделяется на п шагов в соот ветствии с моментами времени 11, f a , . . . , t n . В терминах динамиче ского программирования число прокладываемых пар кабеля Ui на зовем управлением на і-м шаге, суммарные капитальные затраты за весь период планирования С — целевой функцией, суммарное
— 354 —
число пар, проложенных на данном направлении за / шагов, Uj —
і
состоянием в конце /-го шага: Uj = ' £ u l. Обозначим через Д паи-
І = 1
больший общий делитель фиксированных значений емкостей ка беля.
В качестве первого состояния в конце /-го шага принимается величина, полученная округлением минимально допустимого чис ла линий V] до ближайшего большего числа V'j, кратного Д. Ос тальные возможные состояния на /-м шаге находятся из соотно шения
VJ+l = V ,+ A , і = 1, 2 . - -
(7.60)
Для решения данной задачи методом динамического програм мирования процесс оптимизации необходимо начинать с л-го шага. Оптимизация л-го шага заключается в определении такого управ ления ы|п) для каждого из допустимых состояний У}."_1) , j = 1,2,...,
m, на i(n—1)-м шаге, чтобы
v T " + « Г
>
Ѵ{п), / = 1 , 2 , . . . , гщ
(7.61)
C("> =
с<"> I
(7.62)
min------- 1--------- .
(1 + £„) '» *'
Последнее
состояние на
(л—1)-м шаге,
которое необходимо
учитывать лри
оптимизации л-го шага,
принимается
равным
У)>-ч = У*") . Действительно,
при переходе
из состояний
Уй1-1* ^
^ УГ_1). / = тп,
т + 1 ..., в конечное состояние в соответствии с ус
ловиями (7.61) и (7.62) управление на л-м шаге следует выбирать равным нулю. Поэтому все состояния Vjn~l) !> , j=M,
m+1 ..., при оптимизации л-го шага из рассмотрения можно ис ключить. В результате оптимизации п-тошага для каждого из допустимых состояний на (п—1)-м шаге у (" - !>, /=1, 2, ..., лг, на
ходится управление у= 1, 2, .. ., т , называемое условным оп
тимальным управлением, и соответствующие ему капитальные за траты на п-м шаге. Результаты оптимизации л-го шага при
ведены в табл. 7.4.
Переходим к оптимизации (п—1)-го шага. Для этого по ана логии с процессом оптимизации п-го шага определяются все воз можные допустимые состояния У!"~2) , і = 1, 2, ..., р, на (п—2)-м
шаге. Условное оптимальное управление на (п—1)-м шаге выби рается так, чтобы оно совместно с уже выбранным управлением на
л-м шаге обеспечивало минимальное значение целевой
функции.
Рассмотрим последовательность
отыскания
условных
оптималь
ных управлений для каждого из
состояний
V\n~2), і= \,
2, ..., р.
на (л—2)-м шаге. При этом возможны три случая:
12’
— 355 —
Т а б л и ц а 7.4
1.
У)"
2>< Ѵ\п
'У
В этом слу
РЕЗУЛЬТАТЫ ОПТИМИЗАЦИИ
чае
определяются
управления
п-ГО ШАГА
і —1. 2,
т,
по которым
Состояние
Управление на
Затраты на
осуществляется переход из
со
на (п—1)-м
стояния
Ѵ{.п~2> в каждое из т
со
шаге
п-м шаге
п-м шаге
стояний
на (п— 1)-м
шаге
(рис.
ѵ [п~ ')
и\пУ
с\п>'
7.7). Управление
и (7-1) выбирает
и(пУ
4 п >'
ся
ближайшим
к
разности
i f “ 1»
—Ѵ\п~2'>]и удовлетворяю
и2
щим условиям: У[-п~2)+
^
>Ѵ)п~Ц,і= 1, 2, ‘ ■ .,т,и[}-Чи.
у (п -1 )
u f V
cjny
Каждому из
управлений
и ^ ~ 1)
соответствуют з атр аты:
1
t
-t
р(п -1)
uw
Mn)'
(1 +
£н)
п
ѵ т
и т
Шаг п-2
шагп-і
шагп
Рис. 7.7. К определению сроков прокладки кабелей методом динамического программирования
Общие затраты для перехода из состояния У1/1-2* через состояние Г|п_1) в конечное состояние У^равны:
С(п, п—і) _ Q(n)' , Л « - 1 )
і/
1 1 і 1
— 356 —
Из всех т определенных таким образом управлений условным оптимальным является такое и ^ ~ ^ ', гари котором
q«. n -D '= m in[C(»)' -I- № -Ч], j = 1, 2, . . -,т.
L
" и 1 ТП
Аналогично определяются условные оптимальные управления
для каждого из состояний на
(п— 2)-м шаге, удовлетворяющих ус
ловию У(га~2)-< Ѵ[п~1\
2. Ѵ\п~'-2) —
В этом
случае условное оптимальное управ
ление на (п—1)-м шаге следует принимать равным нулю.
3. Ѵ)п_2) > Ѵ \п~1К Можно доказать, что и в данном -случае услов
ное оптимальное управление на (п—1)-м шаге должно быть так же, как и во втором случае, нулевым.
Поскольку для рассматриваемого направления задается лишь единственное начальное состояние, то после оптимизации первого шага, в отличие от всех других шагов, находится единственное оптимальное управление. Найденное, таким образом, оптимальное управление на первом шаге позволяет однозначно определить опти мальные управления на всех последующих шагах.
Для выбора типа кабеля, как указывалось выше, кроме емко
сти необходимо знать
д и а м е т р ж и л и у с л о в и я его п р о
к л а д к и . Последние
целиком определяются назначением кабеля,
характером трассы, внешними воздействиями и другими фактора ми, которые, как правило, диктуют однозначное решение, не зави сящее от экономических соображений.
Диаметр токюведущих жил рассчитывается по формулам гл. 5. При этом предварительно должен быть выбран способ организа ции связи -((низкочастотное телефонирование или высокочастотное уплотнение), а также установлена норма затухания, отводимая на данный участок. Указанные вопросы связаны не столько с выбо ром типа кабеля, сколько с решением кардинальных вопросов по строения всей системы производственной связи, и рассматриваются в следующей главе.
