книги из ГПНТБ / Ицхоки Я.С. Импульсные и цифровые устройства [учебник]

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

/ „ = l , 6 6 / ß

симметрич.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

20.98 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 603 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

График зависимости km		— km(y)		приводится			на рис. 11.
Он позволяет по заданию		величины В найти					высоту А из
равенства (16). При малых значениях у <						2 высота А <С В;
при y > 10 высота А приближается					к В.
5. Из численного решения трех				трансцендентных урав
нений
a(t) =0,5Л,	a(t) = 0,1Л,		а(і)	= 0.9Л
находятся моменты времени			/ 0 > 6 , 4,5, 4,і			и 4,9, которые
в соответствии с формулами (2) и (3)					определяют активные
0,8						1,6
0,6						1,2
0,4						\0,8.
0.2	Кт В	' ' - . л			ѳг
	t Ф					0,4-

		10		15		О

	Рис.		11.
длительности ta	и /ф . По	данным		таких		вычислений по

строены представленные на рис. 11 графики функций ßx 4 =

= ^и(ѵ) и ßiAt =	Рф(у)>о н и		позволяют по заданным			зна
чениям ßi и ß 2 (или 0j и Ѳо) найти				активные длительности
t„ и /ф. В практически наиболее важных случаях					(у >	1,5)
можно (с погрешностью менее 10%) пользоваться					прибли
женными формулами:
&tBSé	— + 0,78		(1,5<ѵ<20);			(2.18)
	• V
	- + 0 , 7		(y>20);		(2.19)
	У
Эі/фЭйО.бб I n — ( 1 , 5 < y < 1 0 ) ;						(2.20)
ß j ^ s - i i l L		+ O.Olö		(10<y<30) .		(2.21)
	Y —	1

Из этих формул

видно, что при у

оо длительности

-»- 0,7/р\ и ^ф—»0. Такой

результат согласуется

с тем, что

при у ->• оо также

и ß 2

оо, т. е. двухэкспоненциальный

импульс вырождается в

экспоненциальный

импульс.

са,

Пример. Вычислить

активные длительности

импуль

выражаемого функцией

(15),

если

известно,

что

ß j = 0,2

м к с - 1

( Ѳ і

= б

мкс) и ß 2

0,4

мкс

(Ѳ2 =

2,5

мкс).

а=Ае

-Лгіг

„ 4lnZ

ß=-jz-

K V *

. I \

Рис.

12.

Р е ш е н и е .

Находим

параметр

у =

ß2 /ßj =

Обращаясь

к формулам

(18) и

(20),

вычисляем:

/ и ^ І ( ѵ + 0 , 7 8 ) =

с а . ( т + 0 ' 7 8 ) = 8 ' 9 м к с :

и^

—

0,55

n —

^ = — 0 , 5 5

In 2 =

1,9

мкс.

ßi

V—1

° . 2

Практически такие

же

значения

получаются

из

приведенных

на

рис.

кривых

(погрешность

расчета

менее

3%).

7. Колокольный

импульс (рис. 12) выражается функцией

а = а ( 0 = Л е - Р 2

' 5

( — о о < * < о о ) ,

(2.22)

широко применяемой в теории вероятностей. Импульс такой формы играет особую, роль в технике приема импульсных сигналов (в шумах): при таком импульсе смягчается про тиворечие между требованием сосредоточения энергии им пульса во времени и требованием сосредоточения энергии импульса в спектре [9, 17]. Для сравнения укажем, что пря моугольный импульс наилучшим образом удовлетворяет первому требованию, но обладает чрезмерно широким спектром.

В соответствии с формулой (2), из условия (рис. 12)

<п\	„ . - в Ѵ Л	А
а —	= Ле	2
2 J	"~	2

находим (после логарифмирования) активную длительность

_ K J Ï Ï 2 _ = i l 6 6 _

1 1

Максимальная крутизна импульса, определяемая из условия d2aldt2 — 0, соответствует моментам

Ь = ±	—	• = +	, < п	= ±	0,425 f„,		(2.24)
•	/ 2ß		)/Пг72
где учтено соотношение (23). Подставляя						значение	t — tK
в формулу (22),	получим
		da		= Лр	j /	J L	(2.25)
	уъ	It		= Лр	j /	J L	(2.25)
	уъ	It				е

Моменты ±t0,i и ±^о,9» в которые величина импульса равна соответственно 0,1 Л и 0,9Л, находятся из уравнений

2	2	2	2
Л е ~ р	' о - ' = 0 , 1 Л; Л е _ р		' 0 . 9 = 0 , 9 Л .

Отсюда активные длительности фронта и среза импульса

гф =tc ~ - ^ - ~ 0 , 7 2 * и .

(2.26)

§2.3. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ ИМПУЛЬСОВ

1.При анализе импульсных процессов- в линейных цепях иногда удобно (поскольку здесь применим метод наложения сигналов) выражать аналитически импульсные сигналы в виде алгебраичес

кой суммы непрерывных функций, действующих до t = о о , начи

ная с некоторого фиксированного для каждой функции момента

времени. Для этой цели применяются единичные						функции.
Напомним, что единичная функция 1(f)					и з а п а з д ы в а ю
щ а я на время		7 э а п	единичная	функция	1 (t — tsan)		обладают
свойствами' (рис.		13):
I	•	— / •
1(0 •	\| 0 п р И		* < 0 ,	( О п р и		< < W ,	, 2 2 7 .

2.	Применяя единичные	функции, легко выразить представ
ленные на рис. 14 сигналы:			сигнал включения (рис* 14, а);
а)	запаздывающий на время / з а п		сигнал включения (рис* 14, а);
б) экспоненциальный		импульс,	действующий		при / > О
(рис.	14, б);
в)	запаздывающий экспоненциальный			импульс	(рис. 14, в).
3.	Импульсные сигналы	a (t) разрывного		типа	(характеризуе

мые наличием разрывов функции a (t) или ее производной по време


ни) также		выражаются			посредством
единичных		функций.		Рассмотрим			не
которые	типичные		примеры.
а) Из		показанного на			рис. 15, а
построения следует, что прямоугольный
импульс	выражается			алгебраической
суммой	двух функций:
я ( 0 = Ы 0 + М 0 = Л-і ( 0 -								1(t-tian)

		-A.l((-tu).				(2.28)
Таким	образом,		прямоугольный				им
пульс представляется				в виде		суперпо		Рис. 13.
зиции двух сигналов включения оди

наковой	высоты,		но	разной		полярно

сти,	причем сигнал включения на полярности,			противополож
ной	полярности	импульса,	запаздывает на время tu		относи
тельно сигнала		включения,	имеющего одинаковую	с	импульсом

полярность.

mt)--A,-"':,i"!,tt-tial

б) Из показанного на рис. 15, б построения видно, что ли нейно-изменяющийся фро_нт импульса a (t) с плоской вершиной представляется в віиде суперпозиции двух разнополярных линейноизменяющихся сигналов fx (t) и Іг ({) одинаковой (в абсолютном смыс ле) крутизны Л/^фо, равной крутизне фронта импульса a (if), причем сигнал f2 (0 запаздывает относительно сигнала ft {t) на время /ф0 . Таким образом,

a(l)= А -^-.Щ-А^—^-.	'фо	1 ( * - / ф 0 ) .	(2.29)
'фо	'фо
Эта функция имеет смысл до момента		начала среза	импульса.

в) Треугольный импульс (рис. 15, в) с одинаковой (абсолютно) крутизной фронта и среза (\daldt\ = 2Altao) выражается анали тически суммой трех линейно изменяющихся функций ^ (/), f2 (t)

aft)

Г, Щ

О - t,

а)

и fs (t), начинающихся действовать соответственно в моменты времени 0, tn0/2 и tm. Таким образом,

2. At	,	АА (, U
a(t) = —	.1(0 - — I /
'по		'

2А

+ 7 - (t-tM) - 1 ( / - / « , ) (2.30)

'по

§ 2.4. ПРИБЛИЖЕННАЯ ОЦЕНКА ДЛИТЕЛЬНОСТИ ФРОНТА

1.	Пусть на	вход	линейного	четырехполюсника
(рис.	16, а) подается импульсный сигнал uBX(t),				фронтовая
часть	которого изменяется		по экспоненциальному закону
(рис. 16, б)
	"вх(') =	^ В х О - е - / / Ѳ в х )		(t>0)	(2.31)

с постоянной времени, определяющей активную длитель ность фронта

	' ф « = 2 , 2 Ѳ к .		(2.31а)
Операционное	изображение	функции	(31) имеет вид
"«{Р)	= пп!В1	\ + "вх (0.	(2.32)

24	Р(1 + РѲВ Х )

Пусть передаточная характеристика четырехполюсника

КчІР)	1 +	(2.33)
	1 +	рѲч

Это значит, что переходная характеристика четырехполюс ника также изменяется по экспоненциальному закону (рис. 16, в)

h4(t)=K4a,{\-e-t,e4)	{t>0)	(2.34)
"8х	"8ых

-5« t

Рис. 16.

с постоянной времени, определяющей активную длитель ность фронта переходной характеристики:

= 2,2Ѳ,..

(2.34а)

Операционное изображение выходного сигнала (рис. 16,а) равно произведению операционных выражений (32) и (33), т. е.

, (2.35)

е ы х

р ( 1 + р Ѳ т е ) ( 1 + РѲ,)'

P ( l + û i p - t - û 2 p 2 )

где
аі = ѳ „ х + 0 ч ;	О 2 = ѳ „ х ѳ ч -	(2.36;
Выходной сигнал описывается более сложной функцией
(рис. 16, г) сравнительно с функциями uBX(t)		и h4(t). Функ- .
ция «вых(0 характеризуется	некоторым как	бы з а п а з -

д ы в а н и е м , которое проявляется в том, что производ ная функции в точке t = 0 равна нулю.

2. Нахождение выходного сигнала по изображению (35) не представляет принципиального труда. Однако опериро вание со сравнительно громоздкой функцией ы в ы х ( 0 не всегда практически оправданно. Часто нас не интересует поведение выходного сигнала в небольшой окрестности t = 0, но все же важно учесть запаздывание в действии сиг нала, обусловленное его поведением в этой окрестности.

Тогда целесообразно заменить функцию ивых(і)						прибли
женной запаздывающей		функцией	u(t)	(ее	график	показан
на рис. 16, г	пунктиром), которая		при t >		/ З а п изменяется
по простому экспоненциальному закону
Z=Z(t)	= U^K4~	[ l - e	е	).{t>tmn)		(2.37)

с эквивалентной постоянной времени Ѳ. В области доста

точно больших времен функции и и и В Ь 1 Х			совпадают.
Эквивалентная	постоянная	времени и запаздывание оп
ределяются из формул [30]
	Ѳ = Ya\	— 2а2 ;		(2.38)
'зап =	Я і — Ѳ = a i	- > Ч 2 - 2 а 2	-	(2.39)

В этом случае активные длительности фронтов выходного сигнала и аппроксимирующей функции близки друг к дру- * гу, т. е.

7ф = 2 , 2 0 ^ ф в ы х .

(2.40)

Подставляя в формулу (38) выражения (36), получаем

Ѳ = l / e l T T ö F -

(2.41)

Заменяя здесь постоянные времени равными им величина ми из равенств (31, а), (34, а) и (40), получаем -

Гф = і Л ф Ѵ + 4 ч = А(, вы,-

(2.42)


Формула (42) выражает правило						квадратурного			сложения
активных		длительностей		фронтов,		которое впервые из ана
лиза	экспериментальных				данных	было		сформулировано
О. Б. Лурье. Эта			формула		позволяет весьма просто					найти
активную		длительность		фронта сигнала				на выходе		линей
ного	четырехполюсника,			обладающего			передаточной			харак
теристикой (33),			при воздействии			на	его вход		сигнала с
фронтом		заданной	длительности.

3. Правило квадратурного сложения активных длительностей фронтов может быть распространено и на более сложную цепь, состоящую из ряда последовательно включенных звеньев рассмот ренного или более общего типа. Рассматривая более общий слу чай, можно показать [30], что если изображение выходного сигнала имеет вид*>

U n i n , (О) =

^ВЫХсо

где

Уцых о о =

«вых

(°°).

причем

параметр

£х

2a«Ja^ <

1, то

сложная

функция

и В Ы х

(0 также аппроксимируется (в области

t >

t3un)

запаздывающей

экспоненциальной

функцией (37),

пара

метры которой выражаются формулами (38)

(39).

При

этом

приближение

и = и в ы х

оказывается

тем более близким,

чем мень

ше

величины

Êi и | 3 ,

где

*запI

с3 = — — ( ai — — 'зап ) • (2.44)

с3

Вработе [30] приводятся графики и формулы, позволяющие

легко	оценить	наибольшую	погрешность аппроксимации и в ы х	s
s и.
4.	В книге [31] излагается ряд других методов приближен
ного	анализа	монотонных	переходных процессов в линейных	це

пях. Известен также корреляционный метод определения парамет ров переходного процесса [15]. В работе [32] описывается графоана литический метод расчета переходных процессов, основанный на кусочно-линейной аппроксимации частотных характеристик линей ной системы.

*> При определенных условиях изображение более общего вида

~ . . _	l + g i / P + g « ' p ' + . . . + g r ' P r	.
« B H X W	р ( 1 + а / р + а г Ѵ + . . . + а п Ѵ )	'

где степень г < п — 1, приводится к изображению вида (43), при

менительно к которому справедлив описанный выше приближен ный метод анализа [30, 217].

§ 2.5. АКТИВНАЯ ШИРИНА СПЕКТРА ИМПУЛЬСОВ

1. Основные характеристики импульсных сигналов вы ражаются через временные и амплитудные параметры. Соот ветственно основной математический аппарат импульсной техники — аппарат интегро-дифференциальных уравнений, решаемых обычно операционным методом (9, 20, 23, 24, 26]*\ Однако если импульсный процесс описывается дифферен циальным уравнением высокого порядка, строгое или при ближенное решение которого оказывается чрезмерно труд

ным или громоздким, то приходит ся прибегать к качественным спек тральным представлениям. В таких случаях импульс той или иной формы характеризуют активной шириной спектра (А/)с , а цепь, под верженную действию импульса, —

шириной полосы пропускания (А/)п . Затем устанавливают приближен ное соотношение между (Д/)с и

и с ' *	(А/)ц, отвечающее требованиям кон
	кретной	задачи.
2. Известно	[9, 17—24], что	основная энергия видео

импульса сосредоточена в низкочастотной части его энерге тического спектра S% = F{f) (рис. 17). Как показывает опыт решения задач импульсной техники [28], при оперировании с «гладкими» (без существенного проявления наложенных паразитных колебаний) импульсами удовлетворительный результат качественного спектрального анализа получает ся в случае, если активная ширина спектра импульса опре

деляется	тем диапазоном		частот	от	/	= 0 до некоторой
верхней	частоты	/ в = (А/)с , в котором				сосредоточено 9.5%
полной	энергии	импульса	[(А/)с	=	(А/)о,95І-

3. В табл. 1 приводятся значения активной ширины спектра импульсов "некоторых форм, вычисленные по ука занному в п. 2 критерию [9,28]. Здесь для всех импульсов

*> В случаях, когда нас не интересуют детали переходного про

цесса в течение короткого времени <я действия			импульсов, следую
щих через интервалы Та		> t-ц, применяется дискретный		метод ана
лиза с использ.ованием математического аппарата				решетчатых
функций	[8, 196].
При	нахождении	периодических решений	иногда	прибегают

к методам гармонического анализа [18] или же к специальным мето дам анализа разрывных процессов, основанным на представлении решения специальными функциональными рядами [27, 29].

•ѵ ' 28

Форма импульса

t<—СнО —X

^~f .

— * и ( 7 к—

у\__

/\ _ J

			Т А Б Л И Ц А		2 . !
Ха рактернстика			Макси	о	J 3
		'и
	'Ф			о	о
формы		'по	мальная
	<п		крутизна	<	<

0 1 о о 2 2

а = Л ( 1 - е - В ' ) 0,2

'ф = 'о = 2,2/Э 0,1

0,27

а = Л cos я X

0,48

"г -

'н о

	2л/ \	0,6
- c c s	2л/ \
- c c s	і^)

—

11Л//И

2 2 Л / / И

о о

ЗА

Іѵ

2.09Л 'и

1,57/1

'и

—0,9

—1,37

—1.4

0,9 0,67

0,94 0,62

1,14 0,57

<<< < Предыдущая 1 23 / 603 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ