nachertatel._naya-geometriy.

В ы с ш е е о б р а з о в а н и е

М.П. Автономова, А.П. Степанова

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ

ГЕОМЕТРИЯ

Учебное пособие

Допущено Учебно методическим объединением по специальностям педагогического образования

в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности

030800 — изобразительное искусство

Ростов на Дону

еникс

2009

www.phoenixbooks.ru

УДК 514(075.8) ББК 22.151.3я73 КТК 112

А22

Рецензенты:

доктор технических наук, профессор Кубанского госу дарственного аграрного университета Г.В. Серга;

кафедра начертательной геометрии и инженерной гра фики Кубанского государственного технологического университета.

Автономова М.П.

А22 Начертательная геометрия : учебное пособие / М.П. Авто номова, А.П. Степанова. — Ростов н/Д : Феникс, 2009. — 283, [1] с. — (Высшее образование).

ISBN 978 5 222 15553 0

Учебное пособие соответствует программе, утвержденной Мини стерством образования России. В разделе «Ортогональные проекции» предлагается усвоение учебного материала по логической схеме: воп росы для самопроверки и задачи для самостоятельного решения, изу чение информации, проверка знаний, проверка умений. В разделе «Аксонометрия» изложены практические приемы построения. Осо бое внимание уделено упрощенному способу, позволяющему строить аксонометрические проекции без проведения аналитических и гра фических расчетов, приведен единый способ построения аксономет рической проекции окружности для всех прямоугольных аксономет рий (стандартных и произвольных), при любом расположении окружности. Рассмотрены возможные трансформации: повороты, уменьшения и увеличения аксонометрических проекций. Приведены примеры студенческих работ.

Пособие предназначено студентам, обучающимся по специально сти «Дизайн», «Изобразительное искусство» и других, где изучаются начертательная геометрия, инженерная графика, черчение, проекти рование.

©М.П. Автономова, А.П. Степанова, 2009

©Оформление, ООО «Феникс», 2009

www.phoenixbooks.ru

Предисловие 3

ПРЕДИСЛОВИЕ

Раздел начертательной геометрии «Ортогональные проекции» изучается на первом курсе во всех технических, строительных, ар хитектурных вузах, а также на факультетах дизайна и изобрази тельного искусства специальных учебных заведений. Известно много прекрасных учебников разных авторов, излагающих тео рию прямоугольного проецирования. Но студентам очень трудно дается понимание соответствия между плоскими изображениями на чертеже и пространственными образами. В обучении многое зависит от опыта педагога, методики изложения учебного матери ала и приемов установления обратной связи для выяснения степе ни его усвоения студентами.

Учебное пособие составлено по принципам развивающего обуче ния, помогающего осмыслить теоретические положения и приме нить их в решении практических задач. Раздел «Ортогональные про екции» является теоретической базой курса черчения.

Особенность раздела «Ортогональные проекции» состоит в ис пользовании элементов программированного обучения: мотива ция учения, подача информации малыми дозами, установление обратной связи, наличие самостоятельной работы с самопровер кой решений.

Проверку знаний предлагается осуществлять с помощью тес тов, составленных с учетом различных вариантов ответов: конструи рование, дополнение или выбор. Для проверки умений надо решить несколько контрольных задач. Правильность ответов на вопросы те стов и решения задач можно проверить в разделе «Самопроверка ре шения контрольных задач» в конце учебного пособия.

Аксонометрическая проекция — наглядное, метрически опре деленное изображение. Построение такого изображения выполня ется по заданным ортогональным проекциям. Изменение размеров изображения на аксонометрической проекции относительно ис

www.phoenixbooks.ru

4 Начертательная геометрия

тинных размеров предмета осуществляется двумя способами: ана литическим или графическим. Аналитический предполагает ум ножение истинных размеров на коэффициенты искажения, гра фический — использование графических масштабов или номограмм. Разумеется, проводить огромное количество вычис лений неудобно, поэтому наиболее применим графический спо соб, для которого разными авторами разработаны варианты гра фических масштабов, или номограмм. Стандартом рекомендуется применение приведенных коэффициентов искажения, что значи тельно упрощает построение. Но даже в этом случае возникает необходимость рассчитывать или графически определять размеры осей эллипсов, являющихся аксонометрическими проекциями окружностей. Наиболее наглядны прямоугольные аксонометри ческие проекции. Схема построения любой прямоугольной аксо нометрии такова: вначале строятся ортогональные проекции, после — аксонометрические оси и затем графический масштаб, или номограмма. Замеряется размер на ортогональной проекции, переносится на графический масштаб, или номограмму. На номо грамме производится вспомогательное построение, в результате оп ределяется измененный размер. Полученный размер измеряется на номограмме и откладывается на аксонометрической оси. При вы полнении этих манипуляций возникает возможность как минимум трижды допустить погрешность: при замере размера на ортого нальной проекции и откладывании его на шкалу номограммы, при выполнении построений на ней и при переносе его на аксо нометрическую ось. Сложным является построение эллипсов, а точнее овалов, их заменяющих, даже в тех случаях, когда они представляются аксонометрическими проекциями окружностей, расположенных параллельно координатным плоскостям.

Как избежать такого большого количества погрешностей? Как упростить построения? Как избавиться от необходимости приме нения только стандартных аксонометрических проекций, не всегда дающих наилучшую наглядность? Ответы на эти вопросы содер жатся в учебном пособии. Здесь предложена методика построения аксонометрии на основе упрощенного способа, разработанного В.С. Левицким в «Курсе начертательной геометрии» под редакци ей Н.Ф. Четверухина. В процессе исследования, в результате вы

www.phoenixbooks.ru

Предисловие 5

полнения большого количества построений было установлено, что несомненными достоинствами этого способа являются про стота построений, исключение погрешностей размеров, применение единого для всех прямоугольных аксонометрий метода построения окружности, независимо от ее положения, а также возможность не ограничиваться стандартными видами аксонометрий. В учебном пособии кроме теоретического материала приводятся решения типовых задач по ортогональным проекциям и примеры выпол нения студенческих работ по аксонометрии.

www.phoenixbooks.ru

6 Начертательная геометрия

ВВЕДЕНИЕ

Целью данной работы является сообщение сведений, необхо димых для практического применения теории ортогональных и аксонометрических проекций в дизайнерском, архитектурном и техническом проектировании. Необходимость создания такого учебного пособия обусловлена применением инновационных ме тодов обучения. В ортогональных — использование развивающе го обучения на основе мотивации учения, подачи информации малыми дозами с самопроверкой, наличие самостоятельной рабо ты. В аксонометрии — разработка новых способов построения и преобразования проекций, основанных на применении перспек тивно афинного соответствия, при котором отпадает необходи мость в проведении условных вычислений или применении гра фических масштабов, номограмм. Такие методы обучения позволят расширить возможности применения и трансформации ортогональных и аксонометрических проекций в практической деятельности будущих специалистов.

Данное учебное пособие в первую очередь адресовано студен там вузов, обучающихся по специальности изобразительное ис кусство, которые в процессе обучения не получают специальной математической подготовки. Поэтому изложение учебного мате риала по начертательной геометрии для них должно осуществ ляться с наибольшим упором на применение графических пост роений, а не математических доказательств. Учебное пособие может быть также использовано для подготовки архитекторов, дизайнеров и специалистов других профилей.

www.phoenixbooks.ru

Предисловие 7

ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

1.Точки в пространстве в ортогональных проекциях обознача ются прописными буквами латинского алфавита: A, B, C, D, E... и цифрами 1, 2, ..., в аксонометрии: A, B, C, D, E, ...

2.Прямые и кривые линии в пространстве обозначаются строчными буквами латинского алфавита: a, b, c, d, e... и т. д.

3.Ортогональные проекции точек и прямых обозначаются теми же буквами, что и в натуре, с добавлением нижнего

индекса в соответствии с индексом плоскости проекций: А1, А2, А3, а1, а2, а3...

4.Плоскости обозначаются строчными буквами греческого алфавита: α, β, γ, σ, π..., их проекции обозначаются теми же буквами с нижним индексом: π1, π2, π3...(απ1, απ2, απ3).

5.Поверхности обозначаются прописными буквами греческо го алфавита: Ζ, Θ, Κ, Μ, Ρ, Σ, Τ, Φ, ...

6.Оси проекций на ортогональном чертеже обозначаются

буквами Х12, Z23 и т. д. Цифры показывают, в результате пе ресечения каких плоскостей проекций образована данная ось.

7.Совпадение двух элементов обозначается знаком : А В;

a b. Пересечение двух прямых, плоскостей обозначается знаком × : a × b = K, α × β = l... Параллельность прямых, плоскостей обозначается знаком || .

8.Прямой угол обозначается дугой.

9.Перпендикулярность прямых, плоскостей, прямой и плос кости обозначается знаком .

www.phoenixbooks.ru

8 Р а з д е л 1. Ортогональные проекции

Раздел 1

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ

Òåìà 1. ИЗОБРАЖЕНИЕ ТОЧКИ

И ПРЯМОЙ, ИХ ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ

ЗАДАНИЕ

1. Ответить на вопросы для самопроверки.

1.Что называется ортогональным чертежом?

2.Какими свойствами обладает ортогональный чертеж?

3.Что называется координатой точки?

4.Какими координатами определяется положение горизон тальной и фронтальной проекций точки?

5.Какие прямые частного положения вы знаете? Сформули руйте их признаки на чертеже.

6.Как располагаются проекции пересекающихся, параллель ных и скрещивающихся прямых?

7.Как формулируется способ прямоугольного треугольника для определения натуральной величины отрезка?

2. Решить в тетради следующие задачи (условия задач записать кратко).

Задача 1. Построить ортогональные проекции:

а) точки А, удаленной от плоскости π1 на 10 мм, от плоскости π2 — на 20 мм, от π3 — на 30 мм;

б) точки В, удаленной от π1 и π2 — на 30 мм, от π3 — на 40 мм; в) точки С, принадлежащей π2, отстоящей от π1 на 20 мм, от

π3 — на 25 мм;

www.phoenixbooks.ru

Т е м а 1. Изображение точки и прямой... 9

План решения: 1) запишите координаты каждой точки, например: А (х, y, z); 2) постройте проекции точек А, В, С на одном чертеже.

Задача 2. Построить проекции отрезка АВ, один конец которо го расположен в плоскости π1 на расстоянии 40 мм от π2, а другой удален от π1 и π2 на 10 мм. Определить натуральную величину от резка АВ и углы наклона его к π1 и π2.

План решения: 1) запишите координаты точек А и В, постройте их проекции; 2) постройте дважды прямоугольные треугольники (на фронтальной и горизонтальной проекции отрезка).

Задача 3. Через точку С провести прямую m || π1 и пересекаю щую прямую АВ общего положения (рис. 1).

Анализ условия: прямая m || π1 — это горизонтальная прямая, координата Z всех точек одинакова, m2 || Х12.

Задача 4. Через точку А провести прямую АВ, параллельную профильной прямой KL, используя профильные проекции прямых или пропорциональность параллельных отрезков (рис. 2).

Указание. Если вы затрудняетесь ответить на вопросы и ре шить задачи, то следует обратиться к теории, изложенной далее.

www.phoenixbooks.ru

10 Р а з д е л 1. Ортогональные проекции

ИНФОРМАЦИЯ

1.1. Ортогональные проекции точки

Рассмотрим на наглядном изображении проецирование на две взаимно перпендикулярные плоскости π1 и π2 двумя пучками па раллельных лучей, каждый из которых перпендикулярен к соот ветствующей плоскости. Эта пространственная модель представ лена на рис. 3. Если надо спроецировать на плоскости π1 и π2 точку А, то из нее опускаем перпендикуляры а и b на плоскости

проекций.

Проекциями точки А на плоскостях π1 и π2 являются точки пере" сечения проецирующих лучей а и b с плоскостями проекций π1 и π2.

Теперь надо перейти от пространственной модели к ортого нальному чертежу. Уберем точку А, лучи а и b, а плоскость π1 опу

стим вниз до совмещения ее с π2.

Чертеж, полученный путем совмещения плоскостей проекций, на" зывается ортогональным (рис. 4).

Выделим свойства ортогонального чертежа.

Свойство 1. На ортогональном чертеже горизонтальная и фрон тальная проекции точки расположены на одном перпендикуляре к оси проекций Х12.

Для доказательства рассмотрим рис. 3. Плоскость АА2АхА1× π1 и π2, так как лучи а π1 и b π2. Значит, она Х12. После совме щения плоскостей π1 и π2 прямая А2АхА1 Х12.

www.phoenixbooks.ru