Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4607 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Ивановский Государственный Энергетический Университет им. В.И. Ленина
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Инженерные методы.Слайды - часть 2

.pdf
Скачиваний:
26
Добавлен:
07.03.2015
Размер:
391.18 Кб
Скачать
☆

Точность уравнения регрессии

Точность предсказания будет высокой, если сумма квадратов, обусловленная регрессией, будет много больше суммы относительно регрессии

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

SS ˆ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R2

 

 

 

 

 

 

yy

 

не должно слишком отличаться от единицы

 

 

 

 

 

 

SSyy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

SS

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

=

 

yy

 

общая дисперсия

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n − 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

SS

 

 

( y - yˆ

)2

 

å( y - b - b x )2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

å

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yyˆ

 

 

 

 

 

остаточная

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sy2,ост

=

 

 

 

 

 

=

 

 

 

i i

 

=

i 0 1 i

 

 

 

n - 2

 

 

 

n - 2

 

n - 2

дисперсия

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

2

 

 

 

1

(å y0,i )

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

дисперсия

 

 

 

 

 

 

 

 

å( y0,i - y0 )

 

 

 

 

1

m

 

 

 

 

 

 

å y0,i

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

y0

=

 

å y0,i

 

 

2

 

i=1

 

 

 

 

 

 

 

воспроизводимости

 

 

 

 

 

 

 

 

m

Sвос

=

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

i=1

m -1

 

 

m -1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Инженерные методы обработки

11

результатов эксперимента

Точность уравнения регрессии

Проверяется, значимо ли отличается остаточная дисперсия от дисперсии

воспроизводимости

 

 

 

 

 

2

 

 

F =

S

 

 

 

y,ост

 

 

 

 

 

2

 

α

 

 

 

S

 

 

 

 

 

вос

ν1 = n - 2

по таблице определяется Fкр

ν2 = m - 1

 

 

 

 

 

 

 

Сравниваем значения

F и Fкр

F > Fкр

Более вероятно, что остаточная

дисперсия включает в себя наравне со случайными отклонениями систематическую погрешность,

обусловленную несоответствием математического описания реальному процессу. В этом случае

уравнение регрессии признается неадекватным

F < Fкр

Наблюдаемые отклонения результатов эксперимента от линии регрессии можно объяснить только влиянием случайных возмущений,

поэтому найденное уравнение регрессии признается адекватным реальному процессу

 

Инженерные методы обработки

12

результатов эксперимента

Точность уравнения регрессии

Если остаточная дисперсия будет меньше дисперсии воспроизводимости, то следует проверить, значимо ли они отличаются друг от друга

 

 

 

 

 

вос2

F =

S

 

 

 

y2,ост

 

S

α

 

 

 

 

 

 

ν1 = m - 1

по таблице определяется Fкр

ν2 = n - 2

 

 

 

 

 

 

Сравниваем значения

F и Fкр

F > Fкр

Погрешность экспериментальных данных существенно выше, чем

погрешность расчета по уравнению регрессии, полученном на основе этих данных.

Такая ситуация формально невозможна

F < Fкр

Остаточная дисперсия и дисперсия воспроизводимости статистически неразличимы, поэтому погрешность

прогнозирования поведения функции отклика по уравнению регрессии находится в пределах погрешности опытов. В этом случае уравнение

регрессии признается адекватным

 

Инженерные методы обработки

13

результатов эксперимента

Точность уравнения регрессии

При отсутствии параллельных опытов невозможно оценить дисперсию воспроизводимости. Поэтому качество уравнения регрессии можно оценить,

сопоставив общую дисперсию относительно среднего с остаточной дисперсией

 

 

 

 

 

 

 

y2

 

 

 

 

 

F =

S

 

 

 

 

 

 

 

y2,ост

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ν1 = n - 1

 

по таблице определяется Fкр

ν2 = n - 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сравниваем значения

 

 

 

 

F и Fкр

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F > Fкр

 

 

 

 

F < Fкр

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение регрессии

 

Уравнение регрессии признается

соответствует результатам

 

 

неадекватным

экспериментов

 

 

 

 

 

 

 

Инженерные методы обработки

14

результатов эксперимента

Исследование коэффициентов и уравнения регрессии

Параметры ti, характеризующие разброс значений коэффициентов регрессии bi относительно βI и рассчитываемые по формуле

 

 

 

 

 

 

 

 

ti

=

bi

−

βi

имеют распределение Стьюдента

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sb

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y,ост x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y,ост

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

Sb =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sb =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

0

 

 

(å xi )

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(å xi )

 

 

 

å xi

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

å xi2 -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

по таблице определяется tкр

 

 

ν1 = n - 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доверительные интервалы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b%

 

= b ±

 

 

 

 

 

t

 

 

 

b%

= b ±

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

b

 

кр

 

b

кр

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Инженерные методы обработки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

результатов эксперимента

Исследование коэффициентов и уравнения регрессии

Для линии регрессии среднеквадратическое отклонение равно

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

(x - x )2

 

 

 

 

Syˆ

= Sy,ост

 

 

 

 

 

 

n +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

å x2

-

 

1

(å x )2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

n

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доверительный интервал:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y% = b + b x ±

 

 

t

 

 

1

+

 

 

(x - x )2

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

å x2

- 1

(å x )2

 

0

 

 

1

 

 

 

y,ост

кр

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

n

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Предположим, что X и Y образуют систему случайных величин с совместным распределением вероятностей f(X,Y). В этом случае коэффициент корреляции

 

 

å(xi - x )( yi - y )

 

 

 

 

 

 

rxy

 

 

 

 

 

 

rxy =

 

 

 

tr

=

 

 

 

 

n - 2

 

> tкр

 

 

 

 

 

 

 

å(x - x )2

å( y - y )2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1- r2

 

 

i

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Инженерные методы обработки

16

результатов эксперимента

Исследование коэффициентов и уравнения регрессии

Предположим, что X и Y образуют систему случайных величин с совместным распределением вероятностей f(X,Y). В этом случае коэффициент корреляции

 

 

å(xi - x )( yi - y )

 

 

 

 

 

rxy

 

 

 

 

 

 

rxy =

 

 

 

tr =

 

 

 

 

n - 2

 

> tкр

 

 

 

 

 

 

 

å(x - x )2

å( y - y )2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1- r2

 

 

i

i

 

 

 

 

 

 

 

 

xy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Корреляционную зависимость не следует путать с причинной зависимостью. Две независимые величины всегда некоррелированы и для них rxy = 0. Обратное утверждение не имеет места: две некоррелированные величины не обязательно независимы, зависимость между ними может быть нелинейной.

С другой стороны, сильная корреляция двух переменных не обязательно означает причинную взаимосвязь между ними. Возможно, что имеется некоторая иная не учтенная в эксперименте независимая переменная, которая обуславливает значения первых двух таким образом, что между ними наблюдается зависимость, близкая к линейной.

 

Инженерные методы обработки

17

результатов эксперимента

Нелинейная регрессия

Довольно часто хорошее согласование дает приближение полиномом второй степени

у = a + bx + cx2

n

é y

- (a + bx + cx2 )ù

2

U = å

 

 

i=1

ë i

i

i

û

 

 

 

 

 

 

 

ìU

ïï a

ï¶U

í

ïb

ïU

ï

î c

=-2å(yi - a - bxi - cxi2 ) = 0

=-2å(yi - a - bxi - cxi2 )xi = 0

=-2å(yi - a - bxi - cxi2 )xi2 = 0

ìan + bå xi + c

å xi2 = å yi

ï

 

+ bå xi2

+ cå xi3 = å yi xi

íaå xi

ïaå x2

+ bå x3

+ cå x4

= å y x2

î

i

i

i

i i

 

Инженерные методы обработки

18

результатов эксперимента

Нелинейная регрессия

Оптимальный порядок многочлена определяют следующим образом.

Выбирают некоторое 1 ≤ k ≤ n , равное количеству коэффициентов

1регрессии, и по равенству нулю частных производных находят значения этих

коэффициентов

 

)

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

y2,ост = å( yi - yi )

3

 

 

 

y,ост =

 

 

y2,ост

 

 

 

S

S

S

 

 

 

 

n - k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сравниваем значения

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

Sy,ост и ε

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sy,ост >> ε

 

 

Sy,ост << ε

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Переходят к описанию

 

 

 

 

 

 

Старшие коэффициенты

 

 

 

 

 

 

 

аппроксимации физически

 

 

полиномом более высокой

 

 

 

 

 

недостоверны, и в уравнении

 

 

 

 

степени

 

 

 

 

 

 

 

 

регрессии необходимо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

уменьшить количество членов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y,ост ≈ ε . Однако,

5

Оптимальным признается значение k, при котором

 

 

S

если k ≈ n , то следует поискать более подходящий вид

 

аппроксимирующей функции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Инженерные методы обработки

 

 

 

 

 

19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

результатов эксперимента

Нелинейная регрессия

Довольно часто вид зависимости принципиально отличается от линейной или параболической по физическим соображениям или по характеру расположения экспериментальных точек.

Для некоторых типов зависимостей подбор коэффициентов уравнения регрессии может быть значительно облегчен путем преобразования переменных и сведения уравнений к линейному или параболическому виду (ниже приведены примеры)

1

y = a + b

x1 =

1

 

x

 

x

2

y = abx

ln ( y) = ln (a) + x ln (b)

 

 

 

Sy,ост и ε

y = a + bx1

y1 = ln ( y), a1 = ln (a) , b1 = ln (b)

При нелинейной регрессии в качестве показателя тесноты связи между

S

 

>> ε

Sy,ост << ε

величинами х и у применяется корреляционное отношение ηxy, величина

 

y,ост

 

 

которого может быть определена через общую и остаточную дисперсии

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2 (n −1)

−

 

 

 

(n − k )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2,ост

 

 

 

 

1 n − k

ηxy =

S

S

 

ηxy = 1

−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sy2 (n −1)

 

F n −1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 ≤

 

r

 

≤η

 

≤1

 

В случае линейной регрессионной

 

ηxy =

 

rxy

 

 

 

 

 

зависимости величины ηxy и rxy

 

 

 

 

 

 

xy

 

 

 

xy

 

 

 

 

 

 

совпадают по абсолютной величине

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Инженерные

методы обработки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20

 

 

 

результатов эксперимента
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности