III. Первый закон термодинамики

1. Первый закон термодинамики:

,

где δQ– элементарное количество теплоты, сообщенное термодинамической системе;

dU– бесконечно малое изменение внутренней энергии термодинамической системы;

δA– элементарная работа, совершенная термодинамической системой.

2. Количество теплоты, полученное или отданное системой в процессе,

,

где T₁иT₂– температуры начального и конечного состояния газа;

v– количество молей газа;– молярная теплоемкость газа в процессе.

3. Внутренняя энергия идеального газа

.

Изменение внутренней энергии идеального газа в процессе:

.

4. Элементарная работа газа (работа газа при равновесном, бесконечно малом изменении объема)

.

Работа газа в процессе

,

где V₁иV₂– объемы начального и конечного состояния газа.

5. Теплоемкости идеального газа при постоянном объеме и постоянном давлении:

,.

6. Соотношение Майера:

.

7. Уравнение адиабатного (происходящего без теплообмена) процесса:

,

где – коэффициент Пуассона.

8. Уравнение политропного (происходящего при постоянной теплоемкости) процесса:

,

где n– показатель политропы.

Примеры решения задач

Задача 1.Газообразный водород, находившийся при нормальных физических условиях в закрытом сосуде объемом 5,0 л, охладили на 55 К. Определить приращение внутренней энергии газа и количество отданного им тепла.

Дано: Решение:

р_о= 10⁵ ПаПервый закон термодинамики:

Т_о= 273 К. (1)

V_o= 5,0·10^-3 м³Для изохорного процесса работа газа

∆Т = – 55 К. (2)

Q, ∆E – ?

Изменение внутренней энергии идеального газа

. (3)

Уравнение состояния идеального газа:

. (4)

Решая систему уравнений (1) – (4), получаем

.

Для молекулярного водорода число степеней свободы молекулы i=5.

Проверка размерности:

.

Вычисления:

.

Ответ: .

Задача 2. Три моля идеального газа при температуре 300 К изотермически расширили в 4 раза, а затем изохорно нагрели так, что его давление стало равно первоначальному. За весь процесс газу сообщили количество теплоты 67 кДж. Определить коэффициент Пуассона для этого газа.

Дано: Решение:

Т₁= 300 КВ процессе изотермического расширения

газа из состояния в состояние

Q= 6,7·10⁴ Джк газу подводится теплота

.

В процессе изохорного нагрева к газу подводится количество теплоты

Для нахождения T₃воспользуемся уравнениями изохорного и изотермического процессов:

,.

Для T₃получим.

Коэффициент Пуассона связан с числом степеней свободы молекулы

газа соотношением .

Из этого выражения следует, что .

Для окончательно получаем

.

При переходе газа из состояния Iв состояниеIIIзатрачивается количество теплоты

. (1)

Из (1) выразим коэффициент Пуассона

.

Убедимся, что соотношение является безразмерной величиной:

.

Вычисления:

.

Ответ: 1,4.

Задача 3.Объем одного моля идеального газа с коэффициентом Пуассона γ = 5/3 изменяют по законуVT=a, где а – положительная константа. Определить количество теплоты, полученное газом в этом процессе, если его температура возросла на 60 К.

Дано: Решение:

Первый закон термодинамики:

ν = 1 моль. (1)

∆Т = 60 КБесконечно малое изменение внутренней энергии

. (2)

Элементарная работа . (3)

Перепишем первый закон термодинамики, выразив изменения термодинамических функций через изменения термодинамических параметров, т.е. подставим уравнения (2) и (3) в уравнение (1):

. (4)

Выразим уравнение процесса в параметрах PиV. Для этого воспользуемся уравнением состояния газа и уравнением процесса, данным в условии задачи:

.

Исключая температуру, получим

. (5)

Выразим число степеней свободы через коэффициент Пуассона:

. (6)

Подставляя уравнения (5) и (6) в уравнение (4) приходим к выражению

. (7)

Интегрируя (7), получаем

.

Проверка размерности:

.

Вычисления:

.

Ответ: 0,25 кДж.

Задача 4.Определить молярную теплоемкость идеального газа в политропном процессе, еслиn= 3, а коэффициент Пуассона этого газа γ = 5/3.

Дано: Решение:

n = 3Первый закон термодинамики:

γ = 5/3 . (1)

Выразив изменения термодинамических функций через изменения термодинамических параметров,

,,,

и подставив их в уравнение (1), получаем

. (2)

Выразив давление из уравнения процесса, данного в условии, и подставив в уравнение (2), получаем

. (3)

Определим производную . Для этого воспользуемся уравнениями политропического процесса и состояния идеального газа и выразим уравнение процесса в параметрахV иT:

. (4)

Дифференцируя (4), получаем и подставляем в (3):

.

Проверка размерности:

.

Предельные случаи:

1) при n = 0получаемр = const, т.е. теплоемкость дли изобарного процессаC_μn = C_μp;

2) при n = γполучаемS = const, т.е. теплоемкость адиабатного процессаC_μn = 0.

Вычисления: .

Ответ: .