Рассмотрим тороид, намотанный на сердечник из однородного и изотропного магнетика. Если по тороиду пропустить ток I, то внутри него возникнет магнитное поле, которое можно достаточно просто рассчитать с помощью теоремы о циркуляции вектора .

Из соображений симметрии ясно, что линии вектора поля тороида представляют собой окружности, центры которых расположены на оси вращения 00 тора. Ось 00 проходит через точку 0, перпендикулярно плоскости чертежа (рис. 12). Направление линийсвязано с направлением токаI в витках обмотки правилом правого винта. Поэтому при расчете поля внутри тороида в качестве контура интегрирования L удобно взять одну из таких линий с произвольным радиусом r. Направление обхода контура L выбирается одинаковым с направлением линии (рис. 12). Тогда на основании теоремы о циркуляции вектораможно записать:

, (11)

где N – число витков в обмотке тороида (все витки охватываются контуром интегрирования). Учитывая, что модуль вектора во всех точках такого контура будет постоянным, выражение (7) можно переписать следующим образом:

или

. (12)

Откуда находим выражение для H:

. (13)

Анализ формулы (9) показывает, что магнитное поле внутри тороида в общем случае неоднородно – напряженность поля H уменьшается при увеличении r от до:

, (14)

, (15)

где – диаметр витков обмотки тороида.

Если контур интегрирования выбрать в виде окружности с центром, лежащим на оси 00, и радиусом, то он вообще не охватит витков обмотки с током (NI=0). Поэтому, согласно (7), в области, для которой выполняется неравенство , напряженность магнитного поляH=0.

Если контур интегрирования выбрать в виде окружности с радиусом, то алгебраическая сумма токов в витках обмотки, охватываемых контуром, равнаNI-NI=0 и, согласно (7), в области, в которой , напряженность магнитного поляH=0. Следовательно, вне тороида магнитного поля нет.

Напряженность магнитного поля на средней линии тороида равна

(16)

где – длина средней линии тороида.

Если увеличивать средний радиус тороида , сохраняя диаметр его витковd и число витков на единицу длины , то неоднородность поля внутри тороида будет уменьшатся. Притороид называюттонким, а поле в нем будет практически неизменным по модулю .

Экспериментальная часть

1. Метод измерений

Магнитная проницаемость ферромагнетиков зависит от напряженностимагнитного поля. По этой причине от величины зависят и те характеристики контура электрической цепи, которые связаны с магнитной проницаемостью ферромагнитного сердечника, например, индуктивность тороида :

(17)

и его индуктивное сопротивление переменному току :

, (18)

где – магнитная постоянная; – число витков тороида, – площадь поперечного сечения сердечника тороида; – длина средней линии сердечника тороида;– циклическая частота переменного тока.

В данной работе измерение магнитной проницаемости сердечника основано, согласно формуле (17), на измерениях индуктивности катушки и ее геометрических параметров ,и . Для определения индуктивности достаточно измерить индуктивное сопротивление катушки переменному току известной частоты. Полное сопротивление катушки переменному току

, (19)

так как обычно , то величиной активного сопротивления катушки можно пренебречь по сравнению с индуктивным сопротивлением переменному току частоты 200 Гц.

Закон Ома позволяет определить величину путем измерений тока и напряжения на участке цепи, содержащем тороид

. (20)

Расчетная формула для определения магнитной проницаемости , полученная с использованием выражений (17), (18), (19), (20), имеет следующий вид:

, (21)

где – постоянная установки.

Напряженность магнитного поля, которое создается в тороидальном сердечнике при протекании по обмотке тока , можно приближенно рассчитать по формуле (16)

. (22)

Таким образом, каждому значению тока I соответствуют определенная напряженность магнитного поля , магнитная проницаемость сердечника и индукция магнитного поля:

. (23)

Определяя величины , и при различных токах, можно экспериментально установить следующие зависимости:

а) – зависимость магнитной индукции от напряженности магнитного поля (основная кривая намагничивания ферромагнетика);

б) – зависимость магнитной проницаемости сердечника от напряженности магнитного поля.

2. Описание экспериментальной установки

Электрическая схема установки показана на рис. 13, монтажная –

на рис.14.

Рис. 13. Электрическая схема:

1 – генератор сигналов специальной формы;

2 – мультиметр(режим , входы COM, A);

3 – блок «Сопротивление», = 100 Ом;

4 – мультиметр (режим V2 V, входы COM, VΩ);

5 – кольцевой сердечник с обмотками и;

6 – блок «Ферромагнетик».

На тороидальный сердечник 5, изготовленный из исследуемого ферромагнитного материала, намотаны проволочных витков. Эта обмотка, по которой пропускают переменный ток частоты 200 Гц, служит для намагничивания магнетика, и по ее параметрам определяют напряженность намагничивающего поля. Генератор сигналов специальной формы 1 позволяет изменять напряжение , а следовательно, и ток в обмотке тороида. Эти величины измеряют соответственно вольтметром 4 и миллиамперметром 2.

Рис. 14. Монтажная схема: 2 – мультиметр(режим , входы COM, A);

3 – блок «Сопротивление», = 100 Ом; 4 – мультиметр (режим V2 V, входы COM, VΩ); 6 – блок «Ферромагнетик».