Методические указания

К пунктам 1 – 6.

Одна и та же линия может быть “короткой” для частоты 50 Гц и “длинной” для более высоких частот. Условие отнесения линии к той или иной категории определяется соотношением , где– длина линии,и– соответственно длина волны и ее фазовая скорость. При выполнении этого условия линия относится к разряду «длинных», в противном случае – к разряду «коротких». Так, линия длиной 50 км очень коротка по сравнению с длиной волны промышленной частоты (при частоте 50 Гц в воздушной линии длина волны составляет около 6000 км). Поэтому все опыты на модели линии в данной работе проводятся на повышенных частотах: например, 500 Гц в первых опытах и несколько килогерц при дальнейших опытах.

Как известно из курса, основные уравнения линии как четырехполюсника имеют вид:

; (15.1)

, (15.2)

где и– напряжения соответственно в начале и в конце линии;

и – токи в начале и в конце линии;

Z_С = – характеристическое или волновое сопротивление линии – один из ее вторичных параметров;

 = – постоянная распространения линии – другой ее вторичный параметр;

Z₀ = R₀ + jL₀ – комплекс полного сопротивления линии на единицу ее длины;

Y₀ = G₀ + jC₀ – комплекс полной проводимости линии на единицу длины;

R₀, L₀, G₀, C₀ – первичные параметры длинной линии: активное сопротивление проводов, индуктивность линии, активная проводимость утечки изоляции и емкость между проводами линии – все на единицу длины.

Из основных уравнений вытекает простой способ определения параметров линии из опытов холостого хода и короткого замыкания (ХХ и КЗ).

При ХХ ;

;

.

Отсюда входное сопротивление линии при холостом ходе

. (15.3)

При КЗ ;

;

.

Отсюда входное сопротивление линии при коротком замыкании

. (15.4)

Из (15.3) и (15.4) имеем:

. (15.5)

Разумеется, в формулу (15.5) необходимо подставить комплексы Z_XX и Z_КЗ, а для их определения при опыте надо измерить не только величину напряжения и тока, но и угол сдвига между ними, что может быть сделано с помощью вольтметра, амперметра и ваттметра или фазометра с обязательным учетом направления сдвига, т.е. знака угла.

Постоянная распространения также определяется на основе соотношений (15.3) и (15.5). Разделив (15.4) на (15.5), имеем:

,

откуда

. (15.6)

Применяя известную формулу

,

окончательно получаем:

. (15.7)

Поскольку Z_КЗ и Z_XX – комплексы,  – также комплексное число:

.

Напомним, что вещественная часть постоянной распространения опреде­ляет затухание волны по величине, а мнимая часть – сдвиг по фазе (то и другое на единицу длины). По найденным значениям вторичных параметров иопределяют первичные:,,и.

При расчетах по уравнениям (15.1) и (15.2) и других вычислениях, связанных с длинными линиями, приходится иметь дело с гиперболическими функциями комплексного аргумента. Для их численного определения можно воспользоваться соотношениями:

; (15.8)

. (15.9)

Если линия включена на согласованную нагрузку, т.е. на сопротивление, равное волновому, то отношение модулей напряжений и токов в начале и в конце линии равно

.

Натуральный логарифм этой величины представляет затухание, выраженное в неперах:

. (15.10)

Один непер, таким образом, соответствует затуханию по напряжению или току в е = 2,718281828… раз, а по мощности – враз.

Фазовая скорость движения волны, как известно, связана с мнимой частью постоянной распространения соотношением

(15.11)

В случае линии без искажений (в частном случае – линии без потерь)

; (15.12)

. (15.13)

При расчетах следует обратить внимание на то, что фазовая скорость не может превышать скорость света. Последнее является необходимым условием корректности результатов измерения и определения .

К пункту 7.

При выполнении расчетов в первом приближении можно считать исследуемую линию линией без потерь ().

В этом случае уравнения (15.1) и (15.2) принимают вид:

; (15.14)

, (15.15)

где – длина волны.

Входное сопротивление линии, нагруженной на сопротивление , в общем случае равно

, (15.16)

а в случае линии без потерь

. (15.17)

При холостом ходе и при коротком замыкании отсюда получаем для линии без потерь вместо формул (15.3) и (15.4) следующие соотношения:

; (15.18)

. (15.19)

Из (15.18) и (15.19) видно, что при определенных соотношениях между длиной линии и длиной волны Z_XXиZ_КЗобращаются в нуль или бесконечность. Частоты, при которых это происходит, называются резонансными.

В отличие от цепи с сосредоточенными параметрами линия имеет бесчис­ленное множество резонансных частот.

Если плавно увеличивать частоту с нуля, то, как показывает анализ (15.18) и (15.19), первый резонанс наступит тогда, когда длина линии составит четверть волны, то есть .

Обозначим частоту этого первого резонанса как f₀. Как видно из формул (15.18) и (15.19), в этом случаеZ_XX = 0иZ_КЗ = .

Очевидно, что

. (15.20)

Остальные частоты резонансов кратны f₀, и им соответствуют соотноше­ния=/2,= 3/4,=и т.д.

Из табл. 15.4 ясно, как чередуются резонансы.

Таблица 15.4. Резонансы в длинной однородной линии без потерь

Частота	f0	2f0	3f0	4f0	5f0	…
/	1/4	1/2	3/4	1	5/4	…
ZXX	0	∞	0	∞	0	…
ZКЗ	∞	0	∞	0	∞	…

В линии с потерями сопротивления Z_ХХ иZ_КЗпри резонансах, конечно, не равны 0 или. Можно показать, что в этом случае они принимают значения соответственно:

; (15.21)

. (15.22)

К пункту 8.

Резонансы тесно связаны с явлением стоячих волн в линии, которые наиболее ярко выражены в линии без потерь при холостом ходе и коротком замыкании или при чисто реактивной нагрузке, поскольку в этих случаях потребляемая в конце линии мощность равна нулю.

При холостом ходе в конце линии всегда находится узел тока и пучность напряжения, при коротком замыкании – наоборот (в узле ток или напряжение тождественно равны нулю, а пучность тока или напряжения соответствует их максимальному значению).

Типичные кривые распределения напряжения и тока вдоль линии при стоячих волнах показаны на рис.15.2. Из этих кривых ясно видно, почему входные сопротивления при резонансах именно таковы, как в табл. 15.4:Рис.15.2. Стоячие волны в линии без потерь при холостом ходе и коротком замыкании

если на линии укладывается целое число полуволн, значит, при холостом ходе и в начале линии, как и в конце, находится узел тока и пучность напряжения, т.е. входное сопротивление при холостом ходе бесконечно большое; при коротком замыкании, наоборот, и в начале и в конце линии имеют место узел напряжения и пучность тока, следовательно, входное сопротивление равно нулю. Если же на линии укладывается нечетное число четвертей волны (/4, 3/4, 5/4 и т.д.), тогда узлу напряжения или тока в конце линии соответствует пучность в начале и наоборот, так что при коротком замыкании входное сопротивление бесконечно и при холостом ходе равно нулю (если говорить о линии без потерь).