Kontrolnaya_po_mat_logike_2014

4

2014г

Контрольная работа по

математической логике и теории алгоритмов

В контрольной работе каждый студент обязан письменно выполнить два вопроса теоретической части: один вопрос по математической логике и один вопрос по теории алгоритмов. Номер вопроса равен последней цифре в зачетной книжке. Каждый студент выполняет все задания практической части.

Вопросы теоретической части, не вошедшие в контрольную работу, студент должен прочитать и выучить.

Теоретическая часть

Математическая логика

1. Высказывания. Логические операции (логические связки) над высказываниями. Формулы логики высказываний. Понятие тождественно истинных (тавтологии) и тождественно ложных формул логики высказываний.

2. Основные равносильные формулы логики высказываний (таблица основных равносильностей).

3. Алгебра Буля. Выражение основных равносильных формул в терминах алгебры Буля. Закон двойственности.

4. Дизъюнктивная нормальная форма и совершенная дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ и СДНФ).

5. Конъюнктивная нормальная форма и совершенная конъюнктивная нормальная форма (КНФ и СКНФ).

6. Правила вывода. Производные правила вывода.

7. Предикаты. Логические операции над предикатами.

8. Теоретико-множественный смысл логических операций над предикатами. Непротиворечивость исчисления предикатов.

9. Кванторные операции. Связь между кванторными операциями. Формулы логики предикатов.

10. Общезначимость и выполнимость формул.

Теория алгоритмов

1. Определение алгоритма. Свойства алгоритма.

2. Разрешимые и перечислимые множества. Уточнение понятия алгоритма.

3. Устройство машины Тьюринга. Работа машины Тьюринга.

4. Нормальные алгоритмы Маркова.

5. Операции над алгоритмами Маркова.

6. Построение вычислимых функций. Операции суперпозиции, примитивной рекурсии и минимизации.

7. Рекурсивные функции. Частично-рекурсивные функции, вычислимость частично-рекурсивных функций.

8. Тезис Черча. Примеры вычислимых функций. Формула Клини.

9. Сложность вычислений. Мера сложности.

10. Понятие NP-полных задач.

Практическая часть

Задание №1. Доказать тождественную истинность или тождественную ложность формул логики высказываний:

1. x  y  x;

2. x  (x  y);

3. (x  y)  ( y   x;

4. ( y   x) (x  y);

5. (x  y)  (x y)   x;

6. x  (x  y)  (x   y);

7. x   x  y   y;

8. (x  (y  z))  ((x  y)  (x  z));

9. (z  x)  ((z  y)  (z  x  y));

10. (x  z)  ((y  z)  ((x  y)  z));

11. (x  (y  z))  (x  y  z);

12. (x  y  z)  (x  (y  z)).

Задание № 2. Изобразите на диаграммах ЭйлераВенна области истинности для следующих предикатов:

1.  P(x)   Q (x);

2.  P(x)   Q (x);

3. (P(x)  Q (x))  R(x)   Q(x);

4. P(x)  (Q (x)   Q(x));

5. P(x)  Q (x)   R(x).

Задание №3. Изобразите на координатной плоскости области истинности предикатов:

1.  (x > 2)  (x < y);

2. (x  y)  (x  1);

3. (x  3)  (y < 5);

4. ((x > 2)  (y  1))  ((x < -1)  (y < -2));

5. ((x > 2)  (y > 1))  ((x < -1)  (y < -2)).

Задание №4. Реализовать на машине Тьюринга алгоритм вычисления функции f(n)=n+4.

Задание №5. Построить машину Тьюринга, которая из n записанных звездочек (٭) оставляла бы на ленте n-2 звездочки, так же записанных подряд, если n  2, и работала бы вечно, если n=0 или n=1.

Задание №6. Определить какую функцию вычисляет машина Тьюринга со следующей программой команд:

	a0	٭
q1	٭Hq0	٭П q1

Задание №7. Построить машину Тьюринга, вычисляющую функцию

f(n) = n/2 в десятичной системе счисления с отбрасыванием остатка.

Задание №8. Построить машину Тьюринга, вычисляющую функцию f(n)=2n в десятичной системе счисления.

Задание №9. Построить машину Тьюринга с алфавитом < a₀ , ٭ >, вычисляющую функцию f(n)=2n.

Задание №10. Построить машину Тьюринга с алфавитом < a₀ , ٭ >, вычисляющую функцию f(n)=5n десятичной системе счисления.

Задание №11. Дана машина, которая имеет два входа – a (первый операнд) и b (второй операнд), b≠0. Машина выполняет только одну функцию – f(a,b) = 1 – a/b. Запрограммировать на такой машине вычисление:

• a + b,

• a – b,

• ab,

• a/b.

Задание №12. Построить блок-схемы:

• алгоритма построения бинарного кода Грея;

• алгоритма Флойда.

Блок-схемы выполнить по ГОСТу 19.701-90 (ИСО 5807-85).

Литература

1. Л.М. Лихтарников, Т.Г. Сукачева. Математическая логика. Курс лекций. Задачник-практикум и решения. С.-Петербург, 2008г.-288с.

2. Д.Ш. Матрос, Г.Б. Поднебесова. Теория алгоритмов. М.,БИНОМ,2008г.-202с.