Если теперь учтем неравенство
çc't~cï"t<ih |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
««2> |
или с учетом |
С 2 ^ > С і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то (13-31) примет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
АС |
|
|
[(С, + |
С 1 2 ) С г |
+ |
С, а ] |
|
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С?! + С 1 2 |
|
|
|
|
|
С] 4- Cj2 |
|
(Ci -f- Сіг) 2 |
|
(13-34) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ѵ2 |
; |
|
Поскольку |
С 1 С , 2 / ( С 1 + |
C J 2 ) 2 |
<^ 1, то приближенно |
|
|
АС |
|
|
Сг |
1 |
|
|
|
С а 4- Сі2 |
1 |
^ . |
,,о ,г, |
откуда |
|
|
|
|
U 2 |
; |
|
|
; |
|
|
|
A |
|
1 |
, 1 |
|
/ |
|
Л С \ |
|
AC |
|
|
1 + Ф 1 |
|
|
|
|
|
(13-36) |
- £ - = 1 - ^ - + — ( ^ 1 + 2 ^ |
^ 1 + g v ^ l , |
и (13-29) |
примет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
« 2 |
ß |
/ |
|
|
|
i |
\ |
|
<u2 ß |
|
|
|
|
а2 |
(а2 |
+ X2 ) |
(' |
|
"T" |
1* |
В J ~ |
а2 |
(а2 + X2 ) |
= С - |
(13-37) |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
+ |
Ф.-7гЬ= |
я |
. , д . • і»ч |
Тогда |
при |
справедливости |
(13-32) |
биквадратное |
уравнение |
(3-137) заменяется квадратным |
уравнением (13-37). |
|
|
13-6. Расчет начального распределения импульсного напряжения в трансформаторе со слоевой обмоткой
Пусть импульс напряжения падает на начало первого слоя (см. рис. 5-3), тогда в точке х k-ro слоя справедливы уравнения для за
ряда И напряжения:
^ - d x = Cdx(Ub-UK-1) + C dx ( U h - Uh+1); (13-38)
~ ~ d T ^ d x = = l t d x > |
(13-39) |
из которых, исключая заряд Q, получаем: |
|
d*Uh 2С |
С |
|
Соответствующие уравнения имеют место для всех остальных слоев, за исключением первого и последнего, где (13-38) должно быть заменено уравнениями
|
dQi |
|
|
csidxLJi |
|
|
|
(13-41) |
|
|
dx d |
x |
= |
+С |
dx (U, — U2) |
|
dQn |
dx |
= |
CBndxUn |
+ С dx (Un — Un _ , ) . |
(13-42) |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из (13-41), (13-42) |
и (13-39) |
получаются |
уравнения |
для k=\ |
|
и k=n: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dHJ, |
|
_ |
Ср+С |
|
|
(13-43) |
|
|
dx2 |
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d2U |
|
|
c + |
c |
c_ |
|
|
|
|
dx2 |
n |
|
KygnК |
|
• K |
Un-i. |
(13-44) |
Вместе с уравнениями (13-43) и (13-44) (n—2) уравнений вида (13-40) образуют систему из п совместных линейных однородных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Их частное решение может быть представлено в виде
(13-45)
где Ац. и X— неизвестные постоянные
Подставляя это выражение в систему дифференциальных урав
нений, |
получаем |
п алгебраических линейных однородных уравнений: |
|
|
|
(X2 - а,) А, + |
РЛ = |
0; |
|
|
|
|
|
0Л, + (Х2-ЩАг |
+ |
Мз = |
0; |
|
(13-46) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М « - . + ( Х 2 - О Л п " = 0 , |
|
|
в которых |
|
|
|
|
|
|
|
Система (13-46), кроме решения |
Л і = Л 2 = Л = 0 , |
имеет |
другое, |
соответствующее равенству нулю определителя системы: |
|
X2 |
— а,, |
р, |
0, |
0 |
0 |
0 |
|
|
Р, |
|
Х г - 2 р , р, |
0 |
0 |
0 |
|
|
Д = 0, |
|
р, |
Л г - 2 р , |
р, ... ,0 |
0 |
= 0. |
(13-47) |
(0, |
|
0, |
0 |
0 |
р, |
а„ |
|
|
Выражение (13-47) представляет собой уравнение п-то порядка относительно X2, которое имеет п корней (і=1 , 2, ..., я). Общее ре
шение рассматриваемой системы будет:
п
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уч = 2 ( Л , к « Ѵ + Л ' І К « ~ Ѵ ) . |
(13-48) |
|
|
|
|
|
і=.\ |
|
|
|
|
|
|
Трудность точного расчета начального распределения напря |
жения |
состеит |
прежде |
всего в том, что условие |
Д = 0 только |
в слу |
чае |
п = 2 ведет |
к сравнительно простому |
уравнению второй степени |
втносительно |
X2 , в то время как определение |
постоянных АІК и А'ш |
уже для п~3 |
требует исследования довольно |
сложных выражений. |
|
Для качественной оценки вопроса можно допустить некоторые |
упрощения, например |
можно принять, что емкости на землю |
Сй1 и |
Свп |
мало различаются |
и поэтому |
аі~а„»а. |
Благодаря этому |
полу |
чаем, |
что уравнение Д = 0 для К2 |
при п=4 будет |
квадратным |
урав |
нением. Для |
большого |
количества слоев |
можно |
принять, что аі = |
= an=a |
= 2f> или С и Сеі |
и Cgn |
имеют |
одинаковый порядок |
вели |
чины, и получить еще большее упрощение. Тогда уравнение |
Д = 0 |
для Я-—5 можно решать, как квадратное. |
|
|
|
|
|
Значительно большие |
трудности возникают |
при решении |
урав |
нений для определения постоянных Aih и А'ІК- Граничные условия
требуют |
подстановки |
значения |
х=0 |
или х=1 |
(длина |
слоя) в |
урав |
нение (13-48). Можно записать: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U* = |
2 |
lAthe~Xi |
|
('~Х) |
|
+ A'ihe-\x). |
|
|
|
(13-49) |
Для |
х = |
0 и x = |
/ эти выражения |
будут иметь |
вид: Aihe |
*' + |
+ A'ih и |
4 і к |
+ |
A'ihe |
|
1 ; и |
поскольку можно |
предположить, |
что |
постоянные |
А^ |
и A'th |
|
одного |
порядка, |
то |
пренебрегаем |
членом, со |
держащим множитель |
е |
і . |
Численный расчет |
для обычных обмоток |
показывает, |
что, как |
правило, |
показатель |
Xtl |
настолько |
велик, что |
наибольшее |
значение |
е |
|
не превышает |
0,01. |
|
|
|
|
|
Для большого количества слоев -решение |
(13-40) |
для |
\<k<n |
без учета |
влияния граничных |
слоев |
может |
быть |
представлено |
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Uh |
= Bh + Ckx, |
|
|
|
|
(13-50) |
в чем легко можно убедиться |
путем |
подстановки. |
|
|
|
|
Напряжение |
в начале |
каждого |
слоя |
может |
быть |
подсчитано |
по упрощенной |
схеме, |
представленной |
на рис. 5-4. |
Учитывая |
равен |
ство элементов для é ^ 2 , имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
UM |
= ak + b, |
(k^2). |
|
|
|
|
(13-51) |
Чтобы |
упростить |
определение постоянных |
а и & для заземлен |
ного конца |
обмотки, можно |
считать |
U„0=0, |
так что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
=<™ |
+ |
М |
|
|
|
|
|
(13-52) |
|
|
|
|
|
|
U20 |
= |
2а |
+ |
Ь, ( |
|
|
|
|
ѵ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
= |
— У и / ( л —2); |
. |
|
|
|
|
b |
= |
игап/(п |
— 2); |
I |
(13-53) |
|
|
UM= |
|
Uu(n |
— k)/(n — 2).) |
|
|
Напряжение |
U20 |
может |
быть определено |
из уравнений |
зарядов |
для начала цепочки: |
|
|
|
|
|
|
|
|
<Эі = С„(£Ло—U20); |
Qi = KvtVl0—Uw); |
Q3^CGVUI0; |
(13-54) |
|
|
|
|
Qi + Q2—Qs = Q. |
|
|
(13-55) |
Здесь через Q обозначен заряд на результирующей емкости каж |
дого последующего звена цепочки: |
|
|
|
|
|
Q=([/ A _ 1 — U m ) ( 2 C T , + KV), |
|
(13-56) |
откуда с |
помощью (13-53) после |
соответствующего |
преобразования |
(Сѵ + Кѵ) (U10 - |
U„) - |
C g l |
) f / 2 0 = ~ 2 |
(2CV + Kv). |
(13-57) |
Из этого уравнения можно выразить U2o как функцию |
Ui0 или |
записать |
соотношение |
|
|
|
|
|
|
|
г |
Ui-U» |
_ |
|
(п-2)Сеѵ |
+ 2Сѵ + Кѵ |
|
|
fe- |
Ui |
(n-2)(Cv |
+ |
Cev + Kv) + |
2Cv + |
Kv- |
{ld'™> |
Изменение напряжения вдоль слоев можно выразить с помощью приближенного значения UM, рассчитанного из (13-53) и (13-58) при упрощении граничных условий для расчета постоянных АІН и А'т- Для этого исключим соотношения для тока, получающиеся из диф ференцирования и приводящие к тому, что общие выражения для АІН и A'ih получаются сложными.
Величина | может быть также использована для приближенного расчета максимальных напряжений (градиентов) в начале первого слоя и определения входной емкости.
Если бы изменение |
напряжения |
в первом слое зависело только |
от емкости на землю и |
междувитковой емкости, то для градиента |
в начале слоя было бы. действительно |
выражение |
что следует из известного уравнения напряжения в однослойной обмотке:
shX (\ — -у-
Так как cth X очень быстро приближается к 1, то максимальный градиент молено принять равным
(dUi/dx)x=o=—V |
(CgIK). |
(13-61) |
Ma градиент в начале первого слоя влияет, однако, также рас пределение напряжения в соседнем втором слое. Интерес прежде всего представляет изменение напряжения вблизи начала обмотки, для приближенного расчета которого можно предположить, что U2 постоянно, и применить соответствующее значение по (13-58).
В уравнении (13-61) имеют значение также емкости между слоя ми, причем
( t f , - É / 2 ) C / i / i = | C ,
так что формула максимального градиента имеет окончательно сле дующий вид:
|
|
|
( < « / , / < / * ) « = , = - |
|
|
|
|
|
( 1 3 " 6 2 ) |
|
|
Исследуем теперь импульсные |
соотношения |
для трансформатора |
с двухслойной обмоткой. Без учета схемы соединения обмотки полу |
чим для я = 2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х2 — а и |
8 |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р, |
|
À2 — я 2 |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
х „ = ± |
Y\( — - и * - а*а>} • (із-63) |
|
|
В соответствии с (13-49) |
|
|
|
|
|
|
{/, |
= |
Л , , * ? - * ' |
<'-*> |
+ |
А ' 1 1 е ~ х , х + Агіе~х' |
<'-*> + |
|
А\,е-Х'х; |
(13-64) |
иг |
= Аіге~Хі |
Ѵ~х) |
+ А\2е~х-Х |
+ А^е~х" |
|
+ |
А'г2е~х'х. |
|
|
|
|
Систему уравнений (13-46) представим в |
виде |
(предполагаем, |
что аі = а2=іа): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(к? |
- |
а) Atl + |
Р Л І 2 |
= |
0, |
М и |
+ $ |
— а ) |
A t i |
= 0 |
(i = 1 ; 2). |
|
|
Из двух аналогичных уравнений для А'п |
и -Л'і 2 с |
учетом |
|
|
|
|
|
|
Х? = |
а + р; |
Х2= |
а _ р |
|
|
|
получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
І 4 Ц + Л И = 0 ; Л ' И + Л ' 1 2 = 0 ;
Л2 1 — Л 2 2 = 0 ; Л'2і—А'22=0
ипосле подстановки Б (13-64) найдем:
Ux |
= |
Ane'** |
( 1 |
~ х |
) + |
А'ие-Ьх |
+ Л 2 І ^ |
+ A'tle-**; |
\ |
Ut |
= - |
Анв-Ъ |
{ 1 |
- х ) |
- |
А'пе-^ |
+ Л 2 1 е - ^ |
<'"*> + А\хв~^. |
] |
(13-65)
Постоянные в уравнениях для определения начального распреде ления импульсного напряжения в двухслойной обмотке при различ ных схемах соединения представлены в табл. 13-1.
С л у ч а й 2 (рис. 13-7). Граничные |
условия: |
f i ( 0 ) = l ; |
|
(dUi/dx)x=,i= (dUzldx)x=.o; |
(dU2/dx)x=i=0 |
IL |
|
|
|
< |
|
|
Г Л |
|
"H |
|
|
Г03С< |
0 |
|
|
|
|
ш % |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
N |
700% |
Рис. 13-7. Начальное |
распределение напря |
жения |
по |
обмотке |
для |
случая |
2 |
в |
табл. 13-1. |
|
|
|
|
|
|
|
О — измеренные |
значения. |
|
|
|
|
обусловливают |
постоянные: |
|
|
|
|
|
|
(X, — Х2) Х2 |
|
|
|
(X, — |
Л2 ) At 4 |
1 1 - (X, + |
Х2)* + |
4Х1Хг |
' ^ 2 1 |
|
(X, + |
Х2)= + |
4Х,Х2 ' |
А2 (X, + Х2) + |
2Х,Х2 |
|
|
|
|
|
(13-68) |
|
h |
(h + X.) + 2Х |
(*i + |
^ ) 2 |
+ |
4Xt X2 |
• - »i - (X, + |
Х2 )2 + 4Х •lXa'j* > |
С л у ч а й 3 (рис. 13-8). Граничные |
условия: |
|
|
|
|
|
i/i(0) = l ; |
с/2 (0)=0; |
|
|
|
£Л(0 = t/a (0 ; |
(dUi/dx)x=i= |
— |
(dU2/dx)x=i. |
! it |
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
0,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
OS |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
OA |
|
|
\ |
|
x X |
|
Кг |
r<1 |
|
|
|
|
|
100% |
|
|
о |
|
|
|
|
|
Ci. 100% |
|
|
|
Рис. 13-8. Начальное распределение напря жения по обмотке для случая 3 в табл. 13-1. О — измеренные значения.
Этим условиям соответствуют постоянные
Л и = Л 2 1 = 0 и Л ' и = Л ' 2 1 = 1 / 2 ,
которые не зависят от X.
7,01к
0,8
0,6
О,* °\ |
|
I |
/о* |
* |
|
|
0,2 |
ö S |
X X -tes |
К |
|
|
|
|
' о*! |
|
wo %
Рис. 13-9. Начальное распределение напря жения по обмотке для случая 4 в табл. 13-1.
О — измеренные значения.
С л у ч а й 4 (рис. 13-9). Здесь справедливы граничные условия
£/і(0) = 1;
Ul(l) = U2(l); (dUi/dx)x=i=—(dU2/dx)x=i; (dU2/dx) x=o=0,
и из них имеем:
Аи = Ап = 0; A'lt = |
; A'21 = j ^ - . |
(13-69) |
В с л у ч а я х 5 (рис. 13-10) и 6 (рис. 13-11) предполагаем, что Cg=0. Отсюда прежде всего следует, что Х 2 = 0 .
lie
0,8
0,6
О,*
0.2
X
100%
0
Рис. 13-10. Начальное напряжения по обмотке
втабл. 13-1.
О—> измеренные значения.
x\
100%
распределение для случая 5
1,0 |
|
|
|
|
0,8 |
l°^ |
|
|
к |
¥ V |
|
- uz |
Г 7 |
|
|
0,2 |
|
|
|
I |
|
|
X X |
|
|
|
|
|
О |
|
100% |
|
о |
|
|
100 % |
|
Рис. |
13-11. |
Начальное |
распределе |
ние напряжения |
по обмотке |
для случая 6 |
втабл. 13-1.
О— измеренные значения.
Корень кг |
характеристического |
уравнения как частный |
интеграл |
соответствует |
алгебраической функции, |
и |
поэтому |
можно |
написать: |
£/,= |
|
A l i e ~ l ^ l - X ) + A ' n e ~ ^ x |
+ C + |
D^-; |
|
U2= — Л І 1 ( ? - Х ' <'-*> - А ' п е - Ъ * +C + |
D^-. |
|
Граничные условия для случая 5 идентичны условиям для слу |
чая 1, из которых |
имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
Л и = Л ' и = 1/4; С = 3 / 4 ; |
£>=—1/2. |
|
(13-70) |
В с л у ч а е |
6 получаем из тех же |
условий, что и в |
случае 3: |
|
|
Л и = 0; Л ' н = С = 1 / 2 ; |
£>=0. |
|
|
С л у ч а й |
7 сводится к случаю |
с одним слоем длиной 21. |
Определим далее начальное распределение напряжения для |
обмотки с тремя |
слоями для схемы |
на рис. 13-12. Предполагая, что |
|
|
Схема. |
|
|
|
|
|
1,0 1С |
|
|
|
|
|
|
0,8 |
|
|
|
|
|
|
|
0,б\ |
|
|
|
|
|
|
0Л |
|
|
|
|
|
|
|
0,2 |
|
«г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
100% |
|
о |
|
100% |
|
|
|
о |
100% |
|
|
Рис. 13-12. Начальное распределение
импульсного напряжения по обмотке с тре мя слоями.
4-19
