Изменение функции Ф (х) показано на рис. 12-8. Операторный коэффициент е~~^р перемещает нулевую точку оригинала во времени
на значение ß в сторону его увеличения. Таким образом, получаем напряжение для времени t>x\ (LC):
|
|
|
1 — Ф |
|
2V[t — |
xV(LQ] |
|
(12-32) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, для распространения фронта решающее |
значение |
имеет только скорость и0 =1/У (CL), |
обусловленная |
индуктивностью |
без учета стали. Эта скорость намного больше, чем средняя |
скорость |
распространения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
1.0 ф |
|
|
|
|
Рис. 12-8. Кривая |
интеграла |
0,5 |
|
|
|
|
|
Лапласа—Гаусса. |
|
|
|
|
|
* |
|
Ф w4JX |
du. |
О |
0,5- |
1,0 |
1,5 |
|
2,0 |
|
|
|
|
|
Для дальнейшего исследования введем в (12-32) новую пере |
менную |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f] = |
t—x^(LC), |
|
|
|
которая всегда положительна. Тогда |
|
|
|
|
и |
(х, I) •• |
|
|
|
|
|
= |
1 — Ф |
|
(12-33) |
|
Отсюда |
следует, |
что напряжение |
и |
для. всех |
точек |
обмотки, |
у которых |
отношение |
kux/}'r) |
постоянно, имеет одинаковое |
значение. |
Но это означает, |
что при увеличении расстояния х от начала обмот |
ки одно и то же напряжение и достигается при больших значениях т), т. е. при больших значениях времени t. Иначе говоря, крутой фронт
при проникновении в обмотку сглаживается.
12-3. Переходные процессы в обмотках
вращающихся машин при импульсах напряжения
Для исследования волновых процессов каждая фаза обмотки мо жет быть заменена цепной схемой, причем каждый элемент цепочки, состоящей из индуктивности L, эквивалентного сопротивления R, емкости между катушками К и емкости на землю С, соответствует одной катушке обмотки машины, Количество звеньев N цепной схе
мы равно поэтому числу катушек. Если /Ѵ>5, то можно без большой
ошибки исследовать волновые процессы при помощи дифференциаль-1 ных уравнении вместо разностных.
Величины L , R, С, К относятся к единице длины обмотки. Эквивалентное сопротивление R соответствует прежде всего по
терям на вихревые токи в стали статора |
и на поверхности ротора. |
На схеме замещения, представленной |
на рис. 12-9, это сопротив |
ление включено параллельно индуктивности. Каждый элемент обмот
ки замещен |
индуктивностью L dx, емкостью на землю С dx, сопротив |
лением R dx |
и продольной емкостью K/dx. Как L , так и R зависят |
от частоты. |
|
Рис. 12-9. Цепная схема замещения для исследования волновых процессов в об мотках вращающихся машин.
Точный учет этих зависимостей привел бы к такому усложнению уравнений, что их нельзя было бы решить. Из этих соображений в дальнейшем для R и L принимаются средние значения.
Переходный процесс описывается уравнением
K d x i d t 2 + R дхШ + L дхг~~С dt2 ' |
(12-34) |
Взаимная емкость между катушками К имеет незначительное влияние на переходный процесс. Поэтому для не слишком высоких частот можно пренебречь в первом приближении членом К(diu/dx2dt2) и (12-34) записать в виде
1 |
д3а |
1 |
д2и |
дЧ |
|
R |
д Ш + |
L |
Ldx2 ~~С |
dt2 ~°- |
( 1 2 " 3 5 ) |
При приложении единичного импульса к началу обмотки для свободных колебаний напряжения в любой момент времени t имеет место граничное условие и(0, /)=0. Решение, которое удовлетворяет этому условию:
|
u=An |
sin |
nxf(t), |
где п — коэффициент, |
зависящий от граничных условий. |
Подставив это выражение |
в |
исходное уравнение, получим: |
1 |
df |
n2 |
d2f |
25* |
|
|
391 |
Уравнение |
(1^-36) |
имеет решение: |
|
|
-(n4/2RC) |
(ansinQnt |
+ bnQncosQJ), |
^n^y^Jrc), |
(12"37) |
где ап и Ьп — постоянные |
интегрирования, |
соответствующие |
п-н гар |
монике. |
|
|
|
|
|
|
Величина п может быть определена на основании граничных |
условий для |
конца |
обмотки. Для заземленного конца |
обмотки |
«(/, 0=0. |
|
|
|
|
|
|
Это условие |
выполняется при |
|
|
п=— (&= 1, 2, 3 . . . ) .
Соответствующее значение п для обмотки с изолированным кон
цом
^71
п —~2f (k=\, 3, 5 . . . ) .
Дальнейший ход расчета такой же, как и для простой цилиндри ческой обмотки, и поэтому здесь не приводится (см. гл. 2).
Распределение напряжения вдоль обмотки с изолированным кон цом может быть записано в форме
\ - \ |
. |
rm X |
—ъ t |
|
• Sin (<0j + Фп) |
|
- V M n s i n - 2 - — |
e |
» |
|
|
|
|
|
•2S„ |
cos (u>J + |
Ф„) |
(12-38) |
|
|
|
|
|
причем |
|
ЛЯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 sin -g- |
|
|
|
|
|
|
№ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
~2~ |
|
|
|
|
|
|
Ф„ = |
arctgT—; n= |
1, 3, 5 |
|
|
Как видно из выражения для ön, особенно быстро затухают |
выс |
шие гармоники |
переходного |
процесса |
ô n = « z , что приводит к |
сгла |
живанию крутого фронта волны со временем. |
|
|
Для обмотки с заземленным концом выражение для распределе ния напряжения имеет аналогичный вид.
Рассмотрим подробнее перенапряжения на входной катушке.
Если через |
Ua обозначить импульсное напряжение |
на входе, то |
напряжение на первом |
витке входной катушки будет uz = |
Ua(TwIT1), |
где ТІ — длина |
фронта |
распространяющейся волны, a |
TW |
— время, |
необходимое для пробега волной одного витка.
Из-за емкостных связей между отдельными витками напряжения уменьшаются до величины u'z = kBuz.
Изменение |
коэффициента ks в зависимости от отношения С/К |
для различного |
числа витков на катушку и паз по Костенко [Л. 12-3] |
представлено на рис. 12-10.
Так как емкость между отдельными витками катушки велика, можно ожидать, что импульс распределяется равномерно между все ми витками входной катушки. Работы Веллауэра [Л. 12-4], Петрова и Абрамова [Л. 12-71], которые проводили опыты с очень короткими фронтами волн (5"і=0,1 мкс), подтверждают приведенные выше вы воды.
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Витки, |
|
Рис. 12-10. Изменение |
Рис. 12-11. Максимальные |
коэффициента |
kB |
в за |
|
междувитковые |
напряже |
висимости |
от |
|
отноше |
ния и, %, при импульсе на |
ния |
С/К для различного |
входной катушке |
(в катуш |
числа |
витков 5 „ в ка |
ке 8 витков) при разных |
тушке |
(по Костенко). |
длинах |
фронта. |
|
|
/ — 0,5 |
мкс; 2—1,1 мкс. |
На рис. 12-11 представлены междувитковые напряжения для ка тушки генератора, состоящей из восьми витков, для импульса с дли ной фронта 7^=0,5 мкс и Ті = \,\ мкс (по Ашлиману); из рисунка видно, что междувитковые напряжения изменяются практически ли нейно. Напряжения на входной катушке при крутых фронтах, как следует из измерений, могут достигать 75% амплитуды импульса. Напряжение на остальных катушках вследствие сглаживания фронта волны невелико.
Поэтому в отдельных случаях рекомендуется выполнять входную катушку с усиленной витковой изоляцией.
При изолированном конце обмотки напряжение на нем может
достигнуть |
(вследствие отражения) высокого значения и повредить |
изоляцию. |
Z i — волновое сопротивление линии, г2 — волновое сопро |
Пусть |
тивление обмотки; тогда напряжение на изолированном конце обмот ки равно:
2
" м а к е = j + г і / 2 а •
Если конец обмотки присоединен к земле через сопротивление, значение которого равно волновому сопротивлению обмотки, повыше ния напряжения не будет. Результаты осциллографических измерений совпадают с этими выводами.
На рис. 12-12 представлены кривые напряжения на входе и отпайках 30, 60, 100% обмотки генератора 6,6 кВ. Конец обмотки
Рис. 12-12. Напряжения при импульсе на обмотке синхронного гене ратора. Конец обмотки заземлен через сопротивление, равное волно вому.
а — на входе; б — на отпайке 30%; в — на отпайке 60%; г — на отпайке 100% от входа.
заземлен через сопротивление /? = 800 |
Ом, соответствующее волново |
му сопротивлению обмотки. Очевидно, чго на конце обмотки нет |
отражения и поэтому нет повышения |
напряжения. |
12-4. Перенапряжения при отключении асинхронных
двигателей высокого напряжения с короткозамкнутым ротором
Опыт эксплуатации в последние годы показал, что при отклю чении быстроходных асинхронных двигателей высокого напряжения относительно малой мощности могут возникать высокие перенапря жения, которые повреждают изоляцию обмотки статора. Так как та кие двигатели высокого напряжения широко применяются на элек тростанциях для приводов различных вспомогательных приспособле ний, насосов и т. п., то изучение указанных перенапряжений имеет большое значение. В последнее время был опубликован ряд работ, охватывающих комплекс этих вопросов {Л. 12-12 и 12-13].
Физически в данном случае процессы связаны с отключением относительно малых индуктивных токов. Как известно, отключаемый ток, мгновенное значение которого равно Î'O, вследствие свойств мно
гих высоковольтных выключателей может оборваться преждевремен но, до естественного прохода через нуль.
Магнитная энергия, связанная с этим током, не может исчезнуть мгновенно. Это приводит к тому, что ток і0 продолжает течь через
замкнутый контур обмотка — емкость обмотки на землю — земля —' обмотка.
Если |
L , — индуктивность обмотки |
статора, |
a Cs — ее емкость на |
землю, то на емкости возникает напряжение |
io\!(L.i/Cs) |
по отноше |
нию к |
земле, если нет |
обратных |
зажиганий выключателя. |
Из имеющегося опыта эксплуатации следует, что наибольшие |
напряжения появляются |
при отключении во |
|
|
время пуска относительно малых скоростных |
|
|
высоковольтных двигателей с беличьей клеткой |
|
|
на роторе. |
|
|
|
|
По Балтенспергеру (Baltensperger) и Майеру (Meyer) напряжения при отключении оста новленного двигателя 240 кВт, 6,3 кВ состав ляют около 29 кВ.
Контур тока, имеющий решающее значение для процесса отключения двигателя, представ
лен |
на рис. 12-13, |
где L s означает об |
щую |
индуктивность |
рассеяния, Cs — общую |
емкость на землю одной фазы обмотки ста тора
Рис. 12-13. Схема для анализа про цесса отключения двигателя.
Для свободных колебаний тока і действительно уравнение
|
d4 |
. |
1 |
|
|
dt* |
LSC; |
|
решение которого имеет вид: |
|
|
|
I = |
Ae'st |
+ |
Be-'si, |
где Q 2 = \/LsCs; |
~А и В — постоянные |
интегрирования. |
В момент |
выключения (^=0) |
ток і'=(0 . Отсюда |
|
|
А + В = |
і0. |
Вторую зависимость между величинами А я В получим из усло
вия, что в момент отключения, когда / = 0, напряжение на индуктив ности L s равно мгновенному значению напряжения сети U0:
~ L s ( w ) _ = - ^ M + / Q £ e ß = a 0 . |
(12-416) |
Решив (12-41) и (12-4la) относительно Л и S и подставив их значения в (12-40), получим уравнение для тока:
і = ("о cos Ш •— QT~ sin Ш. |
(12-42) |
Напряжение на индуктивности
di
uL = — L s -tfj— zi0 sin Qt -f- u0 cos Ш при z
а его наивысшее значение |
(12-43) |
" Ѵ , а к с = " о | / [ і + ( ^ ) 2 _
На рис. 12-14 представлена векторная диаграмма для момента времени t=0, соответствующего преждевременному обрыву тока іа.
Напряжение опережает ток на угол фь.
Рис. |
12-14. |
Положение вектора тока |
и вектора |
напряжения в |
момент |
^=0 |
при |
преждевременном |
обрыве |
гока /о- |
|
|
|
|
|
Мгновенное значение to в момент |
^=0 |
|
|
|
|
Ио = У(2) U sin (fk- |
|
|
|
После подстановки в (12-43) получим: |
|
|
|
|
^ . M a K C = ^ ( 2 ) ^ ] / [ ^ 2 ^ + |
(vWüJ}- |
|
|
(12-44) |
При пуске больших двигателей с короткозамкнугым |
ротором |
имеем ФА?»Я/2. Поэтому |
+(у|2'^У]; |
|
|
Г(12-45) |
" l , M a K C = ^ ( 2 ) W j / [ l |
|
|
В момент обрыва значение тока і0 подчиняется статистическим |
законам и достигает для некоторых видов |
выключателей |
наибольше |
го значения і0 = 20^-25 А. |
|
|
коэффициент |
Если это значение подставим в (12-45), то получим |
перенапряжений p = «z. 'макс/с/")^; для двигателей 6 кВ |
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
'=Ѵ[і+(~ші^у]**Ѵ[і |
|
+ - г ( - ж |
) |
! |
( і 2 - 4 б ) |
Из этого выражения видно, что решающее влияние на перена пряжения оказывает в первую очередь волновое сопротивление z обмотки статора. Для больших машин 2=200-^400 Ом; соответствую щее значение коэффициента перенапряжений
|
f Г |
, |
3 / 400 VI |
|
У малых машин |
волновое |
сопротивление |
z= 1 000 Ом и выше. |
Для этого значения z получим: |
|
|
-, |
АГ |
, 3 |
/ 1 000 у - 1 |
5,2. |
P = ] / [ l + - 2 - ( - 2 4 Ö - J J = |
С целью уменьшения перенапряжений необходимо применять специальные выключатели, которые обрывают малые токи, не созда-
вая перенапряжений. Наиболее подходящими для этой цели являют ся выключатели с шунтирующими сопротивлениями и малообъемные выключатели. Другим способом защиты от перенапряжений является применение разрядников между каждой фазой статора и землей или между фазами статора.
Уменьшение волнового сопротивления обмотки статора может быть достигнуто путем перехода на меньшее номинальное напря жение.
В действительности процессы при отключениях будут значитель но сложнее, так как обмотка представляет собой не простой провод ник, а имеет распределенные индуктивности и емкости.
V
|
|
|
si |
TTTTJTT I |
Рис. 12-15. К |
процессу |
отклю |
|
чения двигателя, конец |
обмот |
|
ки которого |
заземлен. |
|
|
а — напряжение |
вдоль |
обмотки |
|
в момент |
^=0; |
б — ток вдоль об |
|
мотки в |
момент t=Q. |
|
|
Исследуем более подробно процесс отключения обмотки, зазем
ленной на |
конце. |
Схема замещения обмотки |
представлена |
на |
рис. 12-15. |
Если |
обозначить L—индуктивность |
рассеяния, |
С—• |
емкость на землю обмотки на единицу длины, то изменение напря
жения и описывается |
уравнением |
|
|
|
d2u/dx* = LCdzuldt2. |
(12-47) |
Начальные условия для тока і и напряжения |
и в момент |
отклю |
чения t~0 получим |
из предположения, что при мгновенном |
обрыве |
тока і'о напряжение снижается линейно от своего наибольшего зна чения щ в начале обмотки до нуля на заземленном конце обмотки,
ток же увеличивается линейно от нуля на выключателе до значения ('о на заземленном конце обмотки.
Изменение тока и напряжения вдоль обмотки показано на рис. 12-15. Линейное нарастание тока обусловлено тем, что токи обмотки замыкаются через емкости обмотки на землю.
Решение (12-47) имеет следующий вид: |
|
и(х, 0 = S |
[Fn(x)cosant+Gn(x)sinaJ], |
(12-48) |
n |
|
|
где F и G являются функциями только продольной координаты х. |
Далее, для времени |
t=0 |
|
и(х, 0) =и0 (1—л/0-
Если это выражение разложим в ряд Фурье, то получим:
|
|
|
|
|
|
|
cos тгг х |
|
|
|
|
|
|
а(х, |
|
0) = ~^~2j |
|
і? |
|
( л = 1 , 3, 5 |
... ) . |
(12-49) |
Функцию Fn |
(х) |
определим по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8и0 |
|
«я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fn(x) |
= " ^ F C 0 |
S " 2 T X ' |
|
|
(12-50) |
причем |
«о, как и ранее, |
означает |
мгновенное |
значение |
напряжения |
в начале обмотки в момент отключения. |
|
|
|
|
|
Собственная |
частота |
отдельных |
|
гармоник |
ю п |
дается выраже |
нием |
|
|
|
|
|
|
(ù„ = |
|
nn/2l^(LC). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это следует из подстановки (12-48) в |
(12-47). Функция |
Gn |
должна |
подчиняться |
зависимости |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d2Gn |
|
|
п?7? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ж О п . |
|
|
|
(12-51) |
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G H |
= |
yln sin -sT-x + |
ß n cos - or - x: . |
|
(12-52) |
Уравнение |
для тока |
может быть |
найдено |
из выражения ді/дх |
— |
= —С |
фи/dt): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ді |
\"\Г |
|
8и0 |
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
dx~==~C2j\ |
я |
|
п№~ W |
n |
C 0 S " 2 Г % |
s i n w |
^ + w " G "( x ) c o s w " 4 |
C 2 ' 5 3 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(л = 1, |
3, 5 . . . ) . |
|
|
|
|
|
При |
повторном |
интегрировании учтем, что |
|
|
|
|
и получим: |
|
ю„ = яя/2/У(ІС) |
и |
|
z=i(L/C), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. . . . |
|
|
|
8и 0 . |
|
ля |
|
яте |
t — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«ТЕ |
|
|
«ТС |
|
|
|
{"* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2lz |
c |
o s |
oivtrrV |
|
1 |
\ Gn |
|
(*)dx- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21V{LC) |
|
Jo |
|
|
|
|
|
В соответствии с (12-52) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
21 |
|
|
f |
|
пк |
\ . |
21 |
|
tin |
|
|
J;^Gn(x) |
dx = - ^ - ^ » ^ - c o s - 2 7 - x J |
+ — Bn |
sinж |
x. |
|
