2. Анализ затухания
Законы моделирования, изложенные до сих пор, были выведены из дифференциальных уравнений для системы без потерь.
Масштаб эффективного сопротивления обмотки по
лучается в принципе из закона Ома |
|
гѵ = |
и/і, |
|
т. е. |
|
|
Ргѵ = Ри/Рг |
= РіРІІРі. |
(10-91) |
В частном случае при'/?г=1 и pN—1 |
имеем: |
Ргѵ = Рі. |
(10-92) |
Если рассматривать сопротивление провода оригина ла и модели при постоянном токе, условие (10-92) не возможно практически осуществить, учитывая сопротив ление проводниковых материалов. Наоборот, если'в мо дели и оригинале проводниковый материал одинаковый, сопротивление постоянному току не уменьшается с умень
шением р й оно |
возрастает при |
уменьшении |
геометриче |
ских размеров |
в 1/рі раз; при |
pt = \ и / % = 1 |
имеем: |
|
Ртѵ=Мрі. |
|
(10-93) |
По предложению Падерты (Paderta) [Л. 10-19], со противление обмотки постоянному току можно изменять в широких пределах путем глубокого охлаждения. Ра бочая температура модели при этом широко варьирует ся, 'что может положительно влиять на точность модели рования.
В действительности, однако, определяющим для за
тухания переходного процесса |
является сопротивление |
не постоянному, а переменному |
току. Определяя мас |
штаб для сопротивления переменному току, Хюртер (Hurter) и Эклин (Ecklin) [Л. 10-10] использовали клас сический метод Роговского (Rogowski) и других авторов для определения сопротивления переменному току. Этот метод основан на предположении, что поток рассеяния имеет только осевую составляющую. (Это применимо •к случаю воздействия импульса на обмотку с изолиро ванным концом, когда создается аксиальное магнитное поле; рассмотрение неприменимо к пространственным
гармоникам тока, которые создают в основном радиаль ные составляющие магнитного поля.)
Для сопротивления переменному току, определяемого осевым полем, Хюртер и Эклин записывают по Рихтеру (Richter) :
Гѵ~ |
= |
Гѵ= |
|
|
(10-94) |
|
|
|
где |
|
|
sh 2j + sin 21 . |
(10-95) |
|
|
|
|
|
; ch 2\ — cos 2£ ' |
|
|
|
|
• 4 |
' |
ch 1 + cos 5 |
(10-96) |
|
|
|
|
|
а |
у |
(10-97) |
|
|
|
|
/ — частота; у— удельная |
проводимость; |
[хв — магнитная |
проницаемость |
вакуума; b — осевая длина обмотки; а — |
средняя длина |
магнитной |
линии |
осевого |
потока рассея |
ния; h и z—ширина проводника и число проводников соответственно в направлении под прямым углом к маг нитной линии осевого потока рассеяния; гѵ= — сопротив ление обмотки постоянному току.
Отношение сопротивлений переменному току в модели
и оригинале тогда |
в соответствии |
с (10-94) равно: |
|
|
, = |
Ргі>=Р, |
|
(10-98) |
|
|
Ч>Ф' |
|
Г Де Р ф ф - масштаб |
коэффициента, |
учитывающего вихре- |
вые токи, |
|
|
|
|
¥ (Ім) + |
Ф(І„) |
(10-99) |
Рфф |
|
|
|
? |
do) + |
- Ф « О ) |
|
Опыт показывает, что значение 1 для основной часто ты свободных колебаний (лежащей, как правило, выше 5 кГц) мощных трансформаторов превышает 2 как в ори гинале, так и в модели. Тогда приближенно можно запи сать:
<Р(5осм))«Ёо(м); ф(ЁоСм)) »2go(M). |
(10-100) |
Принимая масштаб времени р*=1 , одинаковый про водниковый материал и геометрически подобную элек-
тромагнитную часть комбинированной модели с тем же числом проводников zM = z0, получаем:
^ л - г т ! ? - ^ 1 |
( 1 0 " 1 0 1 ) |
и, учитывая (10-93) и (10-101), получаем из |
(10-98): |
Ргѵ~=\. |
(10-102) |
На затухание влияет и сопротивление провода обмо ток, на которые не воздействует непосредственно им пульс, если эти обмотки находятся на том же стержне и включены на замкнутую схему. Следует также учиты вать влияние сопротивления вихревым токам, 'Наведен ным в проводящих частях вне обмотки, на которую
непосредственно воздействует |
импульс. |
|
|
|
|
Для анализа совместного влияния сопротивления про |
вода обмотки, |
на |
которую падает |
импульс, |
и сопротив |
|
|
Rix |
|
|
ления |
контуров |
вихревых |
|
|
|
|
токов |
вне |
этой |
|
обмотки |
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
рассмотрим |
два |
случая |
|
|
|
|
|
|
падения |
прямоугольного |
|
|
rix |
|
Ldx |
импульса |
|
напряжения |
|
|
|
на |
однослойную |
обмот |
II |
|
|
|
|
II |
* |
|
» |
|
ку: |
|
|
|
|
|
|
I I |
|
|
I I |
а) |
обмотка |
экраниро |
|
. |
|
|
I I " 5 * |
|
mCix |
|
|
S |
вана |
|
от стального сердеч |
|
_ |
—*-x |
|
ника |
|
замкнутым |
|
проводя |
|
|
щим |
|
цилиндром; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 10-3. Схема обмотки по Ваг |
б) |
обмотка |
|
располо |
неру с добавленными |
последова |
жена |
на стальном сердеч |
тельными |
сопротивлениями про |
нике |
|
без |
магнитного эк |
вода обмотки |
и |
параллельными |
|
эквивалентными |
сопротивлениями |
ранирования |
проводящим |
проводящего |
цилиндра, экрани |
цилиндром. |
|
|
|
рующего |
обмотку |
от |
сердечника. |
С л у ч а й |
п. «а». Учи |
тывая, что магнитные свя зи ограничены экранированием вблизи витков, будем рассматривать схему замещения по Вагнеру, дополненную
последовательным сопротивлением (г) провода |
обмотки, |
а также параллельным |
сопротивлением |
(R), |
отражаю |
щим потери от вихревых токов в проводящем |
цшгиндре. |
Сопротивления г и R являются частотно-зависимыми, но |
в первом приближении |
они принимаются |
постоянными. |
Соответствующая схема |
показана на рис. 10-3. Все по- |
342 |
|
|
|
стоянные {L, |
с, k, r, R) отнесены |
к единице осевой дли |
ны обмотки |
(L — индуктивность, |
с — емкость |
на землю, |
k — междувитковая емкость). |
|
|
Из |
дифференциальных уравнений схемы |
получаем |
коэффициент |
затухания свободных колебаний |
[Л. 10-16]: |
где |
|
« = - T f r - « . ( c ? U r |
< 1 0 - І 0 3 ) |
|
|
|
|
|
|
С=сІ; |
К=Л/1; |
|
|
|
/•„ = /•/; Rv^Rl |
|
— значения постоянных для всей обмотки |
(/ — осевая |
длина |
обмотки). |
|
|
Если частотный спектр гармонических составляющих свободных колебаний начинается с относительно низких частот, то потери от вихревых токов, наведенных в ци линдре основной и другими гармониками, малы. Это означает, что в схеме рис. 10-3 величина R должна при ниматься довольно большой, и можно принять, что за
тухание в |
основном |
определяет первый 'член |
(10-103), |
т. е. приближенно |
bi^—rvl2Lv, |
(10-104) |
|
|
где вместо |
гѵ надо |
подставить |
сопротивление |
перемен |
ному току |
гѵ„. |
|
|
|
Это выражение дает граничное значение коэффициен |
та затухания при очень низких частотах. |
|
Если же частотный спектр |
гармонических |
составля |
ющих свободных колебаний начинается с относительно
высоких частот, то можно принять, что в (10-103) |
будет |
преобладать второй |
член и в первом приближении |
|
8, » - |
m\'/2Rv{C-\-KmV). |
(10-105) |
Это — граничное |
значение коэффициента |
затухания |
при очень высоких частотах. |
|
|
Изменение коэффициента затухания от значения по |
(10-104) до значения |
по (10-105) четко отражается |
в мо |
дели. |
|
|
|
При относительно низких частотах гармонических со ставляющих свободных колебаний затухание в оригинале
определяется выражением (10-104). Тогда |
затухание |
в модели изменится в соответствии с масштабом |
Р^^Ргѵ-ІРьѵ, |
(10-106) |
и если подставим значение |
р т ѵ ~ по (10-98), то получим: |
Принимая pt='l, P J V = I , |
одинаковые проводниковые |
материалы и одинаковое по сравнению с оригиналом число проводов в радиальном направлении (слоев) в гео метрически подобной электромагнитной части комбини рованной модели, получаем отношение коэффициентов затухания, близкое к величине [см. (10-93), (10-101) и табл. 10-1]
1
р . . = - ^ = і г > { - |
(10-108) |
Следовательно, при относительно низких частотах за тухание в модели больше, чем в оригинале.
При относительно высоких частотах гармонических составляющих свободных колебаний затухание в ориги нале определяется выражением (10-105). Последнее со держит эквивалентное сопротивление потерь от вихревых токов в проводящем цилиндре. Это сопротивление свя зано с действительным сопротивлением контура вихре вых токов в цилиндре через коэффициент трансформа ции, который является функцией числа витков; поскольку масштаб числа витков обычно равен единице, нужно лишь рассмотреть, как моделируется сопротивление кон тура вихревых токов в проводящем цилиндре.
Сопротивление контура вихревых токов в цилиндре зависит от глубины их проникновения. При /?( = 1 соот ветствующие частоты модели и оригинала равны. Если цилиндр в оригинале и в модели изготовлен из одинако вого материала, • глубина проникновения соответствую щих отдельных гармоник свободных колебаний также одинакова.
Вихревые токи сосредоточены в тонком слое у по верхности цилиндра, обращенной к обмотке. Следова тельно, если толщина цилиндра оригинала и модели превышает больше чем в 3 раза глубину проникновения основной частоты, то сопротивление контура вихревых токов одинаково. Это следует из того, что длина конту ра, т. е. периметр цилиндра в модели, в 1/рі раз меньше, чем а оригинале, и то же самое справедливо относитель но поперечного* сечения.
|
Согласно |
(10-105) |
масштаб |
затухания |
тогда |
будет: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р 6 2 = |
1/Рс |
|
|
|
|
(10-109) |
|
Принимая |
Р( = 1, |
PJV= 1 |
и, |
следовательно, |
согласно |
(10-78) |
рс—\Ірі, |
|
получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рь2=рі<\. |
|
|
|
|
(10-110) |
|
Следовательно, при относительно высоких частотах |
затухание в модели меньше, чем в оригинале. |
|
|
|
|
Экспериментальная |
|
|
проверка. |
|
|
S65. |
|
|
Теоретические |
выводы |
были |
про |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
верены на трансформаторе-ориги |
|
|
|
|
|
|
нале, |
магнитопровод |
|
которого |
|
|
|
|
|
|
имел форму и размеры, показан |
|
|
|
|
|
|
ные на рис. 10-4. Он |
был |
изго |
|
\155\ |
\155\ |
|
1£1 |
товлен |
из листов стали |
толщиной |
«о |
|
0,5 |
мм. На |
|
среднем |
стержне рас |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
полагалась |
|
обмотка, |
|
состоящая |
|
|
|
|
|
|
из |
20 |
катушек |
по |
100 |
витков |
|
|
|
|
|
А |
в каждом |
и намотанная |
алюми |
|
|
|
|
|
ниевым |
|
|
проводом |
|
сечением |
|
|
7Ѳ5 |
|
|
3 X 1 мм2 |
с изоляцией |
из двух сло |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ев бумаги. Осевая длина обмот |
Рис. 10-4. Магнитопро |
ки |
350 мм, |
|
внутренний |
и |
наруж |
вод |
трансформатора |
ный диаметры |
соответственно 225 |
(оригинал) для |
провер |
и 295 мм. Медный цилиндр |
имел |
ки |
теоретического |
ана |
лиза влияния |
затухания |
диаметр |
180/210 |
мм |
и |
высоту |
в |
модели. |
|
|
|
450 |
мм. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Масштаб |
геометрических |
размеров |
модели |
был |
рі~ |
= 1/5, масштаб |
времени |
pt=l, |
числа витков |
p j v = l . Мас |
штаб емкостей согласно табл. 10-1 составил |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р с |
= р ^ Р |
л |
, = |
1/рг |
= |
5. |
|
|
(10-111) |
Магнитопровод модели был изготовлен из стальных листов ,0,5 мм, обмотка намотана эмалированным мед ным проводом диаметром 0,5 мм по 100 витков в ка тушке.
Емкостная цепочка модели состояла из 10 элементов. Значения емкостей рассчитывались в соответствии
с(10 - 111 ) по емкостям оригинала, определенным рас
четом |
по размерам обмотки и проверенным измерения |
ми на |
оригинале, |
Напряжение на модель и оригинал подавалось от генератора повторяющихся импульсов и имело одинако вую форму (1/50). Масштаб напряжений в соответствии с законами моделирования равен:
Этот масштаб не соблюдался при измерениях, по скольку характеристики магнитопровода и в оригинале,
и в модели можно считать |
• |
линейными при |
применен- |
Ц |
ной амплитуде1 |
напряже- |
II |
Рис. 10-5. Колебания на изо |
Рис. |
10-6. |
Колебания |
на |
изо |
лированном |
конце |
обмотки |
лированном |
конце обмотки |
мо |
оригинала |
с экранирующим |
дели, |
соответствующей |
ориги |
цилиндром. |
|
|
налу |
рис. |
10-5. |
|
|
ния (400 |
В) . На |
модель и оригинал |
подавалось |
одина |
ковое напряжение. |
|
|
|
|
Напряжения измерялись в местах соединения эле |
ментов модели и в соответствующих |
точках |
оригинала. |
Скорость |
развертки осциллограмм |
была |
300 |
мкс |
на |
экран при изолированном конце обмотки (метки |
време |
ни через |
25 мкс) |
и 100 мкс при заземленном конце |
об |
мотки (метки через 10 мкс). При измерениях магнитопровод и медный цилиндр заземлялись.
Рассмотрим 'четыре характерные осциллограммы.
На рис. 10-5 показаны колебания изолированного конца обмотки оригинала, а на рис. 10-6 — то же для модели.
На рис. 10-7 и 10-8 показаны колебания в середине обмоток оригинала и модели.
1 Линейность характеристик магнитной системы объясняется нэ - только небольшой амплитудой, но и малой длительностью импульса.—
Прим. ред.
Сравнивая рис. 10-5 <п 1Ö-7, а также 10-6 и 10-8, ви дим, что основная частота свободных колебаний при изолированном конце (около 24 кГц) примерно в 2 раза ниже основной частоты при заземленном конце (50 кГц), что подтверждает допустимость подхода по Вагнеру в этом случае.
Рассматривая осциллограммы с точки зрения зату хания отдельных гармоник, находим следующее.
В случае обмотки с изолированным концом в ориги нале выражена только основная частота; в модели на
Рис. 10-7. Колебания в середи- |
Рис. 10-8. Колебания |
в середи |
не обмотки оригинала с зазем- |
не обмотки модели, |
соответ- |
ленным концом и экранирую- |
ствующей оригиналу |
рис. 10-7. |
щим цилиндром. |
|
|
основную частоту наложены колебания высшей частоты, параметры которой нельзя определить точнее; затуха ние основной частоты в модели меньше, чем в ориги нале.
В случае заземленного конца и в модели, и в ори
гинале |
выражена |
лишь основная |
частота. |
Затухание |
в модели меньше, чем в оригинале. |
|
|
Отсюда видно, что основные частоты при изолиро |
ванном |
(24 кГц) |
и заземленном |
(50 кГц) |
концах и |
в оригинале, и в модели лежат в диапазоне частот, для которых масштаб затухания определяется скорее выра жением (10-109). Для частоты 25 кГц масштаб затуха ния немного меньше 1, а для 50 кГц достигает 0,5. Гра ничная величина в соответствии с (10-110) равна 0,2.
Измерения показали также, что при искусственном снижении основной частоты (за счет увеличения емкости обмотки на землю) примерно до 8 кГц (заземленный ко нец) затухание в оригинале и в модели было примерно одинаковым, а если частоты еще снижались, колебания в модели затухали сильнее, чем в оригинале, т. е. мас штаб затухания определялся больше выражением (10-108).
Итак, для случая п. «а» можно сделать такие вы воды.
4- = *;
N — число витков в обмотке; L 0 — индуктивность одного витка; К — показатель зависимости взаимной индуктив ности двух витков от расстояния между ними — см . вы ражение (2-99).
Значение ß получается из характеристического урав нения дифференциального уравнения для магнитного по тока обмотки.
Выражение (10-112) переходит в (10-103), если при нять:
ІІри относительно низких частотах гармонических со ставляющих переходного процесса затухание определя ется в основном сопротивлением провода и индуктивно стью обмотки; при относительно высоких частотах оно в основном определяется сопротивлением контура вихре вых токов в проводящем цилиндре и емкостью обмотки.
Таким образом, колебания низких частот будут зату хать сильнее в модели и, наоборот, при высоких часто тах затухание будет больше в оригинале.
С л у ч а й п. «б». Здесь магнитный экран между об моткой и стержнем отсутствует. Поэтому следует исполь зовать теорию, учитывающую магнитные связи между удаленными витками (см. гл. 2).
Схема замещения обмотки опять дополняется после довательным сопротивлением (г) провода обмотки и па раллельным сопротивлением (R) контуров вихревых то ков в магнитопроводе.
Для коэффициента затухания свободных колебаний
получаем: |
|
Ш1 |
|
S — |
|
П 0-11 |
1 (ß/)2 + (kl)2 |
0 |
|
|
где суммарные значения |
параметров для всей |
обмотки: |
rl — rv; |
j |
|
Rl = Rv; |
! |
|
ä |
= C; |
\ |
(10-113) |
W + W |
м * ь ° = ь » |
( І ( Ш 4 ) |
(что всегда выполняется) |
и если |
|
ß/ = mjt. |
(10-115) |
Анализ выражения (ІО-І12) для случая «б» аналоги чен изложенному для случая «а». Можно, следователь но, сказать и в этом случае следующее. Для низких ча стот определяющими для затухания являются сопротив ление провода и индуктивность обмотки. Затухание в оригинале определяется выражением (10-104), а мас штаб затухания—(10-106) или (10-108); для высоких частот влияют в основном сопротивление контура вихре вых токов (только вдоль периметра стержня) и емкость обмотки; затухание в оригинале определяется выраже нием (10-105), а масштаб для модели—(10-109) или (10-110).
Выражения (10-112) и (10-113) показывают, что ре зультирующее значение коэффициента затухания ô опре деляется, с одной стороны, сопротивлением провода и индуктивностью обмотки и, с другой стороны, сопро
тивлением контуров |
вихревых |
токов и емкостями |
обмотки. |
|
|
Экспериментальная |
проверка. |
Теоретические выводы |
для этого случая были проверены на трансформатореоригинале, магнитопровод которого имел форму и раз меры по рис. 10-4, а обмотка длиной 350 мм имела 2 000 витков, намотанных алюминиевым проводом 3,5X1,1 мм2 .
Масштабы модели, как и в предыдущем случае, были
Pi=\/5, |
p.t = \, P N = \ И рс = 5. |
Конструкция |
модели (об |
мотка |
и магнитопровод) |
была |
такой же, как |
и в преды |
дущем случае. |
|
|
|
Осциллограммы напряжений снимались при разверт |
ке на |
экран 1 ООО мкс |
(метки |
времени через 100 мкс) |
при изолированном конце обмотки и 100 мкс (метки че рез 10 мкс) —при заземленном.
На рис. 10-9 показаны осциллограммы, снятые на от
пайках обмотки оригинала |
(ступени |
через 10%) |
с изо |
лированным концом, |
а на рис. 10-10 |
— то же для моде |
ли, состоящей |
из '10 |
элементов. Осциллограммы |
распо |
ложены одна |
под |
другой, |
начиная |
от ввода |
обмотки |
(указан процент витков между отпайкой и концом об мотки) .
На рис. 10-11 и 10-12 приведены аналогичные осцил лограммы, снятые на оригинале и на модели соответст венно, но при заземленном конце обмотки.
Анализ приведенных осциллограмм с точки зрения затухания колебаний позволяет сделать следующие вы воды.