где
фѵ |
= |
arctg -g |
- к |
|
|
|
+ b ) |
' |
|
|
it + w v К |
X |
= |
arctg —5 |
|
|
|
|
|
Y? + |
wv К |
- b) |
' |
l(0 — постоянная интегрирования, |
являющаяся |
функцией t, числовое |
значение которой определять не нужно. Если частота напряжения на
входе обмотки совпадает |
с одной из частот собственных |
колебаний |
обмотки (й = юѵ ), то для |
малых Тѵ по сравнению с wv |
выражение |
(9-!2) дает составляющие основной частоты:
и. (t) |
ѵях / 1 |
b |
\ |
- ^ - ^ и |
(0) sin 6^ + Л ѵ sin - у — I-j- |
sin bt + ^r - cos 6M(9-14) |
[в выражении |
(9-14) опущена сумма высших гармоник |
из выраже |
ния (9-12)]. Таким образом, установившееся состояние |
определяется |
не только пространственной гармоникой, соответствующей резонанс ной частоте. Только когда нет потерь ( Y v = 0 ) , составляющая резо нансной частоты превышает остальные гармонические составляющие настолько, что ими можно пренебречь; следовательно, по максимуму напряжения в одной точке обмотки нельзя заключить, что условия резонанса выполнены точно.
Из (9-14) следует, что кривая напряжения содержит главным образом вынужденные колебания и колебания с резонансной часто той; хотя имеются все другие гармоники, их доля очень мала. По этому ясно, что отдельные гармонические составляющие свободных колебаний накладываются на кривую, которая представляет собой пространственное распределение напряжения вынужденной частоты.
Общее максимальное напряжение |
относительно земли складывается |
в каждой точке из двух частей: |
из вынужденного напряжения по |
отношению к земле и напряжения |
отдельных гармоник. Узлы гармо |
нических колебаний лежат на кривой вынужденного распределения напряжения.
в) Методы, при которых измеряется зависимость напряжения от тока, из-за их малой точности практически не применяются, и поэто му на них не будем подробно останавливаться.
г) Метод частотной характеристики полного сопротивления при меняется обычно для определения частот цепей, состоящих из многих одинаковых элементов. Исследуемая цепь подключается к синусои дальному напряжению с постоянной амплитудой и переменной часто
той. При каждой частоте измеряют |
ток, определяют сопротивление |
и строят зависимость сопротивления |
от частоты (рис. 9-52). Точки |
максимума и минимума кривой соответствует последовательному и параллельному резонансу.
Полное сопротивление определяется как по току на входе (кри вая а), так и по току в конце (кривая б). Из (9-13) следует, что
измерение тока на заземленном конце исследуемой обмотки дает
возможность |
более надежно определять резонанс |
по сравнению |
с измерением тока на входе, |
так как при х=1 |
выпадает член, содер |
жащий (/—х)2 . |
Эти выводы |
подтверждаются |
кривыми |
на рис. 9-52, |
которые получены для обмотки описанного выше трансформатора. 320
Частотные характеристики полного сопротивления дают возмож ность получить соответствующую точку резонанса по максимуму или минимуму сопротивления. Но если резонанс определяется по собст венной частоте системы, то такой метод не дает точного результата. Это видно из (9-13), которое показывает, что при 6 = шѵ нельзя определить ни максимум, ни минимум тока, за исключением случая, когда отсутствует затухание. Поэтому у реальной обмотки имеется некоторое различие между частотой, которая соответствует максиму му или минимуму тока, и собственной частотой. На рис. 9-52,6 ми-
0 |
40 SO ПО 760 кГц 0 40 80 720 160 кГц |
|
а) |
б) |
|
Рис. 9-52. Изменение сопротивления |
обмотки |
в зависимости от частоты. |
|
|
а — при измерении тока в начале |
обмотки; |
б — при |
измерении тока в конце обмотки. |
|
|
нимум тока соответствует частотам 44 и |
I20 кГц, хотя собственные |
частоты для основной и второй гармоник |
(рис. 9-49) составляют 41 |
и 105 кГц. |
|
|
|
Ошибка при измерениях с помощью методов пп. «а»—«г» состав ляет обычно 5—10%. Лучшие результаты дает метод п. «а», но толь ко для основной и второй гармоник; этот метод, так же как и ме тод п. «б», требует наличия отпаек на обмотке. Метод п. «б» позво
ляет определить, |
кроме основной и второй гармоник, также высшие |
гармоники. Если |
выведены |
только концы обмотки, применяют ме |
тод «г», но при этом нужно |
учитывать упомянутые выше отклонения. |
9-8. Экспериментальное определение входной емкости
трансформатора
Величина эффективной входной емкости Сэ трансформатора опре деляет нагрузку импульсного генератора и, следовательно, является важным параметром при проведении импульсного испытания.
Ниже излагается приближенный метод, предложенный Падертой, который позволяет непосредственно измерить эффективную входную емкость обмотки трансформатора [Л. 9-45].
Принцип метода измерений основывается на том, что емкость данной величины С0 разряжается за короткий период времени через
искровой промежуток и через обмотку трансформатора. |
Записывая |
21—8 |
321 |
Глава десятой
МОДЕЛИРОВАНИЕ ИМПУЛЬСНЫХ ПРОЦЕССОВ В ТРАНСФОРМАТОРАХ
10-1. Введение
При разработке высоковольтных и сверхвысоковольт ных трансформаторов надо знать, как выполнить изоля цию обмоток, чтобы она выдерживала атмосферные и коммутационные перенапряжения. Для этого надо опре делить электрические напряжения во всех опасных точ ках обмотки и прочность соответствующей изоляции. Прочность изоляции определяется при лабораторных испытаниях раз и навсегда; величины электрических на пряжений, однако, должны быть рассмотрены более или менее самостоятельно в каждом случае. ІѴІатематический анализ импульсных процессов сложен уже для одно слойной цилиндрической обмотки при прямоугольном импульсе. Таким образом, математический анализ жела тельно ограничить фундаментальной теорией переходных процессов в трансформаторах, необходимой для пони мания принципов, определяющих физическую природу процессов. Трансформаторы, особенно мощные, пред ставляют собой более сложные системы, чем упомянутые однослойные обмотки. Такие системы слишком сложны, чтобы их можно было рассчитывать без упрощающих предположений. Другая трудность состоит в определении электрических постоянных, особенно с учетом нелиней ности свойств стали. Должны быть учтены и следующие моменты.
При расчете и проектировании трансформаторов на до знать максимальные значения переходных напряже ний между различными точками обмотки и заземленны ми частями, а также между различными элементами обмоток при воздействии импульсов напряжения при испытании и в эксплуатации. Переходные напряжения
зависят от того, на какую обмотку воздействует |
импульс, |
и от схемы соединения других обмоток, в том |
числе от |
их заземления через сопротивления (иногда |
нелиней |
ные), от усиления витковой изоляции и т. п. |
|
Точный математический анализ с учетом всех этих факторов практически невозможен. На стадии предва рительных исследований, однако, можно определить не обходимые величины на модели обмотки в натуральную
величину, Как это иногда делают. Такие модели Для мощных трансформаторов дороги. Этим объясняется, почему для этой цели строятся уменьшенные модели. Такие модели должны правильно воспроизводить пере ходные процессы в оригиналах.
Покажем сначала, как вывести законы, определяю щие конструкцию модели, с помощью анализа размер ностей.
10-2. Анализ размерностей и теория моделирования
Применение анализа размерностей к физическому явлению основано на положении о том, что явление мо жет быть описано размерно однородным уравнениемі , выражения в котором являются произведениями опреде ляющих данный процесс величин. Это положение основа но на том, что основные уравнения физики являются размерно однородными; следовательно, соотношения, выведенные из них, должны быть также размерно одно родными.
При проведении анализа размерностей данного фи зического явления сначала надо определить, какие ве личины обязательно участвуют в явлении.
Затем формируется полная система произведений степеней определяющих величин, выбранных так, чтобы получить единицу как результирующую размерность про изведений, т. е. безразмерную величину. Составляющие системы называются безразмерными критериями. Изве стно, что эта система будет полная, если каждый из ее членов не зависит от другого и каждый последующий безразмерный критерий получается из произведения не которых степеней безразмерных критериев этой си стемы 2 .
Точное правило для определения числа безразмерных критериев в полной системе было выведено Ван Др-истом (van Driest) [Л. 10-2]. Согласно этому правилу, число безразмерных критериев в полной системе равно общему числу определяющих величин явления за вычетом ма-
1 В размерно однородном уравнении входящие в виде слагае мых члены имеют одинаковую размерность. — Прим. ред.
2 Букингэм (Buckingham) (Л. 10-18] сформулировал теорему, утверждающую, что уравнение является размерно однородным, если оно может быть сведено к соотношениям между полной системой безразмерных критериев.
ксимальйого числа тех величин, которые не формируют безразмерный критерий. Другое правило, аналогичное предыдущему, говорит, что число безразмерных крите риев равно общему числу величин, уменьшенному на ранг матрицы'размерностей.
Матрица размерностей некоторого процесса, характе ризуемого соответствующими определяющими величина ми, получается, если величины и их размерности свести в таблицу, как это показано в следующем примере, важ ном для дальнейшего рассмотрения.
Рассмотрим электрический процесс, изменяющийся со временем, в устройстве, состоящем из катушки без рассеяния, включенной последовательно с конденсато ром. Катушка имеет форму соленоида из N витков на стальном сердечнике. Из электрических величин системы учитываем напряжение и, приложенное к системе, маг нитный поток Ф в сердечнике, ток і и емкость конден сатора С. Напряжение, магнитный поток и ток являются функциями времени t.
Число определяющих |
величин |
равно 5 (и, ЫФ, t, С, |
і). Определяющие |
величины |
объединяются |
уравнением |
/(и, |
NO, |
t, |
С, |
і)=0. |
|
( 1 0 - 1 ) |
В системе М К С А 1 |
матрица |
размерностей |
имеет вид: |
|
и |
ЫФ |
t |
С |
|
і |
|
м |
|
2 |
2 |
0 |
—2 |
|
0 |
|
кг |
|
1 |
1 |
0 |
— |
1 |
0 |
|
с |
— 3 — 2 |
1 |
4 |
|
0 |
|
А |
|
1 — 1 0 |
|
2 |
|
1 |
|
Здесь ранг матрицы равен 3. Согласно приведенному выше правилу число безразмерных критериев в полной системе равно:
5—3 = 2.
Произведение всех определяющих величин этого про цесса имеет вид:
* = |
(ЫФ)к> thCki і \ |
(10-2) |
1 То же в Международной системе единиц СИ. — Прим. ред.
Его размерность после подстановки размерностей из
приведенной матрицы равна: |
|
|
|
[1 T ] = ( M 2 - K r - c - 3 - A - 1 ) f t l |
( м ' - к г - с ^ - А - ^ ' Х |
Х С А З ( М - 2 - К Г - ' - С 4 - А 2 ) Й ' А Ч |
(10-3) |
Поскольку произведение п должно быть безразмер |
ным, результирующий показатель для |
каждой |
единицы |
в отдельности должен быть равен нулю. |
|
|
Следовательно: |
|
|
|
|
для «м» |
|
|
|
(10-4) |
2^1 + 2^2—2^ = 0, |
|
для «кг» |
|
|
|
(10-5) |
ki + |
kz—/е4 |
= 0; |
|
для «с» |
|
|
|
(10-6) |
—3Ä1—2ft2 +*з +4*4 = 0; |
|
для «А» |
|
|
|
•(10-7) |
— kl—k2 |
+ 2 *4+^5=0 . |
|
Уравнения (10-4) и (10-5) |
линейно |
зависимы, и при |
решении должно учитываться лишь одно из них. Таким
образом, |
остается три уравнения |
для пяти неизвестных. |
Следовательно, |
два неизвестных |
могут быть |
выбраны |
произвольно. |
|
|
|
|
В первом случае &і= 1, k2 = Q и &з = — 1, ^ 4 = 1, |
ka = -—1. |
Во втором случае ki = — 1, k2=\ |
и кз = — 1, |
&4 = 0, кь = |
= 0. |
|
|
|
|
|
Для |
первого |
случая получаем |
безразмерный |
крите |
рий |
|
т = иС/а. |
|
|
(10-8) |
|
|
|
|
Для второго |
случая |
|
|
|
|
|
п2=ЫФ/иі; |
|
|
(10-9) |
ЛІ и л 2 образуют в данном случае полную систему безразмерных критериев, поскольку они независимы один от другого. Каждая последующая комбинация решений приводит к безразмерным аргументам, которые получа ются произведением степеней критериев яі и л 2 .
Используя безразмерные критерии, можно записать (10-1) в виде
/>(£.£)=<>. (юле.
Это уравнение является общим и может быть при менимо как к оригиналу, так и к модели. Это означает,
что численные значения безразмерных критериев долж ны быть одинаковыми для оригинала и модели.
Далее величины оригинала будут отмечаться индек сом «о», а величины модели — индексом «м». Масштабы моделирования р (отношения величин модели и ориги нала), если рассматривать N и Ф' как независимые ве личины, будут:
р и = иы/и0; |
(10-11) |
PN = NM/N0; |
(10-12) |
Р Ф = Ф М / Ф 0 ; |
(10-13) |
Pt = tu/t0; |
(10-14) |
рс = См/С0; |
(10-15) |
Pi = Ui0. |
(10-16) |
Согласно (10-8) можно записать: |
|
WMC"M/^M'M= |
UoCo/to'io, |
(10-17) |
откуда, учитывая масштабы, |
получаем: |
|
pu=ptPi/pc. |
(10-18) |
Аналогично из (10-9): |
|
|
РФ=РіриІРм. (10-19)
Уравнения (10-18) и (10-19) дают соотношения меж ду масштабами моделирования. Следует отметить, что среди масштабов нет такого, который указывал бы на изменение пространственных размеров.
Для введения масштаба геометрических размеров рі следует использовать два последующих безразмерных критерия, которые могут быть легко получены из зако нов электродинамики. Первый из них
где В — магнитная индукция |
в стальном сердечнике и |
Р — активное |
поперечное |
сечение |
сердечника. |
Критерии |
должны быть |
одинаковыми |
для |
оригинала и |
модели, |
т. е. |
|
|
|
|
|
|
ФмІВмРи |
= |
Фо/В0Р0, |
|
откуда получим соотношение масштабов
pJPBP*t=U |
^ (10-21) |
здесь |
|
pB = BMfB0; |
(10-22) |
P*i=P*JPo. |
(10-23) |
Чтобы точно воспроизвести стики стального сердечника в наковую магнитную индукцию т. е.
нелинейные характери модели, принимаем оди в оригинале и модели,
|
|
Рв=Л. |
|
(10-24) |
Тогда из (10-21) |
имеем: |
|
|
|
|
|
РФ = р]. |
|
(Ю-25) |
Другой из этих |
безразмерных критериев будет: |
|
|
я 4 = MD/Li, |
|
(10-26) |
где L — индуктивность катушки. |
|
|
Отсюда получим для масштабов: |
|
|
|
|
PNPJPLPÎ |
= 1, |
|
(10-27) |
где |
|
PL = LM/L0. |
|
(10-28) |
|
|
|
Использовав (10-25), получим: |
|
|
|
|
Pi = PNp\lpL. |
|
(Ю-29) |
Однако, если (10-24) справедливо, |
можно |
записать |
для рс: |
|
|
|
|
|
|
|
PL=PiP2N, |
|
(Ю-30) |
так что |
|
|
|
|
|
|
|
Pi = |
Pi/pif. |
|
(Ю-31) |
Подставив |
(10-25), получим из (10-19): |
|
|
|
Pu = |
p\pNfpt |
|
(Ю-32) |
и, использовав |
(10-31) и (10-32), получим |
далее |
из (10-18): |
|
|
Pc = |
p2JpiP2N. |
|
(Ю-ЗЗ) |
Выражения (10 - 24), (10 - 25), (10-30) — ( 1 0 - 3 3 ) дают законы моделирования рассмотренной системы, которые должны быть использованы для перехода от величин оригинала к величинам модели, если выберем, напри мер, масштаб уменьшения размеров рі, времени pt и числа витков рн- Как будет показано ниже, законы мо делирования, выведенные здесь, применимы также при моделировании импульсных процессов в трансформа торах.
10-3. Дифференциальные уравнения моделируемого
процесса
Выше было показано, как получить законы модели рования из безразмерных критериев. Если известны диф ференциальные уравнения моделируемого процесса, эти законы можно получить, анализируя указанные уравне ния. Выведем сначала законы подобия в случае элек тромагнитного процесса в общем виде. Начнем с законов Максвелла для линейной изотропной среды [Л. 10-2, 10-3]:
|
|
|
|
rot Е + [і[хв ^ |
= 0; |
(10-34) |
r o t t f - s £ B ^ = |
Y£, |
(10-35) |
где р. — относительная магнитная |
проницаемость; |
е —от |
носительная диэлектрическая постоянная; цв и |
ев — со |
ответствующие абсолютные |
значения для вакуума; Е и |
H — векторы напряженности |
электрического и магнитно |
го полей; t — время; у — |
проводимость. |
Начнем с рассмотрения двух геометрически подобных |
систем, которые имеют |
одинаковое |
пространственное |
распределение характеристик ц., е, у |
материалов; более |
того, начальные условия каждой системы и граничные
условия одинаковые. Одна |
система |
(с индексом |
«м») — |
модель, другая (с индексом |
«о») —оригинал. Уравнения |
Максвелла для оригинала |
|
|
|
r o t o £ o |
+ ^»4^ = 0 ; |
(10-33) |
rot0 tf0 — |
[ A O |
! X B ^ - = |
Y 0 £ 0 , |
(10-37) |
