книги из ГПНТБ / Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач
.pdf20 МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [Гл. 1
качестве приближения для точки минимума ы* в задаче Б примем
и п = - j- (ak + bk), допустив при этом погрешность
+ б -
В задаче А примем
Un = |
u2k- l при / (u2k- 1) < |
J (игк), |
ип = |
игк при J («2fc-l) > J («2ft) |
с уже известным значением |
/ («„); |
допускаемая при этом погреш |
||
ность |
|
|
|
|
|
!«* — «.*| < 6 *— а* < |
ь ~з.£.. + б. |
||
Зная |
величину погрешности |
в определении и* при 6-кратном де |
лении отрезка пополам, легко подсчитать число п = 26 вычислений значений функции для получения и* с нужной точностью е,
£ > б > 0 .
Заметим, если для функции J(u )^ .Q [a,b ] нижняя грань J (и) на U не достигается, то при 5—>-0, 6-»-оо описанный метод позволя ет строить минимизирующую последовательность — для этого до
статочно, |
например, взять упомянутые выше величины ип, п = |
= 2 6 ( 6 = |
1,2, ...). Метод деления отрезка пополам может быть ис |
пользован для поиска минимума произвольной непрерывной функ
ции на отрезке [а, b], однако в результате придем, вообще говоря, |
|
к точке локального минимума. |
|и* — ипI |
Сравнивая полученные выше оценки погрешности |
|
для функций из класса Q*[a, 6] с оценками из теорем 3.1 |
и 3.3, не |
трудно убедиться в преимуществе метода деления отрезка пополам по сравнению с пассивным поиском уже при небольших п — 21г. Однако существуют последовательные' стратегии, которые лучше метода деления отрезка пополам.
§ 6. ОПТИМАЛЬНЫЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЙ ПОИСК ДЛЯ ЗАДАЧИ А
|
Оказывается, оптимальная последовательная стратегия для за |
|
дачи |
А связана со знаменитыми числами |
Фибоначчи, и поэтому |
\, эту |
стратегию будем называть стратегией, |
или планом, Фибо- |
у начни.
$ б] Оптимальный последовательный поиск для задачи А 21
|
Как известно [56], числа Фибоначчи определяются так: |
F n+2= |
||||||||||||||||||
= / 7n+i+^n, |
(/ i= l, 2, |
...); |
/7i = / 72 = 1 . |
Нетрудно |
показать, |
что |
||||||||||||||
|
|
|
F „ = |
|
|
1 + |
/ 5 |
|
|
1 |
— / 5 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
. / 5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Перейдем к описанию |
плана |
Фибоначчи Фп |
(n^sl). |
|
Пусть |
||||||||||||||
J( « )e Q * [a , |
b\. При п— 1 |
план Ф\ прост: |
берем «1 |
__ |
а |
Ь |
|
и вы |
||||||||||||
числяем значение 1(щ ). Полагая |
и[ = и1, |
определим |
точку |
мини |
||||||||||||||||
мума и* с погрешностью |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
К |
— « ! | < |
|
Ъ— а |
|
6 — а |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть теперь п > 2 . Тогда план Ф„ |
начинается |
с |
выбора |
двух |
|||||||||||||||
точек |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«х = аЧ-----—— (6 — а), |
|
и2 = |
а + — п+1 |
|
(Ь — а) = |
а + |
Ь— их, |
|||||||||||||
|
|
|
Рп+2 |
|
|
|
|
|
|
F n+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
расположенных на отрезке [а, |
6] |
симметрично, |
и |
вычисления значе |
||||||||||||||||
ний |
JijUj), J |
(и2). |
Если J |
(%) < J (и2), |
то |
|
полагаем |
а 2 = |
а, |
Ь2 = и2, |
||||||||||
и 2 = |
и1\ если же J (их)^> J |
(и2), то а 2 = |
ult |
|
b2 — b, |
и2 — и2. В резуль |
||||||||||||||
тате |
получаем отрезок |
[а2, |
Ь2] |
длины |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
(Ъ— а), |
|
|
|
|
|||
|
|
|
Ь2— а 2 = b — и1 = и2— а — — |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fn+2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
содержащий |
точку и* |
и точку и2, |
а 2< ы 2 < 6 2, |
в |
которой |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
J (и2) = min{J (их), J {и2)}. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Заметим, что |
точка и2 совпадает с |
одной |
из точек ' |
|
|
|
|
|
||||||||||||
щ = |
а 2+ |
/ — |
(р2 — а 2) = |
а2 + |
|
Гп+2 |
{b — а) (при J (их) < |
J |
(и2)) |
|||||||||||
|
|
|
г Л+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31ЛИ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ul = a 2+ |
F"~1■- {b, — а2) = а 2 + |
|
^,1~1 - (6 — а) = |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
ГП+Х |
|
|
|
|
|
|
* Л +2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
= а2 + |
Ъг — «2 |
(при J Ы |
> 7 (и2)). |
|
|
|
|
|
|||||||||
Далее на отрезке [а2, 62] выбираем следующую |
точку и3 = |
а 2-f b2— |
||||||||||||||||||
— и2, |
вычисляем 7 ( а 3) |
и сравнением величин 7 |
(и2), |
J |
(us) находим |
|||||||||||||||
новый |
отрезок [а3, |
63] |
и т. |
д. (рис. |
2). |
В |
общем случае, |
пусть точ |
22 |
МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИИ одной ПЕРЕМЕННОЙ |
\ГЛ. 1 |
ки |
иъ |
. . . |
, ик (2 < |
k < п) |
уже |
выбраны, |
пусть |
найден |
отрезок |
||||||||||
[ak, |
bk\ длины |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
bk- a k = - ^ s - ( b - a ) , |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рп+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
содержащий |
точку и* и точку ик, |
ак < ик •< Ьк, |
с |
вычисленным |
зна |
||||||||||||||
чением |
J |
(ик) = |
min J (U[), |
причем |
точка ик |
совпадает с |
одной |
из |
|||||||||||
точек |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= а* + |
г n - f t + 8 |
(& * - * * ) = a* + |
|
“ /7 + 2 |
(6 — a) |
|
|
|
|||||||
ИЛИ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
“* = e* + |
|
|
Фк — ak) = a* + |
"4 ”— |
- (6 — a) = |
|
— uk. |
||||||||||||
Если |
|
|
|
то на |
отрезке |
[ak, bk] |
выбираем |
следующую |
точку: |
||||||||||
uk+\= |
ak + |
Ьк — ик, |
симметричную |
с ик на этом отрезке и |
|
совпада |
|||||||||||||
ющую |
с одной из точек и'к, ик, отличной от ик. |
Вычислим |
|
значение |
|||||||||||||||
J (ик+ О |
и сравним с |
J{u k). Пусть для |
|
определенности ик = |
ик <^ ик= |
||||||||||||||
= Uk+ 1 |
(случай Uk+i = u'k< |
Uft = uk рассматривается |
аналогично). Тог |
||||||||||||||||
да при |
J |
(Uk) < |
/ (Uk+i) |
полагаем |
ак+1 — ak, |
bk+] = ик+и |
uk+\ = ик. |
||||||||||||
Если же |
J (ик) > |
J (uk+i), |
то ak+l = |
ик, |
bk+l = |
bk, |
ик+1 = ик+и В |
ре |
|||||||||||
зультате |
получаем отрезок |
[a^+i, |
Ьк+1] |
длины |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
bk+1 — ak+1 = |
- 4 |
fe— Ф — a), |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•»/2+2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
содержащий точки и* и «*+1, afc+i < |
|
|
•< bk+u |
с известным |
значе |
||||||||||||||
нием J(u k+ i)= min J (u£), |
причем |
точка ик+1 |
совпадает с |
одной из |
точек
§ 6] Оптимальный последовательный поиск, для задачи А 23
«ft+1 — Oft-fi |
~ |
— (frft+i ~~ ak+i) — Oft+iЧ— тг~~ (b— а) |
|
|||||||||||
ИЛИ |
|
* H -fc + S |
|
|
|
|
|
|
* |
Л + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«ft+1 = |
Oft-j-i + |
- |
■(6ft+i — Oft+i) = |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Г Л - f t + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— Oft+1 H— |
г П +2 |
(b — a) = |
aft+i + |
bk+i — «ft+i, |
|
|
|
|||||||
и T. Д, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если k = п, то процесс заканчиваем и |
полагаем «^ = |
«„ |
с |
вы |
||||||||||
численным значением J |
(ип) = m in /(«,). |
Заметим, |
что |
при |
/е = /г |
|||||||||
длина отрезка |
[ап, Ьп] |
|
1<1<Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Ьп — а п = |
F3 |
{ Ь - а ) |
|
2(6 — а) |
|
|
|
|
|||||
|
Fп+ъ |
|
гFЛ + 2 |
’ |
|
|
|
|||||||
И ТОЧКИ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
|
I |
|
, и |
\ |
|
, |
6—а |
|
|
|
||
|
ип = ап + —- ± — (Ь — а) = а п + |
— |
------, |
|
|
|
||||||||
|
|
|
* п+г |
|
|
|
|
* * л + а |
|
|
|
|
||
|
" |
|
I |
/**« |
/* |
ч |
|
. |
&—a |
|
|
|
||
|
Цд = |
ал + —р * ■- |
(Ь — о) = |
оя + |
— ------ |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
- '" л + 2 |
|
|
|
|
* |
Л + 2 |
|
|
|
|
совпадают и делят отрезок [ап, |
6„] пополам. |
Таким |
образом, |
прини |
||||||||||
мая «л = ыя = |
«„ = «п, мы допускаем |
погрешность |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
, |
» |
* ___ |
Ь —а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|и — « л | < — ------- |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
* л+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
независимо от выбора функции J (и) в Q* [а, |
Ь]. |
Нетрудно видеть, |
что |
|||||||||||
для функции J (и) = |
и £ Q* [а, Ь] |
план Фп дает |
погрешность в опре |
|||||||||||
делении и* — а, в точности |
равную |
ь ~ а. _ |
Следовательно, |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
F n + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б£(Ф я, b — а) = -^г— - (« > 1). |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
Л + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
План Фибоначчи Ф„ полностью описан [56], |
[230]. |
|
|
|
|
|||||||||
Отметим одно замечательное свойство плана Ф„: применение |
||||||||||||||
плана Фл_б+ 1 |
к отрезку |
[afe, Ьи], полученному |
в |
результате |
пер |
вых k шагов плана Фибоначчи Ф„, равносильно дальнейшему про
должению плана Ф„ на этом отрезке [а;г, &ft], |
|
Этот факт |
||
вытекает из того, |
что первые |
две точки плана |
Фя-/г-н |
совпадают |
с точками и*, и*, |
или, что то |
же самое, с точками uk, |
«ft+i пла |
|
на Фп- |
|
. |
• |
|
План Фибоначчи Фп прост и удобен для использования на ЭВМ .
24 |
МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИИ одной ПЕРЕМЕННОЙ |
[/'л. ) |
|
Т е о р е м а 1. Для задачи А план Фп является |
оптимальным: |
|
б£(ФЛ) b — а) = i n f (Р , Ь— а) = Ъ£(Ь— а) = |
±=2-. |
|
Рп |
Рп+2 |
Других оптимальных последовательных стратегий нет. |
||
|
Доказательство будем проводить индукцией по |
п. При п = \ у |
очевидно, все утверждения теоремы верны. Пусть оптимальность плана Фь. и единственность оптимальной последовательной страте гии доказаны при всех k — 1, 2, ..., п—\1 ( п ^ 2 ) . Покажем, что тог да план Фп оптимален и других оптимальных стратегий нет. Возь
мем произвольную |
последовательную стратегию Р п ( п ^ 2 ) . Со |
||
гласно |
определению |
4.1 стратегии Р п вначале выбираются |
точки |
ии .... |
ы5е [ а , b\ ( l ^ s ^ n ) , и сравнением величин J{u {), ..., |
J(u s) |
находится отрезок [as, 6S], содержащий точку минимума и* и точку
щ с вычисленным значением J (us) = |
min |
/(«*). Не умаляя общ- |
||
|
|
|
l < i < s |
|
ностн, |
можем |
считать, что 2 ^ s ^ n . |
В самом деле, задание одной, |
|
точки |
«1 (s = |
1) ничего не добавляет к |
известной информации о- |
|
том, что |
и поэтому остается переходить сразу ко второ |
му шагу стратегии Р п, заключающемуся в задании следующих не
скольких точек и.2, ..., us ( s ^ 2 ) , что, |
конечно, равносильно заданию' |
||||||
точек щ, иа, |
us |
( s ^ 2) |
с самого начала, на |
первом же шаге |
|||
стратегии Рп. Итак, |
2 ^ s ^ t t . |
|
|
|
|
||
Отдельно рассмотрим случай s — 2^.n, когда стратегия Р п на |
|||||||
чинается с выбора двух точек щ, |
«2, |
a^ .ui< iU 2^ b . Начальные |
|||||
точки плана Фп обозначим через |
|
|
|
|
|||
и\ = |
a -j-----—— (Ь— а), |
и2 = |
а -)— Fn+1 |
(b — а). |
|||
|
|
Fп+2 |
|
|
|
■ Fп+а |
|
Начнем со случая |
их<С.и\. |
Если |
/(и,) > / (и2) , то точка и* мини |
||||
мума будет находиться на |
отрезке |
[щ, Ь] длины |
b — их^> b — щ,. |
причем для поиска и* на этом отрезке мы можем вычислить зна чение функции /(и) еще в п— 1 точках, включая точку й2= и 2. Если даже точка й2 на отрезке [«i, b] расположена так удачно и допускает применения оптимального (в силу индукции) плана Фп- 1 на К b] с участием точки й2, то и в этом случае гарантированная погрешность в определении и* будет больше, чем при применении плана Фп на [а, Ь]:
6* (Ра, Ь - а) > б£_, (Фп- 1, b — их) = =
= = 6А (Ф„, Ь— а).
* Л + 2
§ 6] |
Оптимальный последовательный поиск для задачи |
А |
25 |
||||
Таким |
образом, стратегии Р п, |
начинающиеся |
с |
выбора |
двух |
||
точек «ь и2, |
a ^ .u i< u 2s^b, |
где |
заведомо |
неоптимальны. |
|||
Аналогичные |
рассуждения |
показывают, что стратегии Р п с выбо |
|||||
ром точки |
и2> и 2 также |
не могут быть оптимальными. |
|
||||
Пусть |
теперь |
В худшем случае точка и* может на |
|||||
ходиться на отрезке [а, и{\ длиной |
|
|
|
|
|||
|
|
их— |
— а = ——— (b — а), |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рп+г |
|
|
|
и на поиск и* на этом отрезке в нашем распоряжении остается еще п—2 вычисления значений функции. Но если даже стратегия Р п такова, что дальнейший поиск и* на [а, и{\ совпадает с опти мальным планом Фп- 2, то и в этом случае гарантированная по грешность в определении и* будет больше, чем при применении плана Фп на [а, Ь\.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
(РП, ь - а ) > 6„А- 2 (Фп—2, Щ — а) — |
|
Гп |
|
Гп |
= |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
= |
Ь р - |
= ЪКа(Ф п, Ь - а ) . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Таким |
образом, |
стратегии |
Р п, |
начинающиеся |
с |
двух |
точек |
|||||||||||
U\, и2, |
a^.Ui<Zu2^ .b, |
где |
|
, |
заведомо |
неоптимальны. |
|
Ана |
||||||||||
логично |
доказывается |
неоптимальность |
стратегии |
Рп в случае |
||||||||||||||
ы2 < “ 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Остается рассмотреть случай % = и*, |
и2 = и2, когда первые |
две |
||||||||||||||||
точки |
стратегии Рп и |
плана |
Фп |
совпадают, |
|
и |
сравнение |
величин |
||||||||||
J(u*), |
J (и2) приведет к |
отрезку |
[а2, |
Ь*2\, |
|
содержащему |
точки |
|
и* и |
|||||||||
« 2 с J |
(и2) — min { J (и*), |
J (и2)}. На поиск и* |
|
на |
этом отрезке в |
на |
||||||||||||
шем распоряжении остается |
вычисление |
|
значений функции |
еще в |
||||||||||||||
п — 1 |
(п > 2) точках, |
включая точку и2. |
Продолжением плана Ф„ на |
|||||||||||||||
отрезке |
[а2, |
Ь*2\ является план Ф»_1 |
на |
этом |
отрезке, |
являющийся |
||||||||||||
единственной оптимальной последовательной |
стратегией по |
предполо |
||||||||||||||||
жению индукции. Поэтому любое |
отклонение |
стратегии |
Рп на [а2, |
|||||||||||||||
Ь2] от Фп приведет лишь к увеличению |
|
гарантированной |
погрешно |
|||||||||||||||
сти: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 А (Ря, b - а) > бА_! (Фп- и Ъ\ - а2) = 6 |
${Фп,Ь — а) |
|
|
|||||||||||||
при Рп Ф Фп. Таким образом, |
среди |
стратегий Рп, |
начинающихся с |
|||||||||||||||
выбора двух |
точек их, и2£ [а, й] (s = |
2), |
|
наилучшей |
является |
|
план |
|||||||||||
Фибоначчи -Фп. В частности, |
при /1 = |
2 |
наилучшим будет план Ф2. |
26 |
МИНИМИЗАЦИЯ |
ФУНКЦИИ |
одной |
ПЕРЕМЕННОЙ |
|
|
|
[Л'1. J |
||||||||||||
|
Наконец, перейдем к рассмотрению последовательных |
стратегий |
||||||||||||||||||
Рп, |
начинающихся с выбора s |
точек |
ult и2........... us 6 |
[а, |
b], |
2 < |
s |
< |
||||||||||||
< п . В этом |
случае, |
сравнивая |
значения |
J |
(tij), |
|
, J (us) , |
мы |
най |
|||||||||||
дем отрезок |
[as, 6S], содержащий точки «* |
и us, a s<^us <^bs |
с |
|
вы |
|||||||||||||||
численным |
значением J (us) — min J (u {). |
Согласно следствию 3.1 при |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
I < L < S |
|
|
|
|
на классе Q* [а, b] |
будем |
|||||||
любых, даже самых наилучших действиях |
|
|||||||||||||||||||
иметь bs — a s > — ■ |
, |
где т = - у |
при четном s, |
т = |
--- ~ ■■ при |
|||||||||||||||
нечетном s ( / n > l ) . В |
то же самое время, |
оказывается,. первые s ша |
||||||||||||||||||
гов |
плана Фп приводят к |
отрезку |
[a*. b*s] |
меньшей длины |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
as = |
|
Fn- |
(b — a) < |
|
|
< b s |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
т + |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Это вытекает из |
следующих неравенств: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2Fn+2 > |
(s + |
1) F n s +з |
при |
s = |
2т + 1, |
3 < |
s < |
п, |
|
|
|
( 1) |
|||||||
|
2Fn+2 > |
(s + |
2) F„_s.l3 |
при |
s = |
2in, |
4 < |
s < |
n. |
|
|
|
(2) |
|||||||
Справедливость |
неравенства |
(1) |
при s = 3 и |
(2) |
при |
s = 4 |
легко |
|||||||||||||
установить с помощью индукции по п. |
При всех s ^ 4 , |
оказывает |
||||||||||||||||||
ся, |
верно более сильное неравенство (2), |
|
вытекающее из монотон |
|||||||||||||||||
ного убывания |
(s + 2 ) |
F„_s+3 при возрастании s |
от s = 4 до s = ti: |
|||||||||||||||||
|
(s + |
2) F„_s+з = |
(s + |
2) Fn- s+2 + |
(s + 2) Fn_ s+l > |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
(S + 2) F n- s + 2 + Fn—s_|_2 = (s + 3) F n- s +2. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
При поиске точки u* на отрезке [as, bs] можно вычислить зна |
|||||||||||||||||||
чения функции еще в п—s + 1 |
точках Зтого отрезка, включая точку |
|||||||||||||||||||
ds. Если даже точка й$ на [as, |
bs] расположена очень удачно и до |
|||||||||||||||||||
пускает применение оптимального |
(в силу индукции) плана Ф п- з + i |
|||||||||||||||||||
на отрезке (as, bs] с участием точки й 3, |
мы сможем получить лишь |
|||||||||||||||||||
бп.(Р„, b — a ) > bn-s+i (Фп- s+ь bs— a s) = |
bs—as |
> |
bs ~ |
a s |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fn-s+3 |
|
Fn-,s+з |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
b — a = б*(Ф „, b — a). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
/2+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, случай 2 <^s<Cn также |
рассмотрен. |
|
|
|
|
|
|
Теперь нетрудно ответить на следующий практически важный вопрос: сколько следует произвести наблюдений значений J(u ), чтобы с заданной точностью е > 0 определить точку и* минимума / (« ) e Q 4[a, &]? Количество необходимых для этого наблюдений
S п Оптимальный последовательный поиск для задана Б 27
в задаче А равно наименьшему из чисел л, удовлетворяющих не равенствам
Ь — а |
, |
. Ь— а |
п |
. 6 — а |
. „ |
— ------ < |
8 < |
— ------ ИЛИ |
F n+l < |
----------< |
F n+2. |
г п+* |
|
* п+1 |
|
Е |
|
Очевидно также, длина отрезка [а, Ь], на котором можно найти
точку и* минимума функции / (u )eQ *[a , |
Ь] с заданной точностью |
|||||||||||||
s > 0 , |
произведя л наблюдений |
значений |
/(«), |
не |
превышает |
|||||||||
e F п+2- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ |
7. ОПТИМАЛЬНЫЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЙ ПОИСК |
|
|
||||||||||
|
|
|
ДЛЯ ЗАДАЧИ Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Т е о р е м а 1. Для |
задачи Б наименьшая возможная гаранти |
|||||||||||||
рованная на классе Q*[a, Ъ\погрешность равна |
6„ (Ь— а) = |
-b~ a- 1 |
||||||||||||
однако оптимальной последовательной |
|
|
|
|
|
|
|
2Fя+1 |
||||||
стратегии Р п при п~>\ не |
||||||||||||||
существует. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . П р и л = 1 |
независимо |
от |
выбора |
точки |
||||||||||
их6 [а, Ь] (и даже не вычисляя |
значения |
|
J (их)) можем |
положить |
||||||||||
* |
a -j- Ь |
|
. * |
* I |
- |
Ь — а |
|
b — а |
^ |
|
|
|||
Ui = -----1— |
с погрешностью |и — щ \- < ----------= |
-----------. Очевидно, |
||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2F2 |
|
|
|
любой |
другой выбор «1 |
может |
привести |
лишь, |
к большей |
погреш |
||||||||
ности. Теперь покажем, |
что для |
любого в, |
0 |
< |
е < |
&~ |
а- , ' |
и |
лк> |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2Fn+1 |
|
|
|
бого л > 1 можно построить последовательный план Фл , |
для |
кото |
||||||||||||
рого |
|
Ь — а |
|
|
|
Ь — а |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
< |
|
I 8. |
|
|
|
|
||||
|
|
< ? п (Фп, Ь — а) |
2Еп+1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2Ел+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
План Фл будем строить следующим образом. На |
отрезке [а, Ь] сна |
|||||||||||||
чала реализуем описанный при решении |
задачи А фибоначчиев |
план |
||||||||||||
Фп- 1 = |
Фп—1 и получим'отрезок |
[ал- ь |
bn- i] |
|
длины |
|
|
|
|
2 (Ь — а)
Ьп—1 &п—1
Fп+1
содержащий точку минимума и и точку
И в -1 — (а п—1 + bn—l )
с вычисленным значением
J(u n-i) = min J (u t) (л > 2, ах — а, Ьх = Ь)
—1
28 |
МИНИМИЗАЦИЯ |
ФУНКЦИИ |
о д н о й |
ПЕРЕМЕННОЙ |
|
[,Гл. Т |
|||
После этого положим ип = un- i + |
е, вычислим значение |
J (ип) |
и оп |
||||||
ределим |
точку ип следующим образом: |
|
|
|
|
|
|||
|
|
— (an- i |
+ ип), если |
J (un_,) < J |
(ип), |
|
|
||
|
ип = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- у («л-1 |
+ Ьп~0, если J |
(u„-i) > |
J («„). |
|
|
||
Принимая |
ип в качестве приближения для |
и*, допустим |
погрешность |
||||||
|
|
■ип |< ип — «п-1 |
Ь— а . е |
|
|
||||
|
|
|
|
|
2F,л+г |
|
|
|
|
Таким образом; |
план Ф „, |
гарантирующий погрешность, |
как |
угодно |
|||||
близкую |
к —— |
-а-, построен при всех |
п > |
2 (рис. 3). |
|
|
|||
|
2F,п+1 |
|
|
|
|
|
|
|
Ли)
|
|
|
|
(в-а)) |
|
|
|
|
|
Р и |
с. |
3 |
|
|
|
Далее докажем, что |
|
|
|
|
|
|
|
б)? (b — а) = |
inf бп (Р„, |
Ь— а) = |
|
ь ~ а . При всех я — 1, 2, . . . |
, |
||
|
рп |
|
|
2Fn+l |
|
|
|
а также убедимся в том, |
что б„ (Рп, Ь— а) > |
—— — для любой пос- |
|||||
|
|
Рп при |
|
|
2F„+1 |
|
|
ледовательной |
стратегии |
всех я > 2 . Как |
было показано |
||||
выше, при п = |
1 имеем 6f (b — а) = |
—— —. При я = |
2, очевидно, |
||||
|
6 l(P 2, |
Ь - a ) |
|
= |
Ъ— а |
|
|
|
|
2Fs |
|
|
|||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
для любой стратегии Р 2. |
С другой стороны, |
для любого е > 0 |
мож' |
||||
но указать стратегикГФг, |
для которой |
|
|
|
бi (Ф д, Ь — а) <
§ 7] |
Оптимальный |
последовательный |
поиск |
для задачи Б |
|
|
|
29 |
||||||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б! (b - |
а) = |
inf б! (Р2, b - |
а) |
= |
2Fs |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
рг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
причем нижняя грань |
здесь |
не |
|
достигается. |
Сделаем |
индуктивное- |
||||||||||||||
предположение: |
пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
6fc> |
- |
a |
) |
= |
- |
| |
- |
= |
^ - |
< |
8 |
b ~ |
а ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ k + i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
для любой последовательной |
стратегии Pk |
при всех |
k = |
2, |
3, |
. . . „ |
||||||||||||||
га— 1, (га > |
3), |
и докажем, что тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
б * ( й _ а ) ь = - А = ^ - < б Б ( Рл1 ь _ а) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ЛгП+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
для всех последовательных стратегий Рп. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Возьмем |
произвольную |
последовательную |
|
стратегию |
Р п. |
|||||||||||||||
(га^ З). Согласно определению |
4.1 стратегии |
Р п вначале |
выбира |
|||||||||||||||||
ются точки щ, |
и2, .... |
us^ [a, b], |
(l s^s^ra) . |
Как и в задаче А, не- |
||||||||||||||||
умаляя общности, можем считать, что |
2 ^ 's ^ ra |
(см. |
доказатель |
|||||||||||||||||
ство теоремы 6.1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Сначала рассмотрим случай s = 2 < r a , |
когда стратегия |
Рп начи |
||||||||||||||||||
нается с выбора двух точек а < |
их< м2 •< Ь. |
|
Начальные точки пла |
|||||||||||||||||
на Фп- i на [га, |
b] обозначим через |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
га| = а-Ь |
Fn~1— (b — а), |
|
и2 — а-\------ ^ — (Ь — а). |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
Бп+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Fn+i |
|
|
|
|
|
|
||
Возможно |
их •< га* или га± > |
|
щ. |
Пусть |
сначала |
и1 <га*. |
Тогда |
в худ |
||||||||||||
шем случае |
«*€[га., |
Ь\, |
причем |
|
для |
поиска га' |
на |
[ralt Ь] |
можно- |
|||||||||||
вычислить значение |
функции еще |
в га — |
1 |
точках |
этого |
отрезка,, |
включая точку «2 с известным значением J (га2). В гсилу предполо жения индукции при любом выборе точек и3, . . . , ип и любом рас
положении точки «2 на [«1, b] точку га* можно получить с гаранти рованной погрешностью, большей
& — |
^ ь — и\ _ Ь— а |
|
2Fп |
2Fп |
2Fn+i |
Следовательно,
Ь1(Рп, Ь — а) > — —
^/7+1
для |
любых стратегий Pnt |
начинающихся с выбора двух |
точек rals. |
ы2, |
га < гах< ! га2^ Ь\ где |
Аналогичные рассуждения |
показы |
вают, что для стратегий Рп с выбором точки u2 > и2 (s — 2) также