prg_zo_kurs_2

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра высшей математики

ПРОГРАММА ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

для студентов 2 курса заочного отделения, все специальности

А. Название разделов.

1. Комплексные числа.

2. Дифференциальное исчисление функций двух и нескольких переменных.

3. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы и их применение.

4. Дифференциальные уравнения.

5. Числовые ряды.

6. Функциональные ряды. Степенные ряды (разложение функций в ряды Тейлора) и их применение.

7. Элементы теории вероятностей и математической статистики.

Б. Контролирующие мероприятия.

Расчетно-графических работ (в дальнейшем - РГР) - 4.

Контрольных работ (в дальнейшем - КР) - 3.

Лабораторных работ (в дальнейшем - ЛР) – 1.

Зачет - 1.

Экзамен - 1.

Название темы:

1. РГР – 1, часть 1 «Функции двух и нескольких переменных».

2. РГР – 1, часть 2 «Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы и их применение».

3. РГР – 2 «Дифференциальные уравнения».

4. РГР – 3, часть 1 «Числовые ряды».

5. РГР - 3, часть 2 «Функциональные ряды и их применение».

6. РГР – 4, часть 1 «Теория вероятностей «.

7. РГР - 4, часть 2 « Математическая статистика».

8. КР – 1 «Комплексные числа».

9. КР - 2 «Дифференциальные уравнения».

10. КР - 3 «Ряды».

11. ЛР - 1 «Формула Байеса. Математическая статистика ».

Экзамен в 3-ем семестре проводится по разделам 1-4.

Зачет в 4-ом семестре проводится по разделам 5-7.

В. Содержание занятий.

Комплексные числа. Алгебраическая форма комплексного числа, изображение на плоскости. Действия с комплексными числами в алгебраической форме. Тригонометрическая и показательная формы комплексных чисел. Модуль и аргумент.

Умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня для комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме. Формула Эйлера. Корни алгебраического уравнения с действительными коэффициентами.

Дифференциальное исчисление функций двух и нескольких переменных. Функции двух и нескольких переменных как функции точки. Область определения. Геометрическое изображение функции двух переменных. Линии и поверхности уровня. Поверхности второго порядка, их классификация (цилиндрические поверхности, сфера, конусы, эллипсоид, гиперболоиды, параболоиды). Предел. Непрерывность. Основные свойства функций, непрерывной в ограниченной замкнутой области. Точки и линии разрыва. Частные производные ( определение и геометрический смысл). Дифференцируемость функции двух переменных. Свойства дифференцируемой функции (непрерывность функции и существование частных производных). Достаточное условие дифференцируемости. Полный дифференциал, геометрический смысл. Сложные и неявные функции нескольких переменных, их дифференцирование. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности. Частные производные высших порядков. Экстремум функции двух переменных. Необходимые условия экстремума. Достаточные условия экстремума. Производная по направлению ( определение, вывод формулы). Градиент функции и его свойства.

Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы и их применение. Криволинейный интеграл по длине дуги: определение (как предел интегральных сумм), геометрический смысл. Основные свойства криволинейных интегралов (линейность, аддитивность, интеграл от функции, тождественно равной единице). Вычисление в декартовых и полярных координатах и при параметрическом задании кривой. Двойной интеграл: определение (как предел интегральных сумм), геометрический смысл. Основные свойства двойных интегралов (линейность, аддитивность, интеграл от функции, тождественно равной единице). Вычисление в декартовых и полярных координатах. Понятие фигуры, меры, диаметра фигуры. Определенный интеграл по фигуре как предел интегральных сумм. Основные виды интегралов (интеграл по отрезку, криволинейный, двойной, поверхностный, тройной). Задача о массе фигуры, приводящая к понятию определенного интеграла по фигуре. Теорема об оценке интеграла по фигуре (для различных типов фигур), геометрический смысл. Среднее значение функции на фигуре. Теорема о среднем значении (для различных типов фигур), геометрический смысл. Применение определенных интегралов в механике (статические моменты, центры тяжести, моменты инерции материальных фигур). Применение определенных интегралов при вычислении работы газа при расширении, давлении жидкости на плоскую стенку, работы при выкачивании жидкости из сосуда.

Дифференциальные уравнения. Задачи геометрического и физического характера, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Определение дифференциального уравнения, его порядка, решения. Задача Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка. Формулировка теоремы о существовании и единственности решения задачи Коши. Частное и общее решение. Дифференциальные уравнения высших порядков, постановка задачи Коши. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков (однородные и неоднородные). Формулировка теоремы о существовании и единственности решения задачи Коши. Свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений. Линейно-зависимые и линейно-независимые системы функций. Определитель Вронского и его свойства. Фундаментальная система решений. Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Общее решение для различных случаев корней характеристического уравнения (на примере уравнений второго порядка). Линейные неоднородные дифференциальные уравнения, их свойства. Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения. Метод вариации произвольных постоянных. Метод неопределенных коэффициентов для линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.

Числовые ряды. Основные понятия: числовой ряд, его сходимость, сумма. Примеры сходящихся и расходящихся рядов. Необходимый признак сходимости. Свойства сходящихся рядов. Ряды с положительными членами. Ограниченность частных – необходимое и достаточное условие сходимости. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши, интегральный признак. Ряды с членами любого знака. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Теорема о сходимости абсолютно сходящихся рядов. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница, оценка остатка ряда.

Функциональные ряды. Область сходимости. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал сходимости. Свойства сходящихся рядов (непрерывность суммы, почленное дифференцирование и интегрирование). Разложение функции в степенной ряд. Ряд Тейлора. Условия сходимости ряда Тейлора к порождающей его функции. Остаточный член ряда Тейлора в форме Лагранжа. Ряд Маклорена. Разложение в ряд Маклорена функций e^x, sin(x), cos(x), (1+x)^m , ln(1+x), arctg(x). Применение степенных рядов к приближенным вычислениям.

Элементы теории вероятностей и математической статистики. Предмет теории вероятностей. Основные понятия (случайные события, элементарные события, пространство элементарных событий). Классификация событий по возможности их появления. Алгебра событий. Относительная частота и ее свойства (статистическое определение вероятности события). Классическое и геометрическое определения вероятности случайного события. Понятие об аксиоматическом построении теории вероятностей. Аксиомы и следствия из них. Теорема сложения вероятностей. Условная вероятность. Независимость событий. Теорема умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Бейеса. Схема Бернулли. Формула Бернулли и следствия из нее. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа. Функция Лапласа и ее свойства. Формула Пуассона. Пуассоновский поток событий. Случайные величины. Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон распределения случайной величины. Ряд распределения. Функция распределения и ее свойства. Плотность распределения и ее свойства. Вероятность попадания случайной величины в интервал (). Связь между функцией распределения и плотностью распределения. Числовые характеристики случайной величины (математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение). Понятие о независимых случайных величинах. Свойства числовых характеристик. Биномиальный закон распределения вероятностей дискретной случайной величины, числовые характеристики. Закон Пуассона, числовые характеристики. Равномерное распределение непрерывной случайной величины, числовые характеристики. Показательное распределение, числовые характеристики. Нормальное распределение, его числовые характеристики. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал (). Правило трех сигм. Функции одного случайного аргумента. Моменты случайных величин. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел, теоремы Чебышева и Бернулли. Понятие о центральной предельной теореме.

Элементы математической статистики. Предмет математической статистики. Генеральная совокупность и выборка. Статистический ряд, эмпирическая функция распределения, гистограмма. Точечные оценки неизвестных параметров и их построение по данным выборки методами наибольшего правдоподобия и моментов. Несмещенность, состоятельность и эффективность оценок. Интервальные оценки неизвестных параметров, доверительная вероятность. Построение доверительных интервалов по данным выборки.

Список литературы.

Основная.

1. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа для втузов. М., Наука. 1969 (и последующие издания).

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М., Высшая школа. 1972 (и последующие издания).

2. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М., Наука. 1969 (и последующие издания).

3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистики. М. Высшая школа. 1972 (и последующие издания).

Дополнительная.

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. Т.1,2. М., Наука. 1970 (и последующие издания).

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М., Наука. 1981 ( и последующие издания).

3. Каган М.Л., Кузина Т.С., Петелина В.Д. Теория вероятностей и математическая статистика в вопросах и задачах. Учебное пособие. МГСУ, 2005г.

4. Арефьев В.Н., Титова Т.Н. Практическое руководство по обыкновенным дифференциальным уравнениям, Учебное пособие. МГСУ, 2006.

5. Арефьев В.Н., Бобылева Т.Н., Ситникова Е.Г. Дифференциальные уравнения. Учебное пособие. МГСУ, 2004г.

6. Пакет методической литературы кафедры высшей математики.