7. Задачи и упражнения к главе 1.

1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-1;2) параллельно прямой ВС, если В(3;-1) и С(-2; 4).

Указание: Уравнение прямой АК можно составить по точке А и направляющему вектору (см. пример 3 пункт 3.4). Направляющим вектором прямой ВС будет вектор= (-5;5).AK: x + y – 1 = 0.

Ответ: x + y – 1 = 0.

2. Через точку А(-3; -1) провести прямую, параллельную прямой x+2y = 0.

Указание: Из общего уравнения прямой x + 2y = 0 находим угловой коэффициент (3.3.3)). Искомая прямаяИз условия параллельности двух прямых(4.3.1) имеемСоставим уравнение искомой прямойпо точке А(-3; -1) и угловому коэффициенту(см. пример 2, пункт 3.2).y + 1 = -

Ответ: x + 2y +5 = 0.

3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(1; -1) перпендикулярно прямой ВС, если В(2; 3) и С( -1; 4).

Указание: Искомая прямая перпендикулярна прямой ВС, следовательно, она перпендикулярна вектору Далее см. пример 3 пункт 3.3.

Ответ: 3x – y – 4 = 0.

4. Составить уравнение прямой, проходящей через точку D(1; -5) и перпендикулярной прямой 2x + 3y – 1 = 0.

Указание: Из общего уравнения прямой 2x + 3y – 1 = 0 находим угловой коэффициент (3.3.3)).

Прямая (4.4.1) или

(если

Составим уравнение искомой прямой проходящей через точкуD(1;-5) и имеющей угловой коэффициент

(x - 1) (см. пример 2 пункт 3.2).

Ответ: 3x – 2y - 13 = 0.

5. Даны вершины треугольника А( -1; 3), B(3; -2), C(5;3). Составить уравнения сторон треугольника.

Указание: См. пример 3 пункт 3.5.

Ответ: AB: 5x + 4y – 7 = 0, BC : 5x – 2y – 19 = 0, AC : y - 3 = 0.

6. Даны вершины треугольника А( -1; 3), B(3;-2), C(5;3). Составить уравнение медианы, проведенной из вершины С.

Указание: См. пример 4 пункт 3.5.

Ответ: CM: 5x - 8y – 1 = 0.

7. Даны вершины треугольника A(1; - 1), B(-2; 1) и C(3;5). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины А на медиану BE.

Указание: Составим уравнение медианы ВЕ (см. пример 4 пункт 3.5)

BE: x – 4y + 6 = 0. Уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины А(1; -1) на медиану ВЕ составим как уравнение прямой, проходящей через точку А перпендикулярно прямой ВЕ (см. задачу 4 пункт 7).

AK: 4x + y – 3 = 0.

Ответ: 4x + y – 3 = 0.

8. Даны вершины треугольника А(2;-1), B(3;2), C(-2;-3). Составить уравнение высоты, проведенной из вершины С на сторону АВ.

Указание: Составим уравнение прямой АВ по двум точкам А(2; -1) и B(3;2)

(см. пример 3 пункт 3.5). AB: 3x – y – 7 = 0. Составим уравнение высоты СН как прямой, проходящей через точку C(-2;-3) и перпендикулярной прямой АВ. (см. задачу 4 пункт 7). CH: x + 3y +11 = 0.

Ответ: x + 3y + 11 = 0.

9. Даны вершины треугольника A(1;2), B(-1;3), C(-2;1). Составить уравнение прямой, проходящей через вершину А параллельно противоположной стороне ВС.

Указание: Составим уравнение прямой ВС по двум точкам B(-1;3) и C(-2;1).

(формула 3.5.1). Прямая АК параллельна противоположной стороне ВС, т.е.

АК || ВС(4.3.1). Угловой коэффициент прямой ВС, 3.3.3). Тогда угловой коэффициент прямой АК Составим уравнение искомой прямой по точке А и угловому коэффициенту(см. пример 2 пункт 3.2)

AK: y – 2 = 2(x – 1) AK: 2x – y = 0.

Ответ: 2x – y = 0.

10. Даны середины сторон треугольника M(1;2), N(5;-1) и P(-4;3). Составить уравнения его сторон.

Указание: MN – средняя линия треугольника АВС. Из курса геометрии известно, что MN параллельна АС. Уравнение прямой АС находим как уравнение прямой, проходящей через точку P(-4;3) и параллельной прямой MN. См. указание к задаче 2 пункт 7.

AC: 3x + 4y = 0.

Аналогично составляем уравнения сторон

AB: 4x + 9y – 22 = 0 и BC: x + 5y = 0.

Ответ: AB: 4x + 9y – 22 = 0; BC: x + 5y = 0; AC: 3x + 4y = 0.

11. Проверить, лежат ли на одной прямой три данные точки

а) A(-2;0), B(6;4), C(4;3);

б) M(1;-3), N(2;4), P(3;-1).

Указание: Составим уравнение прямой по любым двум данным точкам. Уравнение прямой, проходящей через точки A(-2;0) и B(6;4) будет иметь вид: AB: x – 2y + 2 = 0 (см. пример 1 пункт 3.5).

Проверим, что точка С(4;3) лежит на прямой АВ, т.е. что при подстановке координат точки С в уравнениеx – 2y + 2 = 0 должно получиться тождество.

4 + 2 = 0;

0 = 0.

Следовательно, точка С лежит на прямой АВ, т.е. три данные точки А,В,С лежат на одной прямой.

Ответ: а) лежат; б) не лежат.

12. Показать, что прямые 3x – 2y + 1 = 0 и 2x + 5y – 12 = 0 пересекаются; найти координаты точки пересечения прямых.

Указание: Прямые пересекаются, если система

(4.1.1)

имеет единственное решение, это решение будет являться координатами точки пересечения прямых.

. Систему можно решить, как в примере пункт 4.1, или используя формулы Крамера.

M:

Найдем определители

Если то система имеет единственное решение, т.е. прямые пересекаются.

;

M:

Ответ: Прямые пересекаются в точке М(1;2).

13. Через точку пересечения прямых 2x – y – 5 =0 и 3x + 2y = 3 = 0 провести прямую, перпендикулярную прямой 5x + 3y – 1 =0.

Указание: Точку пересечения двух прямых найдем, решив систему (4.1.1) (см. пример пункт 4.1 или задачу 12 пункт 7).

Составим уравнение искомой прямой проходящей через точку М (1; -3) и перпендикулярной прямой5x + 3y – 1 = 0; (см. решение задачи 4 пункт 7)

Ответ: 3x – 5y – 18 = 0.

14. Через точку пересечения прямых 5x + y – 9 = 0 и 3x – 2y – 8 = 0 провести прямую, параллельную прямой 2x – 3y + 7 = 0.

Указание: По условию 5x + y – 9 = 0 и 3x – 2y – 8 = 0. Точку М – точку пересечения прямых найдем, решая систему уравнений

(см. пример пункт 4.1 или задачу 12 пункт 7) М (2; -1);

Составим уравнение прямой проходящей через точку М (2; -1) и параллельной прямой2x – 3y + 7 = 0. (см. решение задачи 2 пункт 7) 2x – 3y – 7 = 0.

Ответ: 2x – 3y – 7 = 0.

15. Через точку пересечения прямых 5x + 2y + 1 = 0 и x – y + 3 = 0 провести прямую, параллельную оси oy.

Указание: Точку пересечения прямых

5x + 2y + 1 = 0 и x – y + 3 = 0 найдем, решив систему (см. пример пункт 4.1 или задачу 12 пункт 7)

.

Составим уравнение прямой проходящей через точку М(-1; 2) и параллельной осиoy. Направляющим вектором оси oy является вектор и направляющим вектором искомой прямойбудет векторт.к. прямая

Составим уравнение прямой используя формулу:(3.4.1) – уравнение прямой по точке и направляющему вектору.

1(x+1) = 0(y – 2)

Уравнение прямой можно найти и по-другому (см. пример 3 пункт 3.1)

Ответ: x + 1 = 0.

16. Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из точки С(3;4) на прямую, проходящую через две точки А(2; -1) и B(0; 1).

Указание: Чтобы составить уравнение перпендикуляра, опущенного из точки С на прямую АВ, надо составить уравнение прямой, проходящей через точку С(3;4) и перпендикулярной прямой АВ. (см. задачу 3 пункт 7).

Ответ: x – y + 1 = 0.

17. Найти проекцию точки N(1;-1) на прямую x + 2y – 3 = 0.

Указание: Проекцией точки N на прямую L: x + 2y – 3 = 0 будет точка М – точка пересечения прямойL и прямой, проходящей через данную точку N и перпендикулярной к прямой L. Составим уравнение прямой MN (см. задачу 4 пункт 7)

L : x + 2y – 3 = 0

Так как

MN : y - = k (x - ), где N( 1; -1) и

MN : y – (- 1) = 2 ( x – 1 ) MN : 2x – y – 3 = 0.

Найдем точку М как точку пересечения прямых L и MN, решив систему уравнений.

(см. пример пункт 4.1 или задачу 12 пункт 7).

Проекцией точки N на прямую x + 2y – 3 = 0 является точка

Ответ:

18. Найти проекцию точки А( -1; 3) на прямую ВС, если В(2;2) и С(-1; -1).

Указание: Составим уравнение прямой ВС по двум точкам В(2;2) и C(-1;-1) (см. пример 1 пункт 3.5). BC : x – y = 0.

Найдем проекцию точки A(-1; 3) на прямую ВС (см. задачу 17 пункт 7).

Ответ: D (1;1).

19. Найти точку симметричную точке М (3; -3) относительно прямой x- y – 12 = 0.

Указание: Составим уравнение прямой MN, проходящей через точку M(3;-3) и перпендикулярной прямой L: x – y – 12 = 0 (см. решение задачи 4 пункт 7).

MN : x + y = 0.

Найдем точку пересечения прямой MN и прямой L (см. пример пункт 4.1)

O(6; -6).

Точка О - середина отрезка MN и ее координаты находятся по формулам (2.1.2)

Пусть иа по условию,и-3. Выполним подстановку и найдем координаты точкиN.

N( 9;-9).

Ответ: N(9;- 9).

20. При каком прямые 2x +3y – 5 = 0 и 3x + y – 2 = 0 будут параллельны. (Решить двумя способами).

Указание: Найдем угловые коэффициенты прямых 2x + 3y – 5 = 0 и

3x + - 2 = 0 .

Так как (4.3.1)

Задачу можно решить и другим способом. Найдем координаты нормальных векторов прямыхии(3.3.2). Прямыеипараллельны, следовательно, их векторы нормали коллинеарны, а координаты этих векторов пропорциональны.

Ответ:

21. При каком значении прямые 3x – 5y +3 = 0 и будут перпендикулярны. (Решить двумя способами).

Указание: Прямые 3x – 5y + 3 = 0 и x + y + 3 = 0 перпендикулярны, т.е. -1 (4.4.1).

Угловые коэффициенты и(k = - (3.3.3)) подставим в формулу (4.4.1) и найдем :

Задачу можно решить другим способом. Найдем координаты нормальных векторов прямыхи(3; - 5 ) и(3.3.2). Так как

(скалярное произведение двух взаимно перпендикулярных векторов равно нулю). Найдем скалярное произведение нормальных векторов в координатной форме и приравняем его к нулю.

(-5)1 = 0

(Если итоформула вычисления скалярного произведения в координатной форме).

Ответ:

22. Найти угол между двумя прямыми x – 2y – 3 = 0 и x – y + 5 = 0.

Указание: см. пример 1 пункт 4.2.

Ответ: или

23. При каком А угол между прямыми Ax – y + 3 = 0 и 2x + y – 1 = 0 будет равен ?

Указание: Ax – y + 3 = 0; 2x+ y – 1 = 0. Угол между двумя прямыми инаходится по формуле(4.2.1)

Угловые коэффициенты прямых ибудут равныи= - 2

( k = - (3.3.3)), а Выполним подстановку в формулу и найдем А:

Раскрывая модуль, получим два уравнения. Решение обоих уравнений является решением задачи.

или

-2 – A = 1 – 2A или - 2 – A = - 1 + 2A;

A = 3 или A = -

Ответ: A = 3 или A = -

24. Дана прямая 5x + y – 4 = 0. Через точку (1; -2) провести прямую, наклоненную к данной прямой под углом

Указание: Из общего уравнения прямой 5x + y – 4 = 0 найдем угловой

коэффициент =- 5(k = - (3.3.3)). Угловой коэффициент искомой прямойнайдем из условия, что- угол между прямымииравен

(4.2.1)

или

или

или

Составим уравнение искомой прямой по точке (1; - 2) и угловому коэффициенту(или), используя формулу (3.2.1)

y k (x )

или

или 3x – 2y – 7 = 0.

Ответ: 2x + 3y + 4 = 0 или 3x – 2y – 7 = 0.

25. Определить угол между высотой и медианой треугольника АВС, проведенными из вершины А, если А(1; -1), B(- 2 ; 1) и C(2; 5).

Указание: Составим уравнение медианы АМ (см. пример 4 пункт 3.5).

AM : 4x + y – 3 = 0. Составим уравнение высоты AH (см. решение задачи 8 пункт 7). AH : x + y = 0.

Их общих уравнений прямых АМ и АН найдем угловые коэффициенты = - 4 и= - 1. Угол между прямыми АМ и АН найдем по формуле (4.2.1)

или

Ответ: или

26. В треугольнике АВС известны координаты вершин А(-2; -2), B(1;2) и C(3;-3). Найти угол ВАС и составить уравнение средней линии треугольника, лежащей против вершины В.

Указание: Составим уравнения АВ и АС (см. пример 3 пункт 3.5)

AB: 4x – 3y + 2 = 0 и AC: x + 5y + 12 = 0. Найдем угол ВАС – угол между прямыми АВ и АС (см. пример 2 пункт 4.2) .

или где уголравен углу ВАС.

Составим уравнение медианы MN. Из курса геометрии известно, что точка М – середина отрезка АВ, а точка N – середина отрезка АС, поэтому координаты точек М и N найдем по (2.2).

M и N Составим уравнение средней линии MN по двум точкам (см. пример 1 пункт 3.5). MN: 10x + 4y +5 = 0.

Ответ: или иMN: 10x + 4y + 5 = 0.

27. В треугольнике АВС известны координаты вершин A(1; -3), B(0; -1) и C(3;3). Составить уравнение высоты и определить острый угол между высотой BH и стороной ВС.

Указание: Составим уравнение стороны ВС (см. пример 4 пункт 3.5)

BC: 4x – 3y – 3 = 0 (3.3.3)).

Составим уравнение высоты BH (см. задачу 8 пункт 7) BH: x+ 3y + 3 = 0

Найдем угол HBC (см. пример 1 пункт 4.2)

или

Ответ: BH: x + 3y + 3 = 0,

28. В треугольнике АВС известны координаты вершин А(4; 8), B(-3; 4) и C(-4; -1). Найти угол между сторонами АВ и АC. Составить уравнение средней линии, параллельной ВС.

Ответ: 10x – 2y + 7 = 0.

29. Даны вершины треугольника A(-2; 1), B(3; -4) и точка Н – точка пересечения высот. Составить уравнения его сторон.

Указание: Составим уравнение прямой АВ как уравнение прямой, проходящей через две точки A(-2; 1) и B(3; - 4) (см. пример 3 пункт 3.5).

AB : x + y + 1 = 0. Уравнение стороны ВС составим как уравнение прямой, проходящей через точку В(3; -4) и перпендикулярной прямой АН (см. задачу 4 пункт 7). Уравнение прямой АН составим, зная координаты двух точек А(-2; 1) и Н(5; -1) (см. пример 1 пункт 3.5)

AH : 2x + 7y – 3 = 0, тогда BC : 7x – 2y – 29 = 0.

Аналогично находится уравнение прямой AC : 2x + 3y + 1 = 0.

Ответ: AB : x + y + 1 = 0; BC : 7x – 2y – 29 = 0; AC : 2x + 3y + 1 = 0.

30. Найти координаты центра тяжести треугольника АВС, длину и уравнение медианы ВМ, если А(5; 6), B(-3; -1) и C(-3; 2).

Указание: Известно, что центр тяжести такой пластины находится в точке пересечения медиан D треугольника АВС. Для определения точки D учтем то, что она делит любую медиану, например ВМ, так, что Если координаты вершинA(ито координаты точкинаходим из условия, что она делит отрезок АС пополам, а затем координаты точкиD.

(2.1.2)

и

(2.1.1)

Согласно полученным формулам координаты центра тяжести – точки D.

т.е. D

Составим уравнение медианы ВМ, зная координаты точки В(-3;-1), а координаты точки М определим по формулам (2.1.2)

BM : 3x – 4y + 5 = 0 ((3.5.1), пример 1 пункт 3.5).

Длину медианы найдем, используя формулу расстояния между двумя точками.

В(-3; -1) и M(1; 2)

Ответ: 3x – 4y + 5 = 0 и | BM | = 5.

31. Определить расстояние от точки М(1;2) до прямой 3x – 4y + 6 = 0.

Указание: Расстояние вычисляем по (3.7.1).

Ответ:

32. Даны стороны треугольника АВ: x + 3y – 7 = 0, BC: 4x – y – 2 = 0,

AC: 6x + 8y – 35 = 0. Найти длину высоты, проведенной из вершины В.

Указание: Определяем координаты точки В как точки пересечения двух прямых (пример пункта 4.1). Длина высоты ВН находится как расстояние от точки В до прямой АС (3.7.1).

Ответ: BH = 1,3.

33. Определить расстояние между двумя прямыми 3x + 4y + 8 = 0 и 6x + 8y – 2 = 0.

Указание: Эти прямые параллельны, так как

(угловые коэффициенты вычисляем по (3.3.3)). Получим (4.3.1)

Найдем расстояние от любой точки М, лежащей на прямой до прямой- это и будет расстояние между двумя прямыми. На прямойвыберем точку М с абсциссойx = 0, тогда из уравнения найдемy = - 2. Следовательно, точка

М(0; -2). Расстояние от М(0; -2) до прямой 6x + 8y – 2 = 0 будет равно d = 1,8, так как (3.7.1)

Ответ: d = 1,8.

35