6. Полярные координаты.

Полярная система координат на плоскости определяется заданием некоторой точки О, луча ОР, исходящего из этой точки, и единицы масштаба. Точка О называется полюсом, а луч ОР – полярной осью.

Пусть M – произвольная точка плоскости. Обозначим через r и ее расстояние от полюса и угол, отсчитываемый от полярной оси против часовой стрелки до направления ОМ. Эти числа называются полярными координатами точки М, причем величинаr называется полярным радиусом, а - полярным углом точки М. По определению величинаЗадание пары чиселоднозначно определяет точку М на плоскости.

Если ограничить изменение угла пределами то и обратно каждой точке плоскости однозначно соответствует пара чисел (r,).Исключение составляет только полюс О, для которого r = 0, а угол неопределенный.

На практике обычно обобщают понятие полярных координат. Для этого углы ,отсчитываемые от полярной оси по часовой стрелке, считают отрицательными и допускают, что - При этом, правда, различным парам чисел будут соответствовать одни и те же точки плоскости (здесьn – любое целое число). Однако это не приводит к каким-либо противоречиям.

Если выбрать декартову систему координат так, чтобы ее начало О совпадало с полюсом полярной системы, а ось ox шла по полярной оси ОР, то между полярными координатами (r, ) и декартовыми координатами (x,y) для каждой точки М будет осуществляться следующая связь:

(6.1.1)

(6.1.2)

Из этих формул следует, что

(6.1.3)

Замечание: Формула определяет два угла (в пределах от 0 доФормулы (6.1.3) уточняют, какой из этих углов следует выбрать. Из формулы вытекает, что надо брать тот угол для которогоимеет тот же знак, что иx.

Пример 1. Построить точки, заданные своими полярными координатами:

A(3; - D(2;0).

Решение: Для построения точек A, B и С из полюса О проведем лучи под углом -и на них откладываем отрезки длины 3, 2, 1 соответственно. ТочкуD откладываем на полярной оси на расстоянии 2 от полюса.

Пример 2. Построить линию в полярной системе координат.

Решение: Построим эту линию по точкам, задавая углу определенные значения и получая значенияr из уравнения .

Если

Если далее рассматривать углы из промежутка то значенияr будут отрицательными, так как в этом промежутке Это означает, что в области нет точек данной линии.

Если

Запишем полученные данные в таблицу

Заметим, что последние четыре значенияr в таблице можно было получить, если рассмотреть отрицательные значения угла , соответственно,-;---. Далее из полюса проводим лучи и откладываем на них соответствующие значенияr. Соединяя полученные точки плавной линией, строим заданную кривую. Построенная кривая является окружностью радиуса 1 с центром в точке (1,0), лежащей на полярной оси.

Пример 3. Построить линию, заданную уравнением перейдя в полярную систему координат.

Решение: Преобразуем данное уравнение, используя формулы (6.1.1):

,получим:

Построим эту линию по точкам. Так как то

Для вычисления значений r составляем таблицу:

Далее из полюса проводим лучи и откладываем на них соответствующие значения r. Соединим полученные точки плавной линией. Построенная кривая (см. рис.40) также является окружностью радиуса 2 с центром в точке