4. Взаимное расположение прямых на плоскости.

4.1. Прямые пересекаются. Пусть прямые пересекаются. Требуется найти точку пересечения М этих прямых. Для этого достаточно решить систему двух уравнений с двумя неизвестнымиx и y:

(4.1.1)

Пример. Найти точку пересечения прямых 2x + 3y – 2 = 0 и x – y + 4 = 0.

Решение: Запишем систему (4.1.1) и решим ее

Ответ: M(-2,2)

4.2. Угол между двумя пересекающимися прямыми.

Пусть прямые пересекаются.

Углом между двумя пересекающимися прямыми называется наименьший из углов. Формула для нахождения угламежду прямыми имеет вид:

(4.2.1)

Пример 1. Найти угол между прямыми: y = 2x – 4; y = - 3x + 1.

Решение: Выпишем угловые коэффициенты этих прямых.(см.3.1.1). По формуле (4.2.1) получимОтсюда

Ответ:

Пример 2. Найти угол между прямыми 2x + 4y +5 =0 и x + 2y - 3 = 0.

Решение: По формуле (3.3.3) найдем угловые коэффициенты прямых: Применяем формулу (4.2.1):

Отсюда Прямые параллельны.

Ответ:

Пример 3. Найти угол между прямыми 2x + 3y – 2 =0 и x – y + 4 = 0.

Решение: По формуле (3.3.3) найдем угловые коэффициенты:

Применим формулу (4.2.1) , отсюда

Ответ:

Пример 4. Найти угол между прямыми3x + 5y + 1 = 0и 5x – 3y – 2 = 0.

Решение: Находим угловые коэффициенты прямых по формуле (3.3.3):

По формуле (4.2.1) имеем

Тангенс угла не существует, следовательно, уголПрямые взаимно перпендикулярны.

Ответ:

4.3. Условие параллельности двух прямых.

Пусть даны две прямые Так как прямые параллельны, то они имеют одинаковый угол наклонас осьюox и, следовательно, одинаковые угловые коэффициенты: Эту же формулу можно получить и другим способом. Угол между параллельными прямыми равент.е.Из формулы (4.2.1) получимОтсюда (4.3.1)

Таким образом, условием параллельности прямых является равенство их угловых коэффициентов.

Пример. Определить, какая из двух прямых 2x + y – 7 =0 и

4x – 2y +1 = 0 параллельна третьей прямой 4x + 2y + 3 = 0.

Решение: По формуле (3.3.3) находим угловые коэффициенты каждой прямой. - 2; =

Имеем: следовательно,(по 4.3.1).

Ответ: .

В том случае, когда параллельные прямые заданы общими уравнениями, можно использовать геометрический смысл коэффициентов А и В. Напомним, что в уравнении Ax + By +C =0 числа А и В определяют координаты нормального вектора = (А, В). Поэтому рассмотрим другое решение приведенного выше примера.

Решение: Две прямые будут параллельны, если их нормальные векторы будут коллинеарны. Выпишем нормальные векторы данных прямых.

(4, -2), Проверим пропорциональность координат:

Координаты векторов пропорциональны, то есть

Следовательно,прямые

Ответ:

4.4. Условие перпендикулярности двух прямых.

Если две прямые взаимно перпендикулярны, то угол между ними Так какне существует, то это означает, что в формулезнаменатель равен нулю, то есть =0. Отсюда

-1 или (4.4.1)

Это и есть условие перпендикулярности двух прямых.

Пример. Определить, какие прямые будут взаимно перпендикулярны:

a) 2x – y + 7 = 0 б) x + y – 3 = 0

x + 2y – 5 = 0 2x + 3y + 7 = 0 .

Решение: а) По формуле (3.3.3) найдем угловые коэффициенты прямых

=- Проверим условие (4.4.1)-1. Условие выполнено, следовательно, прямые перпендикулярны.

б) Аналогично, -1; Прямые не перпендикулярны.

Если перпендикулярные прямые заданы общими уравнениями, задачу можно решить другим способом. Из того, что прямые перпендикулярны, следует, что их

нормальные векторы тоже перпендикулярны (верно и обратное утверждение).

Рассмотрим прямые 2x – y + 7 = 0 и x + 2y – 5 = 0.

Выпишем нормальные векторы этих прямых = (2,-1) ,Найдем скалярное произведение этих векторов:(-1)

Из векторной алгебры известно, что если скалярное произведение векторов равно нулю, то эти векторы перпендикулярны: Следовательно, прямыеивзаимно перпендикулярны: