2. Деление отрезка в данном отношении.

Даны точки Требуется найти координаты точкиK(x,y), делящей отрезокMN в отношении Рассмотрим векторыЭти векторы коллинеарныИз векторной алгебры известно, что если векторы коллинеарны, то соответствующие координаты пропорциональны. Имеем:

(по условию).

Из этих уравнений легко найти x и y

(2.1.1)

Если то точкаK является серединой отрезка MN. Формулы (2.1) примут вид:

(2.1.2)

Это формулы координат середины отрезка.

Пример 1. Найти координаты точки K, делящей отрезок MN, где M(-1,4) и N(2,1), в отношении 2 : 1.

Решение. По условию Подставим координаты точкиM и N в формулы (2.1.1). Имеем:

Точка K имеет координаты: x=1, y=2.

Ответ: K(1,2).

Пример 2. Отрезок АВ разделен на три равные части. Определить координаты точек деления, если А(3,-2), В(6,4).

Решение. Обозначим точки деления С и D. Точка D делит отрезок АВ в отно-

шении АD:DB = 2. Координаты точки D найдем по формулам (2.1.1).

Итак, D(5,2).

Координаты точки С можно найти аналогично, взяв

Существует другой способ нахождения координат точки С. Точка С является серединой отрезка АD. По формулам (2.1.2) имеем

Ответ: D(5,2) ; C(4,0).

Пример 3. Найти точку пересечения медиан треугольника АВС, где А(-1,3) ;

B(3,-2); C(5,3).

Решение: Пусть точка О – точка пересечения медиан AM и BN треугольника ABC. Точка М является серединой отрезка ВС. По формулам (2.1.2) получим координаты точки М:

Из школьного курса планиметрии известно, что точка О делит медиану АМ в отношении АО:ОМ = 2:1. По формулам (2.1.1) получим

Ответ: Точка пересечения медиан

Замечание: Точка пересечения медиан треугольника является его центром тяжести.

3. Прямая на плоскости.

3.1. Простейшей из линий является прямая. Всякую прямую, не параллельную оси ординат, можно представить уравнением вида

, (3.1.1)

где к есть тангенс угла образованного прямой с положительным направлением оси абсцисс (ox).

Величину к называют угловым коэффициентом. Величину b – начальной ординатой.

Если прямая параллельна оси ox, то Уравнение прямой примет вид:y = b (3.1.2)

Если прямая параллельна оси oy, то не существует. В этом случае уравнение прямой будет иметь вид:x = a (3.1.3), где а – абсцисса точки, через которую проходит данная прямая ( точки пересечения прямой с осью ox).

Пример 1. Какую прямую представляет уравнение

Решение. Данное уравнение задает прямую, у которой Так какПоэтому данное уравнение представляет прямую, проходящую через начало координат (b = 0) и образующую с осью ox угол

Пример 2. Написать уравнение прямой, параллельной оси ox и имеющей на-

чальную ординату b = .

Решение: По формуле (3.1.2) имеем y =где

Итак, искомая прямая задается уравнением

Ответ:

Пример 3. Написать уравнение прямой, параллельной оси oy и проходящей

через точку M(3,1).

Решение: По формуле (3.1.3) уравнение прямой имеет вид x = a , где а – абсцисса точки М. а = 3. Уравнение прямой x = 3.

Ответ: x = 3.

3.2. Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.

Пусть прямая проходит через точку и имеет угловой коэффициент к. Уравнение такой прямой можно записать в виде (3.1.1)гдеb - неизвестная величина. Так как прямая проходит через точку, то координаты точки удовлетворяют уравнению (3.1.1). ИмеемОтсюда

Подставим значение “b” в уравнение (3.1.1), получим -или

(3.2.1)

Полученное уравнение называется уравнением прямой по точке и угловому коэффициенту.

Пример 1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку

и образующей с положительным направлением оси ox угол

Решение: Так как тоПрименив формулу (3.2.1), получимy-(-2)=-1(x-1) y+2 = -x+1 y=-x-1.

Ответ: y=-x-1.

Пример 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-3,4) и имеющей угловой коэффициент к = 2.

Решение: Применяем формулу (3.2.1) y – 4 = 2 (x+3) y - 4 = 2x + 6

y = 2x + 10.

Ответ: y = 2x + 10.

Пример 3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(-1, 2) параллельно оси ox.

Решение: Если прямая параллельна оси ox, то угол между прямой и положительным направлением оси ox равен нулю. Следовательно, По формуле (3.2.1) получимy – 2 = 0 (x + 1) y – 2 = 0

Ответ: y = 2.

3.3.Уравнение прямой по точке и нормальному вектору.

Пусть прямая проходит через точку Поднормальным вектором понимают вектор, который перпендикулярен данной прямой. Обозначим его Возьмем на прямой произвольную точкуM(x,y) и рассмотрим вектор Используя векторную алгебру, найдем координаты вектораВекторперпендикулярен вектору.Из векторной алгебры известно, что скалярное произведение этих векторов равно нулю. Следовательно,

(3.3.1)

Полученное уравнение называется уравнением прямой по точке и нормальному вектору. Преобразуем полученное уравнение:

Ax + By - A- B= 0.Пусть C = -A-B,тогда получим:

Ax + By + C = 0 (3.3.2)

Уравнение (3.3.2) называется общим уравнением прямой. Напомним, что коэффициенты А и В в уравнении определяют координаты нормального вектора

Рассмотрим общее уравнение прямой подробнее.

1). Если А = 0, то уравнение примет вид

By + C = 0 ; y = -Прямая параллельна осиox. (3.1.2)

2). Если В = 0, то уравнение примет вид:

Ax + C = 0, x = - Прямая параллельна оси oy. (3.1.3.)

3). Если С = 0, то уравнение примет вид: Ax + By = 0. y = - Прямая проходит через начало координат и имеет угловой коэффициент k = - См. пример 1 пункт 3.1.

Из общего уравнения прямой, если можно найти угловой коэффициент к. Для этого выразимy из этого уравнения : Ax + By + C = 0.

By = - Ax – C ; y = --Отсюда,

k = - (3.3.3)

Пример 1. Прямая задана уравнением 3x – 4y +5 = 0. Найти координаты нормального вектора.

Решение: Координатами нормального вектора являются коэффициенты приx и y данного уравнения прямой. Имеем А = 3; В = - 4.

Ответ:

Пример 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(2,-1) и имеющей нормальный вектор

Решение: Применяем формулу (3.3.1). Имеем 0(x – 2) + 2(y + 1) = 0

2y + 2 = 0 y + 1 = 0.

Ответ: y + 1 = 0.

Пример 3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(0; 1) перпендикулярно вектору где А(-1; 2), В(1; -1).

Решение: Найдем координаты вектора - (-1); -1-2); (2; -3).

Вектор является нормальным векторомискомой прямой. По формуле (3.3.1) имеем 2(x – 0) -3(y -1) = 0 2x – 3y + 3 = 0.

Ответ: 2x – 3y + 3 = 0.

3.4. Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.

Пусть прямая проходит через точку Направляющим векторомданной прямой называется вектор, параллельный этой прямой. Пусть дан векторВозьмем на прямой произвольную точкуM(x,y) и рассмотрим вектор Векторы иколлинеарны,следовательно, их соответствующие координаты пропорциональны.

(3.4.1)

Полученное уравнение является уравнением прямой по точке и направляющему вектору.

Пример 1. Прямая задана уравнением:

Написать координаты направляющего вектора; найти координаты точки, лежащей на прямой; составить общее уравнение прямой.

Решение: Направляющий вектор = (−1; 2). Точкумы получим, приравняв нулю числители данного уравнения:x + 2 = 0 x =−2; y – 3 = 0 y = 3.

Итак, (−2; 3).

Общее уравнение прямой получим по свойству пропорций: (x+2)∙2 = (y−3)∙(− 1)

2x + 4 = −y + 3 2x + y + 1 = 0.

Ответ: (−1; 2), (−2; 3), 2x + y + 1 = 0.

Пример 2. Составить уравнение прямой по точке М(2,-5) и направляющему вектору (-2,4).

Решение: Применяем формулу (3.4.1). Имеем:

4(x-2) = -2(y+5) 4x - 8 = - 2y – 10 4x + 2y + 2 = 0 2x + y + 1 =0.

Ответ: 2x + y + 1 = 0.

Пример 3. Через точку С(- 2, 1) провести прямую, параллельную вектору где А(2,-1), В(3,4).

Решение: Вектор можно взять за направляющий вектор данной прямой. (3-2; 4-(-1)) = (1; 5). Применяем формулу (3.4.1). Имеем:

5(x + 2) = y – 1 5x + 10 = y – 1 5x – y + 11 = 0.

Ответ: 5x – y +11 = 0.

3.5. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Известно, что через две данные точки можно провести единственную прямую. Пусть прямая проходит через точкиЗа направляющий векторданной прямой можно взять вектор.

Составим уравнение прямой по точке и направляющему вектору

По формуле (3.4.1) имеем:

(3.5.1)

Если то прямая параллельна осиoy. Ее уравнение имеет вид:

(3.5.2)

Если то прямая параллельна осиox. Ее уравнение :

y = (3.5.3)

Пример 1. Составить уравнение прямой АВ, если А(2,-1); В(1,3).

Решение: Применяем формулу (3.5.1):

4(x - 2) = -(y + 1) 4x + y – 7 = 0.

Ответ: 4x + y – 7 = 0.

Пример 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точки М(4,-2) и N(4,5).

Решение: Так как то по формуле (3.5.2) уравнение прямой имеет вид:

x = 4. Прямая параллельна оси oy.

Пример 3. Дан треугольник АВС, у которого А(1,2), В(4,3), С(1,3). Составить уравнения его сторон.

Решение: 1) Найдем уравнение стороны АВ. ПО формуле (3.5.1) имеем: x – 1 = 3(y – 2) x – 3y + 5 = 0.

2) Сторона ВС находится по формуле (3.5.3), так как y = 3.

3) Уравнение стороны АС выпишем по формуле (3.5.2), так как x = 1.

Ответ: AB: x – 3y + 5 = 0; BC: y = 3; AC: x = 1.

Пример 4. Даны вершины треугольника АВС А(- 1, 3), В(3,-2), С(5,3). Составить уравнение медианы, проведенной из вершины В.

Решение: Пусть ВМ – медиана, тогда точка М является серединой отрезка АС. По формулам (2.1.2) имеем:

M(2,3).

Уравнение медианы ВМ получим по формуле (3.5.1):

5(x- 3) = -(y +2) 5x + y – 13 = 0.

Ответ: BM: 5x + y – 13 = 0.

3.6. Уравнение прямой в отрезках.

Если прямая отсекает на осях отрезки а и b, не равные нулю, то ее уравнение можно записать в виде: . (3.6.1)

Такое уравнение называется уравнением в отрезках. Рассмотрим это уравнение. Пусть x = 0, тогда

Пусть y = 0, тогда

Прямая проходит через точки А(а,0) и B(0,b).

Пример. Записать уравнение прямой в отрезках. Построить эту прямую.

3x – 2y + 12 = 0.

Решение: 3x – 2y = - 12. Разделим обе части этого уравнения на - 12. Получим: a = - 4, b = 6.

Построим полученную прямую. Для этого отложим на оси ox a = - 4, на оси oy

b = 6 и соединим полученные точки.

3.7. Расстояние от точки до прямой.

Пусть прямая задана уравнением Ax + By + C = 0. Найдем расстояние от точки до этой прямой. Подрасстоянием от точки до прямой понимают длину отрезкагде М – основание перпендикуляра, опущенного из точкина данную прямую. Расстояниенаходим по формуле:

(3.7.1)

Пример. Найти расстояние от точки до прямой 3x + 4y – 22 =0.

Решение: По формуле (3.7.1) получим:

Ответ: d = 4.