m_ukazanija__05

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Методические указания к выполнению расчётного задания

для студентов заочного отделения всех специальностей

Москва 2007

Цель настоящих методических указаний – помочь студентам в приобретении навыков нахождения неопределённых интегралов различных типов.

Типовой расчёт по теме «Интегральное исчисление функции одной переменной » для студентов заочного отделения всех специальностей содержит 25 вариантов, в каждом варианте 20 примеров. Первые 14 примеров предполагают использование основных методов интегрирования. 15*, 16*, 17* – примеры повышенной трудности. Интегралы из примеров 18, 19, 20 находятся с помощью справочника: Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1986. Возможно использование других справочников.

Далее приведено решение примерного варианта типового расчёта с краткими методическими указаниями.

Основные понятия.

Функция называется первообразной для функции , если .

Совокупность всех первообразных для функции называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается . Если – какая- либо первообразная для , то .

Нахождение неопределённых интегралов называется интегрированием.

ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

12.

2. 13.

3. 14.

4. 15.

5. 16.

6. 17. 7. 18.

8. 19.

9. 20. 10. 21.

11. 22.

Основные правила интегрирования

1. Интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых:

2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

3. Вид формул интегрирования не изменится, если независимую переменную x заменить любой дифференцируемой функцией от x, т. е. если и – дифференцируемая функция, то .

4. Если - дифференцируемая функция, то . При применении этого правила можно использовать таблицу основных дифференциалов.

Таблица основных дифференциалов.

1) , 2) , 3) ,

4) , 5) , 6) ,

7) , 8) ,

9) , 10) ,

11) , 12) ,

13) , 14) ,

15) ,

16) ,

17) .

Решение примерного варианта типового расчёта.

Пример 1. Воспользуемся следующим свойством неопределённого интеграла:

и таблицей основных интегралов.

а) , ( интеграл №3 ),

б) ( интеграл №5 ),

в) ( интеграл №9 ).

Пример 2. Воспользуемся алгебраическим тождеством: и правилами интегрирования 1 и 2.

а)

б)

Пример 3 и 4. Решаем методом подведения функции под знак дифференциала.

а)

;

б);

в)

.

Пример 5. При интегрировании чётных степеней синуса или косинуса применяются формулы понижения степени:

.

а)

;

б)

.

Пример 6. При интегрировании нечётных степеней синуса или косинуса поступают следующим образом: от нечётной степени функции sinkx или coskx отделить сомножитель в первой степени, подвести его под знак дифференциала:

,

а оставшуюся чётную степень функции sinkx или coskx преобразовать, используя основное тригонометрическое тождество: .

а)

.

б)

.

Интегралы в примерах 7, 8 и 9 вычисляются методом интегрирования по частям по формуле: , где . При интегрировании этим методом важно правильно разбить подынтегральное выражение на две части: u и dv. Если под знаком интеграла стоит произведение многочлена на одну из функций: синус, косинус или показательную функцию, то через u обозначают многочлен, а через dv – всё остальное.

Если под знаком интеграла содержатся логарифмическая или обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс, то их обозначают через u, а через dv – всё остальное.

Пример 7. а)

б)

Пример 8.

Пример 9.

Примеры 10 и 11 содержат квадратный трёхчлен в знаменателе. Поэтому, сначала из квадратного трёхчлена выделяется полный квадрат по формуле:

а затем знаменатель упрощается с помощью замены переменной: .

Пример 10. а) .

В знаменателе – квадратный трёхчлен . Выделим полный квадрат:

б) .

В знаменателе – квадратный трёхчлен . Выделим полный квадрат:

Пример 11. а) .

В знаменателе – квадратный трёхчлен . Выделим полный квадрат:

б) .

В знаменателе – квадратный трёхчлен . Выделим полный квадрат:

Пример 12 содержит под знаком интеграла дробно – рациональную функцию. Если под знаком интеграла стоит правильная рациональная дробь (степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе), то её можно представить в виде суммы простейших дробей:

а) ;

б) ;

в) .

Пример 12. а) .

Разложим знаменатель на множители:

Квадратный трёхчлен можно разложить на множители

,

где и – корни соответствующего квадратного уравнения

Представим правильную рациональную дробь в виде суммы простейших дробей:

.

Для нахождения коэффициентов А, В и С приведём дроби, стоящие в правой части к общему знаменателю

.

Приравняем числители дробей:

.

Так как полученные многочлены должны быть тождественно равны, то их значения должны быть равны при любых значениях x. Подставим значения x, равные корням знаменателя, в последнее равенство.

Окончательно имеем:

б)

Представим правильную рациональную дробь в виде суммы простейших дробей:

.

Для нахождения коэффициентов А, В и С приведём дроби, стоящие в правой части к общему знаменателю

Приравняем числители дробей:

.

Раскроем скобки и приведём подобные в правой части равенства:

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях равенства:

при

при

при

Решим систему трёх уравнений с тремя неизвестными:

Окончательно имеем:

в)

Представим правильную рациональную дробь в виде суммы простейших дробей:

.

Для нахождения коэффициентов А, В и С приведём дроби, стоящие в правой части к общему знаменателю

.

Приравняем числители дробей:

.

Раскроем скобки и приведём подобные в правой части равенства:

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях равенства:

при

при

при

Решим систему трёх уравнений с тремя неизвестными:

Окончательно имеем:

В примерах 13 и 14 под знаком интеграла содержатся корни различных степеней из x или из линейного выражения ax+b. В этом случае применяется подстановка:

или

, где n – наименьшее общее кратное всех степеней корней из x или из линейного выражения ax+b, встречающихся в подынтегральном выражении.

Пример 13.

Под знаком интеграла стоит неправильная рациональная дробь (степень многочлена в числителе больше степени многочлена в знаменателе), поэтому сначала выделяем целую часть этой дроби, разделив числитель на знаменатель «уголком».

Тогда .

Окончательно имеем:

Пример 14.

Под знаком интеграла стоит неправильная рациональная дробь (степень многочлена в числителе равна степени многочлена в знаменателе), поэтому сначала выделяем целую часть этой дроби. Для этого вычтем и добавим 1 в числителе и разложим на два слагаемых.

Окончательно имеем:

Пример 15*.

.

Интеграл вычислим отдельно (интегрирование по частям).

.

Интегрируем ещё раз по частям, не меняя обозначений.

.

.

Перенесём в правую часть равенства с противоположным знаком.

,

.

В результате получим:

.

Пример 16*. .

В знаменателе – квадратный трёхчлен . Выделим полный квадрат:

Пример 17*.

Применяем универсальную тригонометрическую подстановку:

. Тогда

Обозначим:

При вычислении интегралов №18, 19 и 20 следует пользоваться справочником: Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1986 (1998 и др.)(*). Возможно использование других справочников. Вначале следует внимательно ознакомиться с содержанием и структурой раздела « Таблица неопределённых интегралов»: из каких частей состоит раздел и какие вводятся обозначения.

Пример 18.

В таблице неопределённых интегралов справочника (*) в разделе «Интегралы от иррациональных функций. Интегралы, содержащие » находим формулу №245:

, где

, вычисляется по формуле №241.

В нашем примере:

По формуле №245 имеем:

,

а в формуле №241 значению соответствуют три первых строки. Так как , то выбираем из двух первых. При этом первая – при любого знака, а вторая – только для . Выбираем первую.

Окончательно имеем:

Пример 19.

В таблице неопределённых интегралов справочника (*) в разделе «Интегралы от иррациональных функций. Интегралы, содержащие » находим формулу №162:

, где . В данном интеграле

Окончательно имеем:

Пример 20. .

В таблице неопределённых интегралов справочника (*) в разделе «Интегралы от тригонометрических функций. Интегралы, содержащие косинус» находим формулу №317:

, n – целое,

Эту формулу применяем несколько раз, пока не получим интеграл вида:

или .

19